1、2014-2015学年江苏省泰州市姜堰区高二（上）期中数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1在直角坐标系中，直线2xy1=0的斜率是2圆x2+y2+2x2y7=0的半径是3椭圆+=1的焦点坐标是4抛物线x2=4y的准线方程为5双曲线的两条渐近线方程为6若圆x2+y2=4 与圆x2+y22mx+m21=0相外切，则实数m=7已知点P为直线x+y4=0上一动点，则P到坐标原点的距离的最小值是8若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是9已知两圆x2+y2=10和（x1）2+（y3）2=10相交于A，B两点，则直线AB的方程是10已知点P在抛物线y2=4x上
2、运动，F为抛物线的焦点，点M的坐标为（3，2），当PM+PF取最小值时点P的坐标为11已知点P是圆C：x2+y24ax2by5=0（a0，b0）上任意一点，若P点关于直线x+2y1=0的对称点仍在圆C上，则+的最小值是12已知双曲线的左、右焦 点分别为F1、F2，P为C的右支上一点，且的面积等于13设集合M=（x，y）|y=x+b，N=（x，y）|y=3，当MN时，则实数b的取值范围是14设椭圆C：+=1（ab0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若ADF1B，则椭圆C的离心率等于二、解答题（本题共6小题，共90分解答时应写出文字说明、证明
3、过程或演算步骤）15已知点P为直线l1：2x3y1=0和直线l2：x+y+2=0的交点，M（1，2），N（1，5）（）求过点P 且与直线l3：3x+y1=0平行的直线方程；（）求过点P且与直线MN垂直的直线方程16已知三点P（5，2）、F1（6，0）、F2（6，0）（）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；（）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P、F1、F2，求以F1、F2为焦点且过点P的双曲线的标准方程17某城市交通规划中，拟在以点O为圆心，半径为50m的高架圆形车道外侧P处开一个出口，以与圆形道相切的方式，引申一条直道连接到距圆形道圆心O正北250m的道路上C处（如图），
4、以O为原点，OC为y轴建立如图所示的直角坐标系，求直道PC所在的直线方程，并计算出口P的坐标18已知直线l：x+y2=0，两点A（2，0），B（4，0），O为坐标原点（）动点P（x，y）与两点O、A的距离之比为1：，求P点所在的曲线方程；（）若圆C过点 B，且与直线l相切于点A，求圆C的方程19过点P（4，4）作直线l与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点（）若直线l的斜率为，求弦AB的长；（）若一直线与圆O相切于点Q且与x轴的正半轴，y轴的正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，求点Q的坐标20已知椭圆C经过点，且经过双曲线y2x2=1的顶点P是该椭圆上的一个动点，F1，F2是椭圆的左右
5、焦点，（1）求椭圆C的方程；（2）求|PF1|PF2|的最大值和最小值（3）求的最大值和最小值2014-2015学年江苏省泰州市姜堰区高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1在直角坐标系中，直线2xy1=0的斜率是2考点： 直线的斜率专题： 直线与圆分析： 化直线方程为斜截式，由斜截式的特点可得解答： 解：直线2xy1=0可化为y=2x1，由直线的斜截式可知直线斜率为：2故答案为：2点评： 本题考查直线的斜率，化直线方程为斜截式是解决问题的关键，属基础题2圆x2+y2+2x2y7=0的半径是3考点： 圆的一般方程专题： 计算题；直线
6、与圆分析： 把圆的方程化为标准形式，求得半径解答： 解：圆x2+y2+2x2y7=0可化为圆（x+1）2+（y1）2=9，圆x2+y2+2x2y7=0的半径是3，故答案为：3点评： 本题主要考查圆的标准方程，属于基础题3椭圆+=1的焦点坐标是（1，0）和（1，0）考点： 椭圆的标准方程专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 利用椭圆的简单性质直接求解解答： 解：椭圆+=1，a2=5，b2=4，c=1，椭圆焦点为（1，0）和（1，0）故答案为：（1，0）和（1，0）点评： 本题考查椭圆的焦点坐标的求法，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆的简单性质的合理运用4抛物线x2=4y的准线方程为y=1考点：
7、 抛物线的简单性质专题： 计算题分析： 由抛物线x2=2py（p0）的准线方程为y=即可求得抛物线x2=4y的准线方程解答： 解：抛物线方程为x2=4y，其准线方程为：y=1故答案为：y=1点评： 本题考查抛物线的简单性质，掌握其几何性质是关键，属于基础题5双曲线的两条渐近线方程为考点： 双曲线的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程解答： 解：双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上 而双曲线的渐近线方程为y=x双曲线的渐近线方程为故答案为：点评： 本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别
8、是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想6若圆x2+y2=4 与圆x2+y22mx+m21=0相外切，则实数m=3考点： 圆与圆的位置关系及其判定专题： 直线与圆分析： 先求出圆的圆心和半径，根据两圆相外切，可得圆心距等于半径之和，求得m的值解答： 解：圆x2+y2=4 的圆心为（0，0）、半径为2；圆x2+y22mx+m21=0，即（xm）2+y2=1，表示圆心为（m，0）、半径等于1的圆根据两圆相外切，可得圆心距等于半径之和，即|m|=2+1=3，求得m=3，故答案为：3点评： 本题主要考查圆的标准方程，两个圆相外切的性质，属于基础题7已知点P为直线x+y4=0上一动点，
9、则P到坐标原点的距离的最小值是考点： 点到直线的距离公式专题： 直线与圆分析： 本题可以利用点到直线的距离公式求出原点为到直线的距离，得到本题结论解答： 解：原点O（0，0）到直线x+y4=0的距离为：，直线x+y4=0上一动点P到坐标原点的距离的最小值为：故答案为：点评： 本题考查了点到直线的距离公式，本题难度不大，属于基础题8若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（5，9）考点： 椭圆的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 方程表示焦点在y轴的椭圆，可得x2、y2的分母均为正数，且y2的分母较大，由此建立关于k的不等式，解之即得K的取值范围解答： 解：方程+=1表
10、示焦点在y轴上的椭圆，k19k0，5k9故答案为：（5，9）点评： 本题给出椭圆的焦点在y轴上，求参数K的范围着重考查了椭圆的标准方程与简单性质等知识，属于基础题9已知两圆x2+y2=10和（x1）2+（y3）2=10相交于A，B两点，则直线AB的方程是x+3y5=0考点： 相交弦所在直线的方程专题： 直线与圆分析： 把两个圆的方程相减，即可求得公共弦所在的直线方程解答： 解：把两圆x2+y2=10和（x1）2+（y3）2=10的方程相减可得x+3y5=0，此直线的方程既能满足第一个圆的方程、又能满足第二个圆的方程，故必是两个圆的公共弦所在的直线方程，故答案为：x+3y5=0点评： 本题主要考
11、查求两个圆的公共弦所在的直线方程的方法，属于基础题10已知点P在抛物线y2=4x上运动，F为抛物线的焦点，点M的坐标为（3，2），当PM+PF取最小值时点P的坐标为（1，2）考点： 抛物线的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 设点P在准线上的射影为D，由抛物线的定义把问题转化为求PM+PD的最小值，同时可推断出当D，P，M三点共线时PM+PD最小，答案可得解答： 解：设点P在准线上的射影为D，由抛物线的定义可知PF=PD，要求PM+PF的最小值，即求PM+PD的最小值，只有当D，P，M三点共线时PM+PD最小，且最小值为3（1）=4令y=2，可得x=1，当PM+PF取最小
12、值时点P的坐标为（1，2）故答案为：（1，2）点评： 本题考查了抛物线的定义与标准方程、平面几何中求距离和的最小值等知识，正确运用抛物线的定义是关键11已知点P是圆C：x2+y24ax2by5=0（a0，b0）上任意一点，若P点关于直线x+2y1=0的对称点仍在圆C上，则+的最小值是8考点： 基本不等式；关于点、直线对称的圆的方程专题： 不等式的解法及应用；直线与圆分析： 由题意可判断，直线过圆心，得出2a+2b=1，则+=（2a+2b）（+）利用均值不等式成立解答： 解：圆C：x2+y24ax2by5=0（a0，b0）上任意一点，圆心为（2a，b）点P是圆C上任意一点，若P点关于直线x+2y
13、1=0的对称点仍在圆C上，圆心为（2a，b）在直线x+2y1=0上，2a+2b=1，则+=（2a+2b）（+）=4+4+4=8，（a=b等号成立）故答案为：8点评： 本题综合考查了直线与圆的位置关系，均值不等式求解最值，属于综合题，有点难度12已知双曲线的左、右焦 点分别为F1、F2，P为C的右支上一点，且的面积等于48考点： 双曲线的应用专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 先根据双曲线方程求出焦点坐标，再利用双曲线的性质求得|PF1|，作PF1边上的高AF2则可知AF1的长度，进而利用勾股定理求得AF2，则PF1F2的面积可得解答： 解：双曲线 中a=3，b=4，c=5，F1（
14、5，0），F2（5，0）|PF2|=|F1F2|，|PF1|=2a+|PF2|=6+10=16作PF1边上的高AF2，则AF1=8，PF1F2的面积为S=故答案为：48点评： 此题重点考查双曲线的第一定义，双曲线中与焦点，准线有关三角形问题；由题意准确画出图象，利用数形结合，注意到三角形的特殊性13设集合M=（x，y）|y=x+b，N=（x，y）|y=3，当MN时，则实数b的取值范围是12，3考点： 交集及其运算专题： 集合分析： 由已知得直线y=x+b与圆（x2）2+（y3）2=4有交点，由此能求出实数b的取值范围解答： 解：集合M=（x，y）|y=x+b，N=（x，y）|y=3，MN，直线
15、y=x+b与半圆（x2）2+（y3）2=4（1x3）有交点，半圆（x2）2+（y3）2=4（1x3）表示：圆心在（2，3），半径为 2 的圆的下半部分，y=x+b表示斜率为1的平行线，其中b是直线在y轴上的截距，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即圆心（2，3）到直线y=x+b的距离d=2，解得b=12或b=1+2（舍），由图知b的取值范围是12，3实数b的取值范围是12，3故答案为：12，3点评： 本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用14设椭圆C：+=1（ab0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与
16、y轴相交于点D，若ADF1B，则椭圆C的离心率等于考点： 椭圆的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 根据条件分别求出A，B，D的坐标，利用ADF1B，建立方程关系即可得到结论解答： 解：连接AF1，ODAB，O为F1F2的中点，D为BF1的中点，又ADBF1，|AF1|=|AB|AF1|=2|AF2|设|AF2|=n，则|AF1|=2n，|F1F2|=n，e=点评： 本题主要考查椭圆离心率的求解，根据条件求出对应点的坐标，利用直线垂直与斜率之间的关系是解决本题的关键，运算量较大为了方便，可以先确定一个参数的值二、解答题（本题共6小题，共90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
17、骤）15已知点P为直线l1：2x3y1=0和直线l2：x+y+2=0的交点，M（1，2），N（1，5）（）求过点P 且与直线l3：3x+y1=0平行的直线方程；（）求过点P且与直线MN垂直的直线方程考点： 直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系专题： 直线与圆分析： （）利用两直线平行研究直线的斜率，再根据条件过点P，得到直线的方程；（）利用两直线垂直研究直线的斜率，再根据条件过点P，得到直线的方程，得到本题结论解答： 解：由题意得：（），解得：，P（1，1）所求直线与直线l3：3x+y1=0平行，k=3，所求直线方程为：3x+y+4=0（）直线MN所在直线的斜率为
18、：，所求直线与两点M（1，2），N（1，5）所在直线垂直，k=，则所求直线方程为：2x+7y+9=0点评： 本题考查了两直线平行和两直线垂直，本题难度不大，属于基础题16已知三点P（5，2）、F1（6，0）、F2（6，0）（）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；（）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P、F1、F2，求以F1、F2为焦点且过点P的双曲线的标准方程考点： 圆锥曲线的综合；椭圆的应用专题： 计算题分析： （）根据题意设出所求的椭圆的标准方程，然后代入半焦距，求出a，b最后写出椭圆标准方程（）根据三个已知点的坐标，求出关于直线y=x的对称点分别为点，设出所求双曲线标
19、准方程，代入求解即可解答： 解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为（ab0），其半焦距c=6，b2=a2c2=9所以所求椭圆的标准方程为（2）点P（5，2）、F1（6，0）、F2（6，0）关于直线y=x的对称点分别为点P（2，5）、F1（0，6）、F2（0，6）设所求双曲线的标准方程为由题意知，半焦距c1=6，b12=c12a12=3620=16所以所求双曲线的标准方程为点评： 本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力属于中档题17某城市交通规划中，拟在以点O为圆心，半径为50m的高架圆形车道外侧P处开一个出口，以与圆形道相切的方式，引申一条直道连接到
20、距圆形道圆心O正北250m的道路上C处（如图），以O为原点，OC为y轴建立如图所示的直角坐标系，求直道PC所在的直线方程，并计算出口P的坐标考点： 直线与圆的位置关系专题： 直线与圆分析： 由题意可得圆形道的方程为x2+y2=502，点C的坐标为（0，250）根据CP与圆O相切求得CP的斜率k的值，再根据两条直线垂直的性质求得OP的斜率，可得OP的方程，再根据CP、OP的方程，求得P点坐标解答： 解：由题意可得圆形道的方程为x2+y2=502，引伸道与北向道路的交接点C的坐标为（0，250）设CP的方程为 y=kx+250，由图可知k0又CP与圆O相切，O到CP距离 =50，解得k=7，CP的
21、方程为 y=7x+250 又OPCP，KOPKCP=1，KOP= 则OP的方程是：y=x 由解得P点坐标为（35，5），引伸道所在的直线方程为7x+y250=0，出口P的坐标是（35，5）点评： 本题主要考查两条直线垂直的性质，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于基础题18已知直线l：x+y2=0，两点A（2，0），B（4，0），O为坐标原点（）动点P（x，y）与两点O、A的距离之比为1：，求P点所在的曲线方程；（）若圆C过点 B，且与直线l相切于点A，求圆C的方程考点： 轨迹方程专题： 计算题；直线与圆分析： （）利用PO：PA=1：，则PA2=3PO2，化简，可得P点所在的曲线方程
22、；（）设圆C的方程为：（xa）2+（yb）2=r2，依题意：圆心（a，b）既在过点A且与直线l垂直的直线上，又在AB的垂直平分线上，即可求出求圆C的方程解答： 解：（）依题意得：PO：PA=1：，则PA2=3PO2，（2分）所以（x2）2+y2=3（x2+y2），（4分）即（x1）2+y2=3，（6分）（）设圆C的方程为：（xa）2+（yb）2=r2，依题意：圆心（a，b）既在过点A且与直线l垂直的直线上，又在AB的垂直平分线上，因为A（2，0），B（4，0），所以AB的垂直平分线方程是：x=3，（8分）过点A且与直线l垂直的直线方程是：y=x2，（10分）所以，解得：a=3，b=1，（12分
23、）此时：r=，（14分）所以，圆C的方程是：（x3）2+（y1）2=2 （16分）点评： 本题考查求圆C的方程，考查学生的计算能力，确定圆心坐标是关键19过点P（4，4）作直线l与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点（）若直线l的斜率为，求弦AB的长；（）若一直线与圆O相切于点Q且与x轴的正半轴，y轴的正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，求点Q的坐标考点： 直线与圆的位置关系专题： 直线与圆分析： （）根据直线l的斜率为，用点斜式求得直线l的方程设点O到直线l的距离为d，则d=，再利用弦长公式求得AB的值（）设切点Q的坐标为（x0，y0），x00，y00，可得切线方程，根据S=，再利用
24、基本不等式求得x0y0 取得最大值的条件，可得点Q的坐标解答： 解：（）因为直线l的斜率为，所以直线l的方程是：y4=（x+4），即 x+2y4=0设点O到直线l的距离为d，则d=，所以 =4d2=4=，解得：AB=（）设切点Q的坐标为（x0，y0），x00，y00，则切线斜率为所以切线方程为yy0=（xx0 ）又 +=4，故 x0x+y0y=4此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积S=（13分）由 +=42x0y0，当且仅当x0=y0= 时，x0y0 有最大值即S有最小值因此点Q的坐标为（，）点评： 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、弦长公式、基本不等式的应用，属于
25、基础题20已知椭圆C经过点，且经过双曲线y2x2=1的顶点P是该椭圆上的一个动点，F1，F2是椭圆的左右焦点，（1）求椭圆C的方程；（2）求|PF1|PF2|的最大值和最小值（3）求的最大值和最小值考点： 椭圆的标准方程；平面向量数量积的运算专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （1）设出椭圆方程，代入点A，即可求椭圆C的方程；（2）利用椭圆的定义，结合配方法，可求|PF1|PF2|的最大值和最小值（3）利用向量的数量积公式，结合配方法，可求的最大值和最小值解答： 解：（1）双曲线y2x2=1的顶点为（0，1）由题意，设椭圆C的方程为（a1），则将代入可得a=2椭圆C的方程为；（2）设|PF1|=m，则|PF2|=4m，且m|PF1|PF2|=m（4m）=（m2）2+4m=2时，|PF1|PF2|的最大值为4；m=时，|PF1|PF2|的最小值为1；（3）设P（x，y），则=（x，y）（x，y）=x2+y23=（3x28），x2，2当x=0时，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值2；当x=2，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义，考查向量知识，考查配方法的运用，属于中档题
