1、 1.考查函数零点的个数和取值范围；2.利用函数零点求解参数的取值范围；3.利用二分法求方程近似解；4.与实际问题相联系，考查数学应用能力 1函数的零点(1)定义：如果函数yf(x)在实数处的值等于零，即f()0，则叫做这个函数的零点(2)变号零点：如果函数图象经过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点(3)几个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点2零点存在性定理如果函数yf(x)在区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0(a，b)，使f(x0)0.3用二分
2、法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间，验证f(a)f(b)0；第二步，求区间(a，b)的中点c1；第三步，计算f(c1)：(1)若f(c1)0，则c1就是函数的零点；(2)若f(a)f(c1)0，则令bc1(此时零点x0(a，c1)；(3)若f(b)f(c1)0时，f(x)20恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函数又因为f(2)2ln20，所以f(x)在(0，)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.(2)由题意知，f(x)是周期为2的偶函数在同一坐标系内作出函数yf(x)及ylog3|x|的图象，如图：观察图象可以发现它们有4个交点，即函数yf(x)log3|x|有4个
3、零点高频考点二、求函数的零点例2、已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x，则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为()A1,3 B3，1,1,3C2，1,3 D2，1,3答案D【感悟提升】(1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法(2)判断函数零点个数的方法：解方程法；零点存在性定理、结合函数的性质；数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数【变式探究】(1)已知函数f(x)log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A(0,1) B(1,2)C(2,4) D(4，)(2)函数f(x)xx的零点个数为()A0B1C2D3答案(1)C(2)B高频考
4、点三、函数零点的应用例3、若关于x的方程22x2xaa10有实根，求实数a的取值范围解方法一(换元法)设t2x (t0)，则原方程可变为t2ata10，(*)原方程有实根，即方程(*)有正根令f(t)t2ata1. 若方程(*)有两个正实根t1，t2，【感悟提升】对于“af(x)有解”型问题，可以通过求函数yf(x)的值域来解决，解的个数可化为函数yf(x)的图象和直线ya交点的个数【变式探究】(1)函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A(1,3) B(1,2)C(0,3) D(0,2)(2)已知函数f(x)若方程f(x)a0有三个不同的实数根，则实数a的取
5、值范围是()A(1,3) B(0,3) C(0,2) D(0,1)答案(1)C(2)D解析(1)因为函数f(x)2xa在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)f(2)0，所以(a)(41a)0，即a(a3)1；（2）若关于的方程+=0的解集中恰有一个元素，求的值；（3）设0，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.【答案】（1）（2）或（3）【解析】（1）由，得，解得（2）有且仅有一解，等价于有且仅有一解，等价于有且仅有一解当时，符合题意；当时，【2015高考安徽，文14】在平面直角坐标系中，若直线与函数的图像只有一个
6、交点，则的值为 .【答案】 【解析】在同一直角坐标系内，作出的大致图像，如下图：由题意，可知【2015高考湖北，文13】函数的零点个数为_.【答案】2.【2015高考湖南，文14】若函数有两个零点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】由函数有两个零点，可得有两个不等的根，从而可得函数函数的图象有两个交点，结合函数的图象可得，故答案为：.【2015高考山东，文10】设函数，若，则 ( )（A） （B） （C） (D) 【答案】D【解析】由题意，由得，或，解得，故选D.（2014北京卷）已知函数f(x)log2x，在下列区间中，包含f(x)的零点的区间是()A(0，1) B(1，2)C(2，4)
7、 D(4，)【答案】C【解析】方法一：对于函数f(x)log2x，因为f(2)20，f(4)0.50时，f(x)2x6ln x，令2x6ln x0，得ln x62x.作出函数yln x与y62x在区间(0，)上的图像，则两函数图像只有一个交点，即函数f(x)2x6ln x(x0)只有一个零点综上可知，函数f(x)的零点的个数是2.（2014湖北卷）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x，则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为()A1，3 B3，1，1，3C2，1，3 D2，1，3【答案】D（2014江苏卷）已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x上有10个零点(互
8、不相同)，则实数a的取值范围是_【答案】.【解析】先画出yx22x在区间上的图像，再将x轴下方的图像对称到x轴上方，利用周期为3，将图像平移至区间内，即得f(x)在区间上的图像如下图所示，其中f(3)f(0)f(3)0.5，f(2)f(1)f(4)0.5.函数yf(x)a在区间上有10个零点(互不相同)等价于yf(x)的图像与直线ya有10个不同的交点，由图像可得a. （2014江西卷）已知函数f(x)(aR)若f1，则a()A. B. C1 D2【答案】A【解析】因为f(1)212，f(2)a224a1，所以a.（2014浙江卷）设函数f(x)若f(f(a)2，则a_.【答案】【解析】令tf
9、(a)，若f(t)2，则t22t22 满足条件，此时t0或t2，所以f(a)0或f(a)2，只有a22满足条件，故a.（2014全国卷）函数f(x)ax33x23x(a0)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间(1，2)是增函数，求a的取值范围（2014天津卷）已知函数f(x)若函数yf(x)a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为_【答案】(1，2)【解析】在同一坐标系内分别作出yf(x)与ya|x|的图像，如图所示，当ya|x|与yf(x)的图像相切时，联立整理得x2(5a)x40，则(5a)24140，解得a1或a9(舍去)，当ya|x|与yf(x)的图像有四个交点时，有1
10、a2.1函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为()A. B.C. D.2函数f(x)的零点个数为()A3 B2C7 D0解析：选B法一：由f(x)0得或解得x2或xe.因此函数f(x)共有2个零点法二：函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点3已知函数f(x)mx2(m3)x1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是()A(0,1) B(0,1C(，1) D(，1解析：选D令m0，由f(x)0得x，满足题意，可排除选项A，B.令m1，由f(x)0得x1，满足题意，排除选项C.4设函数yf(x)满足f(x2)f(x)，且当x时，f(x)|x|，则函数g(
11、x)f(x)sin x在区间上的零点个数为()A2 B3C4 D55已知x0是f(x)x的一个零点，x1(，x0)，x2(x0,0)，则()Af(x1)0，f(x2)0，f(x2)0Cf(x1)0，f(x2)0 Df(x1)0解析：选C在同一坐标系下作出函数f(x)x，f(x)的图象(图略)，由图象可知当x(，x0)时，x；当x(x0,0)时，x0，f(x2)0.6已知f(x)g(x)f(x)xb有且仅有一个零点时，b的取值范围是_解析：要使函数g(x)f(x)b有且仅有一个零点，只需要函数f(x)的图象与函数yb的图象有且仅有一个交点，通过在同一坐标系中同时画出两个函数的图象(图略)并观察得
12、，要符合题意，须满足b1或b或b0.答案：(，01，)7若f(x)则函数g(x)f(x)x的零点为_解析：要求函数g(x)f(x)x的零点，即求f(x)x的根，或解得x1或x1.g(x)的零点为1，1.答案：1，18已知0a0和k0作出函数f(x)的图象当0k1或k0时，没有交点，故当0k1时满足题意答案：(0,1)9已知函数f(x)x3x2，证明：存在x0，使f(x0)x0.10已知二次函数f(x)x2(2a1)x12a.(1)判断命题：“对于任意的aR，方程f(x)1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若yf(x)在区间(1,0)及内各有一个零点，求实数a的取值范围解：(1)“对于任意的aR，方程f(x)1必有实数根”是真命题；依题意f(x)1有实根，即x2(2a1)x2a0有实根，因为(2a1)28a(2a1)20对于任意的aR恒成立，即x2(2a1)x2a0必有实根，从而f(x)1必有实根，