1、课时规范练40圆的方程基础巩固组1.与圆(x-1)2+y2=4圆心相同且过点P(-2,4)的圆的标准方程为()A.(x-1)2+y2=17B.(x+1)2+y2=25C.(x+1)2+y2=17D.(x-1)2+y2=252.若点P(1,1)在圆C:x2+y2+x-y+k=0外,则实数k的取值范围是()A.(-2,+)B.-2,-12C.-2,12D.(-2,2)3.(2021安徽合肥第六中学模拟)点M(0,1)与圆x2+y2-2x=0上的动点P之间的最近距离为()A.2B.2C.2+1D.2-14.(2021北京高三二模)已知实数x,y满足x2+y2+4x-6y+12=0,则x的最大值是()
2、A.3B.2C.-1D.-35.(多选)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法中正确的是()A.圆M的圆心为(4,-3)B.圆M截x轴所得的弦长为8C.圆M的半径为25D.圆M截y轴所得的弦长为66.(多选)已知圆C关于y轴对称,过点(1,0),且被x轴分成两段,弧长比为12,则圆C的方程可能为()A.x2+y+332=43B.x2+y-332=43C.(x-3)2+y2=43D.(x+3)2+y2=437.(2021江苏扬州中学模拟)已知aR,方程a2x2+(a+2)y2+2x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是.8.过圆x2+y2-4x=0的圆心且与直线2x+y=0垂直
3、的直线方程为.9.在平面直角坐标系xOy中,已知圆P截x轴所得的线段长为22,截y轴所得的线段长为23.(1)求圆心P的轨迹方程;(2)若P点到直线y=x的距离为22,求圆P的方程.综合提升组10.(2021重庆巴蜀中学高三月考)圆C为过点P(4,3),Q(2,5)的圆中最小的圆,则圆C上的任意一点M到原点O距离的取值范围为()A.2,5B.3,6C.5-22,5+22D.5-2,5+211.(多选)实数x,y满足x2+y2+2x=0,则下列关于yx-1的判断正确的是()A.yx-1的最大值为3B.yx-1的最小值为-3C.yx-1的最大值为33D.yx-1的最小值为-3312.已知等腰三角形
4、ABC的底边BC对应的顶点是A(4,2),底边的一个端点是B(3,5),则底边另一个端点C的轨迹方程是.13.在ABC中,AB=4,AC=2,A=3,动点P在以点A为圆心,半径为1的圆上,则PBPC的最小值为.14.已知圆O:x2+y2=1,点A(-1,0),B(1,0),且点P是圆O上异于A,B的动点.(1)证明:kAPkBP是定值;(2)过点P作x轴的垂线,垂足为点Q,点M满足2PQ=-PM,求点M的轨迹方程;(3)在(2)的条件下证明:kAMkBM是定值.创新应用组15.(2021江苏南京雨花台中学月考)现有ABC,AC=6,sin C=2sin A,则当ABC的面积最大时,BC的长为.
5、课时规范练40圆的方程1.D解析由圆(x-1)2+y2=4的方程可知圆心为(1,0).设所求圆的方程为(x-1)2+y2=r2,代入(-2,4)得(-2-1)2+42=r2,解得r=5,所以圆的标准方程为(x-1)2+y2=25.故选D.2.C解析由题意得1+1+1-1+k0,1+1-4k0,解得-2k12.故选C.3.D解析将圆x2+y2-2x=0化为标准方程得(x-1)2+y2=1,所以圆心为(1,0),半径为1,所以点M到圆心的距离为(0-1)2+(1-0)2=2,所以点M与圆上的动点P之间的最近距离为2-1.故选D.4.C解析方程可化为(x+2)2+(y-3)2=1,所以(x,y)在圆
6、心(-2,3),半径r=1的圆上,所以x的最大值是-2+1=-1.故选C.5.ABD解析由x2+y2-8x+6y=0,得(x-4)2+(y+3)2=25,所以圆M的圆心坐标为(4,-3),半径为5,圆M截x轴所得的弦长为8,圆M截y轴所得的弦长为6.故选ABD.6.AB解析由已知得圆C的圆心在y轴上,且被x轴所截得的劣弧所对的圆心角为23.设圆心的坐标为(0,a),半径为r,则rsin3=1,rcos3=|a|,解得r=233,即r2=43,|a|=33,即a=33.故圆C的方程为x2+y+332=43或x2+y-332=43.故选AB.7.(-1,-4)解析因为方程a2x2+(a+2)y2+
7、2x+8y+5a=0表示圆,所以a2=a+20,解得a=-1或a=2.当a=-1时,方程x2+y2+2x+8y-5=0,即(x+1)2+(y+4)2=22,所求圆的圆心坐标为(-1,-4);当a=2时,方程4x2+4y2+2x+8y+10=0,即x2+y2+12x+2y+52=0,此时122+22-452=-2340,方程不表示圆.综上所述,圆心坐标是(-1,-4).8.x-2y-2=0解析由x2+y2-4x=0,得(x-2)2+y2=4,所以圆心为(2,0).由2x+y=0得直线2x+y=0的斜率为-2,所以与直线2x+y=0垂直的直线的斜率为12,所以所求直线的方程为y-0=12(x-2)
8、,即x-2y-2=0.9.解(1)设P(x,y),圆P的半径为r,则y2+2=r2,x2+3=r2,y2+2=x2+3,即y2-x2=1,圆心P的轨迹方程为y2-x2=1.(2)设P点的坐标为(x0,y0),则|x0-y0|2=22,即|x0-y0|=1,y0-x0=1,即y0=x01.当y0=x0+1时,由y02-x02=1,得(x0+1)2-x02=1,x0=0,y0=1,r2=3,圆P的方程为x2+(y-1)2=3.当y0=x0-1时,由y02-x02=1,得(x0-1)2-x02=1,x0=0,y0=-1,r2=3,圆P的方程为x2+(y+1)2=3.综上所述,圆P的方程为x2+(y-
9、1)2=3或x2+(y+1)2=3.10.D解析过点P,Q,以线段PQ为直径的圆最小,则圆心为C(3,4),半径为2.圆心到原点的距离为5,点M到原点O距离的取值范围为5-2,5+2.故选D.11.CD解析由题意可得方程x2+y2+2x=0表示圆心为点C(-1,0),半径为1的圆,则yx-1为圆上的点到定点P(1,0)的斜率.设过P(1,0)的直线为y=k(x+1),即kx-y+k=0,则圆心到直线kx-y+k=0的距离d=r,即|2k|1+k2=1,整理可得3k2=1,解得k=33,所以yx-1-33,33,即yx-1的最大值为33,最小值为-33.故选CD.12.(x-4)2+(y-2)2
10、=10(去掉(3,5),(5,-1)两点)解析设C(x,y).由题意知,|AB|=(3-4)2+(5-2)2=10.因为ABC是以BC为底边的等腰三角形,所以|CA|=|AB|=10,即点C的轨迹是以点A为圆心,10为半径的圆.又点A,B,C构成三角形,所以三点不可共线,所以轨迹中需去掉点B(3,5)及点B关于点A对称的点(5,-1),所以点C的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3,5),(5,-1)两点).13.5-27解析如图,以点A为原点,AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(4,0),C(1,3).设P(x,y),则PB=(4-x,-y),PC=(
11、1-x,3-y),所以PBPC=(4-x)(1-x)-y(3-y)=x2-5x+y2-3y+4=x-522+y-322-3.因为x-522+y-322表示圆A上的点P与点M52,32之间的距离|PM|的平方,由图得|PM|min=|AM|-1=522+322-1=7-1,所以PBPC的最小值为(7-1)2-3=5-27.14.(1)证明由题意可知直线AP,BP的斜率均存在.因为线段AB是圆O的直径,所以APBP,所以kAPkBP=-1,即kAPkBP是定值.(2)解设P(m,n),M(x,y),则Q(m,0),所以PQ=(0,-n),PM=(x-m,y-n).因为2PQ=-PM,所以20=-(
12、x-m),-2n=-(y-n),所以m=x,n=13y.因为点P在圆O上,所以m2+n2=1.将代入,得x2+y29=1.又点P异于A,B两点,所以m1,即点M的轨迹方程为x2+y29=1(x1).(3)证明由题可知直线AM,BM的斜率均存在.由M(x,y),得kAM=yx+1,kBM=yx-1.由(2)可知x2-1=-y29,所以kAMkBM=yx+1yx-1=y2x2-1=-9,即kAMkBM是定值.15.25解析如图所示,以线段AC的中点为原点,AC边所在直线为x轴建立平面直角坐标系.因为AC=6,所以A(-3,0),C(3,0).设B(x,y).因为sin C=2sin A,由正弦定理可得c=2a,即|AB|=2|BC|,所以(x+3)2+y2=4(x-3)2+4y2,化简得(x-5)2+y2=16,且x1或9,所以圆的位置如图所示,圆心为(5,0),半径r=4.观察可得,三角形底边长AC不变的情况下,当B点位于圆心D的正上方或正下方时,高最大,此时ABC的面积最大,B点坐标为(5,4)或(5,-4),所以BC=(5-3)2+42=25.