1、课时作业(三十八)基本不等式一、选择题1(2016马鞍山模拟)设x0，y0，且2xy6，则9x3y有()A最大值27 B最小值27C最大值54 D最小值54解析：因为x0，y0，且2xy6，所以9x3y22254，当且仅当x，y3时，9x3y有最小值54。答案：D2(2016怀化模拟)已知a，b为正实数，函数y2aexb的图象过点(0,1)，则的最小值是()A32 B32C4 D2解析：因为函数y2aexb的图象过(0,1)点，所以2ab1，所以332，当且仅当，即ba时，取等号，所以的最小值是32。答案：A3(2016绵阳一诊)若正数a，b满足1，则的最小值为()A1 B6C9 D16解析：
2、方法一：因为1，所以abab(a1)(b1)1，所以2236。方法二：因为1，所以abab，所以b9a10(b9a)1016106。方法三：因为1，所以a1，所以(b1)2236。答案：B4(2016黄冈模拟)设a1，b0，若ab2，则的最小值为()A32 B6C4 D2解析：由ab2可得，(a1)b1。因为a1，b0，所以(a1b)323。当且仅当，即a，b2时取等号。答案：A5(2016吉林模拟)已知各项均为正数的等比数列an满足a7a62a5，若存在两项am，an使得4a1，则的最小值为()A. B.C. D.解析：由各项均为正数的等比数列an满足a7a62a5，可得a1q6a1q52a
3、1q4，所以q2q20，解得q2或q1(舍去)。因为4a1，所以qmn216，所以2mn224，所以mn6，所以(mn)(54)。当且仅当时，等号成立，故的最小值等于。答案：A6(2016太原模拟)正数a，b满足1，若不等式abx24x18m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A3，) B(，3C(，6 D6，)解析：因为a0，b0，1，所以ab(ab)1010216，由题意，得16x24x18m，即x24x2m对任意实数x恒成立，而x24x2(x2)26，所以x24x2的最小值为6，所以6m，即m6。答案：D二、填空题7已知x，y为正实数，3x2y10，的最大值为_。解析：由 得 2
4、，当且仅当x，y时取等号。答案：28(2016闵行模拟)若不等式(xy)16对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为_。解析：因为不等式(xy)16对任意正实数x，y恒成立，所以16min。令f(x)(xy)(a0)，则f(x)a4a42a44，当且仅当时取等号，所以a4416，解得a4，因此正实数a的最小值为4。答案：49(2016青岛模拟)下列命题中正确的是_(填序号)。y23x(x0)的最大值是24；ysin2x的最小值是4；y23x(x0)的最小值是24。解析：正确，因为y23x22224。当且仅当3x，即x时等号成立。不正确，令sin2xt，则0t1，所以g(t)t，显然g(t
5、)在(0,1上单调递减，故g(t)ming(1)145。不正确，因为x0，所以x0，最小值为24，而不是24。答案：三、解答题10(2016郑州模拟)若a0，b0，且。(1)求a3b3的最小值。(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由。解析：(1)因为a0，b0，且，所以2，所以ab2，当且仅当ab时取等号。因为a3b3224，当且仅当ab时取等号，所以a3b3的最小值为4。(2)由(1)可知，2a3b2246，故不存在a，b，使得2a3b6成立。11(2016长沙模拟)已知f(x)。(1)若f(x)k的解集为x|x3或x2，求k的值；(2)若对任意x0，f(x)t恒成立，求实数t的范
6、围。解析：(1)f(x)kkx22x6k0，由已知其解集为x|x3或x2，得x13，x22是方程kx22x6k0的两根，所以23，即k。(2)x0，f(x)，由已知f(x)t对任意x0恒成立，故实数t的取值范围是。12(2016江苏南通二调)为了净化空气，某科研小组根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为y若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和。由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用。(1)若一次喷洒4个单位的
7、净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1a4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值 (精确到0.1，参考数据：取1.4)。解析：(1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度f(x)4y则当0x4时，由44，解得x0，所以此时0x4。当4x10时，由202x4解得x8，所以此时4x8。综合得0x8，若一次投放4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天。(2)设从第一次喷洒起，经x(6x10)天，浓度g(x)2a10xa(14x)a4。因为14x4,8，而1a4，所以44,8，故当且仅当14x4时，y有最小值为8a4。令8a44，解得2416a4，所以a的最小值为24161.6。