1、核心素养提升练 五十八参 数 方 程(30分钟60分)1.已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的方程为sin -cos 2=0.(1)求曲线C的直角坐标方程.(2)写出直线l与曲线C交点的一个极坐标.【解析】(1)因为sin -cos 2=0, sin -2 cos 2=0,即y-x2=0.(2)将(t为参数),代入y-x2=0得,+t-=0,解得t=0.从而,交点坐标为(1,),所以,交点的一个极坐标为.2.(2018安阳模拟)设直线l的参数方程为(t为参数),若以直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,选择相同的长度单
2、位建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为sin 2=4cos .(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线C是什么曲线.(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,求|AB|.【解析】(1)由于sin 2=4cos ,所以2sin 2=4cos ,即y2=4x,因此曲线C表示顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线.(2)(t为参数),化为普通方程为y=2x-1,代入y2=4x并整理得4 x2-8x+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2)所以|AB|=|x2-x1|=.3.(2018成都模拟)在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(为参数),以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系
3、.(1)写出圆C的极坐标方程及圆心C的极坐标.(2)直线l的极坐标方程为=(R),与圆C交于M,N两点,求CMN的面积.【解析】(1)极坐标(,)与直角坐标(x,y)的对应关系为所以根据sin 2+cos 2=1,消元得+(sin -1)2=4,化简得=4sin ,因为圆心C的直角坐标为(,1),所以极坐标为,(2)联立得交点极坐标M(0,0),N,所以|MN|=2,|MC|=2,CMN=-=,所以CMN的面积=22sin =.4.(2018玉溪模拟)已知曲线C的参数方程为(为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C.(1)求曲线C的普通方程.(2)若点A在曲线C上,
4、点B(3,0),当点A在曲线C上运动时,求AB中点P的轨迹方程.【解析】(1)将(为参数),代入得C的参数方程为(为参数),曲线C的普通方程为x2+y2=1.(2)设P(x,y),A(x0,y0),又B(3,0),且AB中点为P,所以又点A在曲线C上,所以代入C得普通方程+=1,得(2x-3)2+(2y)2=1,所以动点P的轨迹方程为+y2=.5.(2019泰安模拟)在平面直角坐标系xOy中曲线C1过点P(a,1),其参数方程为(t为参数,aR),以O为极点,x轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为cos 2+4cos -=0.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程
5、.(2)已知曲线C1与曲线C2交于A,B两点,且|PA|=2|PB|,求实数a的值.【解析】(1)曲线C1的参数方程为(t为参数,aR),所以其普通方程为x-y-a+1=0,曲线C2的极坐标方程为cos 2+4cos -=0,所以2 cos 2+4cos -2=0,所以x2+4x-x2-y2=0,即曲线C2的直角坐标方程为y2=4x.(2)设A,B两点所对应参数分别为t1,t2,联立化简得2t2-2t+1-4a=0,要有两个不同的交点,则=-42(1-4a)0,即a0,由根与系数的关系得根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|,|PB|=2|t2|,又由|PA|=2|PB|,可得2|t1
6、|=22|t2|,即t1=2t2或t1=-2t2,所以当t1=2t2时,有t1+t2=3t2=,t1t2=2=,所以a=0符合题意,当t1=-2t2时,有t1+t2=-t2=,t1t2=-2=,所以a=0符合题意,综上所述,实数a的值为或.6.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(r0,为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为sin =1,若直线l与曲线C相切.(1)求曲线C的极坐标方程.(2)在曲线C上取两点M,N与原点O构成MON,且满足MON=,求MON面积的最大值.【解析】(1)因为直线l的极坐标方程为sin =1,所以直线l的直角坐标方
7、程为y=x+2,曲线C是圆心为(,1),半径为r的圆,直线l与曲线C相切可r=2,因为曲线C的参数方程为(r0,为参数),所以曲线C的普通方程为+(y-1)=4,所以曲线C的极坐标方程为2-2cos -2sin =0,即=4sin .(2)由(1),不妨设M(1,),N,10,20,SMON=|sin =12=4sinsin=2sin cos +2cos2=sin2+cos 2+=2sin+,当=时,SMON的值最大为2+.【变式备选】在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为sin =.(1)求曲线C的普通方程和
8、直线l的倾斜角.(2)设点P(0,2),直线l和曲线C交于A,B两点,求|PA|+|PB|.【解析】(1)由(为参数)消去参数,得+y2=1,即曲线C的普通方程为+y2=1.由sin =,得sin -cos =2,将代入,化简得y=x+2,所以直线l的倾斜角为.(2)由(1)知,点P(0,2)在直线l上,可设直线l的参数方程为(t为参数),即(t为参数),代入+y2=1并化简,得5t2+18t+27=0,=(18)2-4527=1080,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-0,所以t10,t20,所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=-(t1+t2)=.关闭Word文档返回原板块
