1、2等差数列2.1等差数列基础过关练题组一等差数列的定义1.下列命题:数列6,4,2,0是公差为2的等差数列;数列a,a-1,a-2,a-3是公差为-1的等差数列;等差数列的通项公式一定能写成an=kn+b(k,b为常数)的形式;数列2n+1是等差数列.其中正确命题的序号是() A.B.C.D.2.给出下列数列:(1)0,0,0,0,;(2)1,11,111,1 111,;(3)2,22,23,24,;(4)-5,-3,-1,1,3,;(5)1,2,3,5,8,.其中是等差数列的有()A.1个B.2个C.3个D.4个3.若数列an的通项公式是an=2(n+1)+3,则此数列()A.是公差为2的等
2、差数列B.是公差为3的等差数列C.是公差为5的等差数列D.不是等差数列题组二等差中项4.(2020浙江湖州中学高一上第一次月考)已知a=13-2,b=3-2,则a,b的等差中项为()A.2B.32C.3D.15.在等差数列an中,a1+a2+a3+a4+a5=20,那么a3=()A.4B.5C.6D.76.一个三角形的三个内角A,B,C的度数成等差数列,则B=()A.30B.45C.60D.907.若lg 2,lg(2x-1),lg(2x+3)成等差数列,则x的值是()A.9B.log25C.32D.0或328.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是()A.2
3、B.3C.6D.9题组三等差数列的通项公式9.(2020江西南昌高一下期末)已知数列an为等差数列,a2=3,a5=15,则a11=()A.39B.38C.35D.3310.已知an为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d=()A.-2B.-12C.12D.211.在等差数列an中,a3=7,a5=a2+6,则a6=.12.已知等差数列an中,a4=8,a8=4,则其通项公式an=.13.在-3和6之间插入两个数a,b,使这四个数成等差数列,则公差为.题组四等差数列的性质14.(2020湖北黄冈高一下期末)若等差数列an满足a7+a9=2,a10=-5,则数列an的首项a1=(深度
4、解析)A.20B.-3C.22D.-2315.(2019河南商丘九校高二期末联考)在单调递增的等差数列an中,若a3=1,a2a4=34,则a1=()A.-1B.0C.14D.1216.设数列an,bn都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=.17.在数列an中,a1=3,且对任意大于1的正整数n,点(an,an-1)在直线x-y-3=0上,则an=.18.首项为a1,公差d为正整数的等差数列an满足下列两个条件:(1)a3+a5+a7=93;(2)满足an100的n的最小值是15.试求公差d和首项a1的值.能力提升练一、选择题1.(2019山东烟台招远一中高二上月考,
5、)一个首项为23,公差为整数的等差数列中,前6项均为正数,从第7项起为负数,则公差d为() A.-2B.-3C.-4D.-52.(2019陕西西安一中高二月考,)设等差数列an的公差为d,若数列2a1an为递减数列,则()A.d0C.a1d03.()已知数列an是等差数列,且a1+a4+a7=2,则cos(a3+a5)=()A.12B.-12C.32D.-324.(2019山东济宁一中月考,)在等差数列an中,a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=29,则a3+a6+a9等于()A.13B.18C.20D.225.(2020湖北咸宁崇阳一中高一下月考,)若数列2an+1是等差数列,其公差d
6、=1,且a3=5,则a12=()A.18B.172C.192D.126.()已知an是首项为a,公差为1的等差数列,数列bn满足bn=1+anan,若对任意的nN+,都有bnb8成立,则实数a的取值范围是()A.(-8,-7)B.(-7,-6)C.(-8,-6)D.(-6,-5)7.(2020河南高二上天一大联考,)已知an是等差数列,且a2,a4 038是函数f(x)=x2-16x-2 020的两个零点,则a2 020=()A.8B.-8 C.2 020D.-2 0208.()已知函数f(x)是定义在R上的单调递增函数且为奇函数,数列an是等差数列,a110,则f(a9)+f(a11)+f(
7、a13)的值()A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负9.()已知数列an满足a1=13,an+1=an2an+1(nN+),则a20=()A.22B.122C.41D.14110.(2020江西新余一中、樟树中学等六校高一下联考,)周髀算经是我国古代的天文学和数学著作.其中有一个问题大意为:一年有二十四个节气,每个节气晷长损益相同(即太阳照射物体影子的长度增加或减少的大小相同).二十四个节气及晷长变化如图所示,若冬至晷长一丈三尺五寸,夏至晷长一尺五寸(注:一丈等于十尺,一尺等于十寸),则夏至后的第一个节气(即小暑)晷长为(深度解析)A.五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸二、填空
8、题11.()已知数列an满足an+12=an2+4,且a1=1,an0,则an=.12.()设数列an满足a1=1,a2=3,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,则a20=.三、解答题13.()已知成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数.14.(2021河南周口高二月考,)已知数列an中,a1=5且an=2an-1+2n-1(n2且nN+).(1)求a2,a3的值;(2)是否存在实数,使得数列an+2n为等差数列?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由;(3)求通项公式an.答案全解全析2等差数列2.1等差数列基础过关练1.C根据等差数列的定义,
9、数列6,4,2,0的公差为-2,故错;均正确.2.B根据等差数列的定义可知(1)(4)是等差数列,其余不是,所以等差数列有2个.3.A由题知an=2n+5,则an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2,根据等差数列的定义知,数列an是公差为2的等差数列.4.Ca=13-2=3+2(3-2)(3+2)=3+2,所以a+b=3+2+3-2=23,所以a,b的等差中项为a+b2=3.5.A由等差中项的性质得a1+a5=2a3,a2+a4=2a3,所以a1+a2+a3+a4+a5=5a3=20,所以a3=4.6.C由题意可知2B=A+C,又A+B+C=180,所以3B=180,解得B=60,故
10、选C.7.B由已知可得2lg(2x-1)=lg 2+lg(2x+3),即lg(2x-1)2=lg2(2x+3),2x-10,所以(2x-1)2=22x+6,2x-10,即(2x)2-42x-5=0,2x1,解得2x=5,所以x=log25.8.B由已知得m+2n=8,2m+n=10,解得m=4,n=2.所以m和n的等差中项为m+n2=3.9.A设an的公差为d,则由已知得a2=a1+d=3,a5=a1+4d=15,解得a1=-1,d=4,a11=a1+10d=39.10.B由a7-2a4=a1+6d-2(a1+3d)=-1,得a1=1,由a3=a1+2d=0,得d=-12a1=-12.11.答
11、案13解析设等差数列an的公差为d,由题意得a1+2d=7,a1+4d=a1+d+6,解得a1=3,d=2,所以a6=a1+5d=3+10=13.12.答案12-n解析设等差数列an的公差为d,由已知得a1+3d=8,a1+7d=4,解得a1=11,d=-1,所以an=a1+(n-1)d=11+(n-1)(-1)=12-n.13.答案3解析设该等差数列为an,公差为d.由题知,该等差数列中a1=-3,a4=6,即a1=-3,a1+3d=6,解得d=3.14.C设等差数列an的公差为d,由等差数列的性质,得a7+a9=2a8=2,a8=1,d=a10-a82=-3,a1=a8-7d=22.方法总
12、结合理运用等差数列的性质往往能简化运算,常用的性质有:(1)an=am+(n-m)d,常用于已知某项及公差表示任意项;(2)d=an-amn-m,常用于已知数列中的任意两项来计算公差.(3)若m+n=p+q=2,则am+an=ap+aq=2a,常用于等差数列中各项间的灵活转化.15.B设等差数列an的公差为d.在等差数列an中,a3=1,a2a4=34,则由等差数列的通项公式,得a3=a1+2d=1,(a1+d)(a1+3d)=34,解得d=12,a1=0.故选B.16.答案35解析由an,bn都是等差数列可知an+bn也是等差数列,设an+bn的公差为d,所以a3+b3=(a1+b1)+2d
13、,则2d=21-7,即d=7.所以a5+b5=(a1+b1)+4d=35.17.答案3n2解析因为对任意大于1的正整数n,点(an,an-1)在直线x-y-3=0上,所以有an-an-1-3=0(nN+,n2),即an-an-1=3(nN+,n2),则数列an是以a1=3为首项,d=3为公差的等差数列,所以an=3+3(n-1)=3n,所以an=3n2.18.解析a3+a5+a7=93,3a5=93,a5=31,由(2)知an100,an=a5+(n-5)d100,n69d+5.满足an100的n的最小值是15,1469d+515,69100,23+(7-1)d0,解得-235d-236.因为
14、d是整数,所以d=-4.2.C因为2a1an=2a1a1+(n-1)d=2a12+2a1dn-2a1d为递减数列,所以a1d0.3.B由等差数列的性质知a1+a4+a7=3a4=2,所以a4=23.又a3+a5=2a4=43,所以cos(a3+a5)=cos43=-12.4.A由等差数列的性质可知a1+a4+a7=3a4=45,所以a4=15.又a2+a5+a8=3a5=29,所以a5=293.因为2a5=a4+a6,所以a6=2a5-a4=133,所以a3+a6+a9=3a6=3133=13.5.C由等差数列的定义可知1=d=(2an+1+1)-(2an+1)=2(an+1-an),an+1
15、-an=12,数列an为等差数列,且公差为12,a12=a3+912=5+92=192.故选C.6.A因为对任意的nN+,都有bnb8成立,且bn=1+anan,所以1an1a8.又数列an的公差为1,所以数列an为递增数列,所以a80,即a+70,解得-8af(0)=0,a9+a13=2a110,a9-a13,所以f(a9)f(-a13)=-f(a13),即f(a9)+f(a13)0.因此可得f(a9)+f(a11)+f(a13)0.9.Dan+1=an2an+1,1an+1=2an+1an=1an+2,1an+1-1an=2.又1a1=3,数列1an是首项为3,公差为2的等差数列,1an=
16、2n+1,an=12n+1,a20=141.10.答案B信息提取一年有二十四个节气,每个节气晷长损益相同;冬至晷长一丈三尺五寸,夏至晷长一尺五寸,求小暑晷长.数学建模由题意知,从夏至到冬至,每个节气晷长损益相同,即各节气的晷长的尺数依次构成等差数列.故可将此问题转化为等差数列模型求解.设从夏至到冬至,第n个节气晷长为an寸(1n13,nN+),则在等差数列an中,a1=15,a13=135,易求得公差d=10,进而可求小暑晷长.解析设从夏至到冬至,第n个节气晷长为an寸(1n13,nN+),其中夏至晷长为a1=15寸,冬至晷长为a13=135寸,由每个节气晷长损益相同可知,an+1-an=常数
17、,所以an为等差数列,设公差为d,由题意知,a13=a1+12d=15+12d=135,解得d=10,则a2=a1+d=15+10=25.故选B.方法总结解决实际问题通常需要建立适当的数学模型.若问题涉及多个有规律的数,则可建立数列模型;若这个数列中相邻两项的差为同一个常数,则可建立等差数列模型.二、填空题11.答案4n-3解析由题意知,an+12-an2=4,所以数列an2是首项为1,公差为4的等差数列,可得an2=4n-3.又an0,所以an=4n-3.故答案为4n-3.12.答案245解析2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,数列nan是等差数列,且公差d=2a2-a1=5,
18、首项为1,20a20=1+(20-1)5=96,a20=245.三、解答题13.解析设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,则由题意得(a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=26,(a-d)(a+d)=40,即4a=26,a2-d2=40,解得a=132,d=32或a=132,d=-32.所以这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.14.解析(1)a1=5,且an=2an-1+2n-1(n2,且nN+),a2=2a1+22-1=13,a3=2a2+23-1=33.(2)假设存在实数,使得数列an+2n为等差数列.设bn=an+2n,由bn为等差数列,得2b2=b1+b3,即2a2+22=a1+2+a3+23,即13+2=5+2+33+8,解得=-1.此时bn+1-bn=an+1-12n+1-an-12n=12n+1(an+1-2an)+1=12n+1(2n+1-1)+1=1,b1=a1-12=2.综上可知,存在实数=-1,使得数列an+2n是首项为2,公差为1的等差数列.(3)由(2)知,数列an-12n是首项为2,公差为1的等差数列,an-12n=2+(n-1)1=n+1,an=(n+1)2n+1.
