1、高三数学第二轮专题复习系列(1)- 集合与简易逻辑一、【重点知识结构】集合集合的基本概念集合与集合的关系集合的应用集合及元素集合分类及表示子集、包含与相等交集、并集、补集解含绝对值符号、一元二次、简单分式不等式简易逻辑性命题逻辑联结词简单命题与复合命题四种命题及其关系充分必要条件二、【高考要求】1. 理解集合、子集、交集、并集、补集的概念.了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，能掌握有关的述语和符号，能正确地表示一些较简单的集合.2. 理解|ax+b|c(c0)型不等式的概念，并掌握它们的解法.了解二次函数、一元二次不等式及一元二次方程三者之间的关系，掌握一元二次不等式及简单分
2、式不等式的解法.3. 理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件的意义和判定.4. 学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合问题，形成良好的思维品质；学会判断和推理，解决简易逻辑问题，培养逻辑思维能力.三、【高考热点分析】集合与简易逻辑是高中数学的重要基础知识，是高考的必考内容.本章知识的高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用、判断命题的真假、四种命题的关系、充要条件的判定等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合
3、简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现.四、【高考复习建议】概念多是本章内容的一大特点，一是要抓好基本概念的过关，一些重点知识（如子、交、并、补集及充要条件等）要深刻理解和掌握；二是各种数学思想和数学方法在本章题型中都有较好体现，特别是数形结合思想，要善于运用韦氏图、数轴、函数图象帮助分析和理解集合问题.五、【例题】【例1】 设，求集合A与B之间的关系。解：由，得A=A=B【例2】 已知集合A=，集合B=，若BA，求实数p的取值范围。解：若B=时，若B时，则综上得知：时，BA。【例3】 已知集合，集合B=。如果，试求实数a的值。解：注意集合A、B的几何意义
4、，先看集合B；当a=1时，B=，AB=当a=1时，集合B为直线y=15，AB=当a1时，集合A：，只有才满足条件。故；解得：a=5或a=a=1或a=或a=1或a=5。【例4】 若集合A=，B=，且，求实数x。解：由题设知，故或即或或，但当时，不满足集合A的条件。实数x的值为或。【例5】 已知集合A=，B=，若，求实数m的值。解：不难求出A=，由，又，若，即，则若，即，故由知：m的取值范围是注：不要忽略空集是任何集合的子集。【例6】 已知集合A=，B=，C=，若与同时成立，求实数a的值。解：易求得B=，C=，由知A与B的交集为非空集。故2，3两数中至少有一适合方程又，即得，a=5或a=2当a=5
5、时，A=，于是，故a=5舍去。当a=2时，A=，于是，a=2。【例7】 ，AB=A，求a的取值构成的集合。解：AB=A，当时，-4a4，当1B时，将x=1代入B中方程得a=4，此时B=1，当2B时，将x=2代入B中方程得a=5，此时，a=5舍去，-4a4。【例8】 已知，且AB=A，求实数a组成的集合C。解：由A=1，2，由AB=A，即，只需a1-2=0，a=2或a2-2=0，a=1。另外显然有当a=0时， 也符合。所以C=0，1，2。【例9】 某车间有120人，其中乘电车上班的84人，乘汽车上班的32人，两车都乘的18人，求：（1）只乘电车的人数；（2）不乘电车的人数；（3）乘车的人数；（4
6、）不乘车的人数；（5）只乘一种车的人数。解：本题是已知全集中元素的个数，求各部分元素的个数，可用图解法。设只乘电车的人数为x人，不乘电车的人数为y人，乘车的人数为z人，不乘车的人数为u人，只乘一种车的人数为v人如图所示（1）x=66人，（2）y=36人，（3）z=98人，（4）u=22人，（5）v=80人。【例10】 （2004届湖北省黄冈中学高三数学综合训练题）已知M是关于的不等式的解集，且M中的一个元素是0，求实数的取值范围，并用表示出该不等式的解集.解：原不等式即，由适合不等式故得，所以，或.若，则，此时不等式的解集是；若，由，此时不等式的解集是.【例11】 （2004届杭州二中高三数学
7、综合测试题）已知，设命题，命题.试寻求使得都是真命题的的集合.解：设，依题意，求使得都是真命题的的集合即是求集合，若时，则有，而，所以，即当时使都是真命题的；当时易得使都是真命题的；若，则有，此时使得都是真命题的综合略.【例12】 （2004届湖北省黄冈中学综合测试题）已知条件和条件，请选取适当的实数的值，分别利用所给的两个条件作为A、B构造命题：“若A则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题.分析：本题为一开放性命题，由于能得到的答案不唯一，使得本题的求解没有固定的模式，考生既能在一般性的推导中找到一个满足条件
8、的，也能先猜后证，所找到的实数只需满足，且1即可.这种新颖的命题形式有较强的综合性，同时也是对于四个命题考查的一种新尝试，如此命题可以考查学生探究问题、解决问题的能力，符合当今倡导研究性学习的教学方向.解：已知条件即，或，或，已知条件即，或；令，则即，或，此时必有成立，反之不然.故可以选取的一个实数是，A为，B为，对应的命题是若则，由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题.【例13】 已知；是的必要不充分条件，求实数的取值范围.解：由得，由，得，即，或，而即，或；由是的必要不充分条件，知，设A=，B=，则有A，故且不等式中的第一、二两个不等式不能同时取等号，解得，此即为“是
9、的必要不充分条件”时实数的取值范围.【例14】 （2004届全国大联考高三第四次联考试题）已知函数，其中.（1）判断函数的增减性；（2）（文）若命题为真命题，求实数的取值范围.（2）（理）若命题为真命题，求实数的取值范围.解：（1），即，函数是增函数；（2）（文）即，必有，当，不等式化为，这显然成立，此时；当时，不等式化为，故，此时；综上所述知，使命题为真命题的的取值范围是.（2）（理）即，必有，当时，不等式化为，故，此时；当时，不等式化为，这显然成立，此时；当时，不等式化为，故，此时；综上所述知，使命题为真命题的的取值范围是.六、【专题练习】一、选择题1已知I为全集，集合M、NI，若MN=M
10、，则有：（D） AM() BM() C D2若非空集合A、B适合关系AB，I是全集，下列集合为空集的是：（D） A B C D3已知集合A=0，1，2，3，4，B=0，2，4，8，那么AB子集的个数是：（C） A6个 B7个 C8个 D9个4满足aXa,b,c的集合X的个数有 （ B ） （A）2 （B）3 （C）4 （D）55已知集合I、P、Q适合I=PQ=1，2，3，4，5，PQ=1，2则（PQ）（）为（ C ） （A）1，2，3 （B）2，3，4 （C）3，4，5 （D）1，4，56已知I为全集集合M，N是I的子集MN=N，则 （ B ） （A） （B） （C）M() （D）M()7设P
11、=x| x-2,Q=x | x3，则PQ等于 （ D ） （A） （B）R （C）P （D）Q8设集合E=n|n=2k , kZ，F=n|n=4k , kZ，则E、F的关系是 （ B ） （A）EF （B）EF （C）E=F （D）EF=9已知集合M=，N= x | x -1|2，则MN等于 （ B ） （A）（B） （C）（D）10已知集合I=R，集合M= x | x =，nN，P= x | x =，nN，则M与P的关系是 （ B ） （A）MP= （B）P= （C）M= （D）=11已知集合A=y|y=, x R,B=y|y= x R,则AB等于 （ C ） （A）2，4 （B）（2，4）
12、，（4，16） （C） y|y 0 （D） x| x0，则 （ D ）（A）PQ= （B）PQ=R （C）Q= （D）=-4二、解答题1、设A=，B=；若AB，求实数a的取值范围。解：由图象法解得：当a0时，；当a0时，要使得AB，必须且只须，解得2、已知A=，B=。若AB，求实数a的取值范围。解：易得，由得当3a+12，即时，要使AB，必须，当3a+1=2，即时，；要使AB，a=1当3a+12，即时，要使AB，必须综上知：或3、已知集合A=，B=，且，求实数m的值。解：，由得：4、已知集合A=，B=；若，求实数a的取值范围。解：B=，由得：因为，所以A=。由得： 或所以5、已知集合，同时满足
13、，其中p、q均为不等于零的实数，求p、q的值。解：条件是说集合A、B有相同的元素，条件是说-2A但，A、B是两个方程的解集，方程和的根的关系的确定是该题的突破口。设，则，否则将有q=0与题设矛盾。于是由，两边同除以，得，知，故集合A、B中的元素互为倒数。由知存在，使得，且，得或。由知A=1，-2或A=-1，-2。若A=1，-2，则，有同理，若A=-1，-2，则，得p=3，q=2。综上，p=1，q=-2或p=3，q=2。6、已知关于x的不等式，的解集依次为A、B，且。求实数a的取值范围。解：，B=x|（x-2）x-（3a+1）0当3a+12时，B=x|2x3a+13a+12a或，当3a+12或，7、已知集合，若，且，求实数a。解：AB=A，。A=1，2，或B=1或B=2或B=1，2。若，则由0，得aR，且a2，此时将x=1代入方程得aR，将x=2代入方程得a=3。综上所述，实数a的值为2或3。