1、32 复数代数形式的四则运算32.1复数代数形式的加减运算及其几何意义(教师用书独具)三维目标1知识与技能掌握复数加减运算的法则及运算律，理解复数加减运算的几何意义2过程与方法在问题探究过程中，体会和学习类比、数形结合等数学思想方法，感悟运算形成的基本过程3情感、态度与价值观通过探究复数加减运算法则的过程，感悟由特殊到一般的思想，同时由向量的加减法与复数的类比，理解复数加减的运算法则，知道事物之间是普遍联系的哲学规律重点难点重点：理解和掌握复数加减运算的两种运算形式及加法运算律，准确进行加减运算，初步运用加减法的几何意义解决简单问题难点：复数加减法的几何意义及其应用(教师用书独具)教学建议 建
2、议本节课采取自主探究式教学，这节课主要是复数的加减法运算，学生可以类比实数的加减法运算理解复数的加减法运算，让学生自主探讨例题1及变式训练的解法，总结规律方法在讨论复数加法的几何意义时，引导学生联想向量的加法并运用平行四边形法则来进行运算，复数减法的几何意义，可联想向量的减法运用三角形法则来进行运算教学中应让学生对复数的加法与向量的加法是怎样联系起来并得到统一的过程做出探究对于一些简单的问题让学生动手去做，让学生起到主体作用，教师起到主导作用教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生思考两个复数的和与差的运算让学生自主完成填一填，使学生进一步了解复数加减运算的方法，及其满足的运算律由学生自主分析
3、例题1的运算方法并求解，教师只需指导完善解答疑惑并要求学生独立完成变式训练学生分组探究例题2解法，通过引导学生画图，认识复数与向量的对应关系，联想向量运算的几何意义，求出z1z2，完成互动探究完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法并进行反馈矫正归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法学生自主完成例题3变式训练，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法老师组织解法展示，引导学生总结解题规律.课标解读1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则(重点)2理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题(
4、难点)复数代数形式的加减运算【问题导思】已知复数z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)1多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？【提示】两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(abi)(cdi)(ac)(bd)i.2复数的加法满足交换律和结合律吗？【提示】满足(1)运算法则：设z1abi，z2cdi(a、b、c、dR)，则z1z2(ac)(bd)i，z1z2(ac)(bd)i.(2)加法运算律：交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)复数加减法运算的几何意义【问题导思】如图，分别与复数abi，cdi对应1试写出，及，的坐标【提示】
5、(a，b)，(c，d)，(ac，bd)，(ac，bd)2向量，对应的复数分别是什么？【提示】对应的复数是ac(bd)i，对应的复数是ac(bd)i.图321(1)复数加法的几何意义如图321：设复数z1，z2对应向量分别为，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1z2对应的向量是.(2)复数减法的几何意义图322如图322所示，设，分别与复数z1abi，z2cdi对应，且，不共线，则这两个复数的差z1z2与向量(即)对应，这就是复数减法的几何意义这表明两个复数的差z1z2(即)与连接两个终点Z1，Z2，且指向被减数的向量对应.复数的加减运算计算下列各题：(1)(i)(i)1；(2)()()i；
6、(3)(56i)(22i)(33i)【思路探究】解答本题可根据复数加减运算的法则进行【自主解答】(1)原式()()i11i.(2)原式()(1)ii.(3)原式(523)6(2)3i11i.复数的加减法运算就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减已知复数z满足z12i103i，求z.【解】z12i103i，z(103i)(2i1)95i.复数加减法的几何意义设及分别与复数z153i及复数z24i对应，试计算z1z2，并在复平面内作出.【思路探究】利用加法法则求z1z2，利用复数的几何意义作出.【自主解答】z153i，z24i，z1z2(53i)(4i)94i(5,3)，(4,1)，由复数的
7、几何意义可知，与复数z1z2对应，(5,3)(4,1)(9,4)作出向量如图所示1根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算2利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则3复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能在题设不变的情况下，计算z1z2，并在复平面内作出.【解】z1z2(53i)(4i)(54)(31)i12i.，故即为图中.复数加减法的综合问题已知|z1i|1，求|z34i|的最大值和最小值【思路探究】利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想解题【自主解答】法一设wz34i，zw34i，z1iw45i.又|z1i|
8、1，|w45i|1.可知w对应的点的轨迹是以(4,5)为圆心，1为半径的圆如图(1)所示，|w|max1，|w|min1.(1)(2)法二由条件知复数z对应的点的轨迹是以(1,1)为圆心，1为半径的圆，而|z34i|z(34i)|表示复数z对应的点到点(3，4)的距离，在圆上与(3，4)距离最大的点为A，距离最小的点为B，如图(2)所示，所以|z34i|max1，|z34i|min1.|z1z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解设z1，z2C，已知|z1|z2|1，|z1z2|
9、，求|z1z2|.【解】法一设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)由题意，知a2b21，c2d21.(ac)2(bd)22，2ac2bd0.|z1z2|2(ac)2(bd)2a2c2b2d22ac2bd2.|z1z2|.法二设复数z1，z2，z1z2分别对应向量，.|z1|z2|1，|z1z2|，平行四边形OZ1ZZ2为正方形|z1z2|.数形结合思想在复数中的应用复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,42i，由ABCD按逆时针顺序作ABCD，则|等于()A5B.C.D.【思路点拨】首先由A、C两点坐标求解出AC的中点坐标，然后再由点B的坐标求解出点D的坐标【规范解答】如图，设D(
10、x，y)，F为ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为(2，)，所以即所以点D对应的复数为z33i，所以33i123i，所以|.【答案】B数与形是数学中两个最古老、也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思维方法本章中有关复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解1复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数
11、的减法是加法的逆运算2复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则1(2013潍坊市高二检测)(22i)(3i5)等于()A2iB3iC5i7 D23i【解析】(22i)(3i5)(25)(23)i3i.【答案】B2在复平面内，点A对应的复数为23i，向量对应的复数为12i，则向量对应的复数为()A15i B3iC3i D1i【解析】，对应的复数为(23i)(12i)(21)(32)i3i.故选B.【答案】B3实数x，y满足(1i)x(1i)y2，则xy的值是_【解析】(1i)x(1i)y2，解得xy1.【答案】14设z12bi，z2ai，当z1z2
12、0时，求复数abi.【解】z1z20，(2a)(b1)i0，复数abi2i.一、选择题1设复数z12i，z212i，则复数z1z2在复平面内对应点所在的象限是()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限【解析】z1z2(2i)(12i)(21)(i2i)3i，故z1z2对应点的坐标为(3，1)在第三象限【答案】C2向量对应的复数是54i，向量对应的复数是54i，则对应的复数是()A108i B108iC0 D108i【解析】由题意可知(5，4)，(5,4)，(5，4)(5,4)(55，44)(0,0)对应的复数是0.【答案】C3复数满足1z2i(3i)2i，则z()A1i B2iC22i D
13、2i【解析】z12i3i2i2i.【答案】B4已知复平面内的平面向量，表示的复数分别是2i,32i，则向量所表示的复数的模为()A.B. C.D.【解析】，向量对应的复数是(2i)(32i)13i，且|13i|.【答案】C5复数z1a4i，z23bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为()Aa3，b4 Ba3，b4Ca3，b4 Da3，b4【解析】由题意可知z1z2(a3)(b4)i是实数，z1z2(a3)(4b)i是纯虚数，故解得a3，b4.【答案】A二、填空题6复数z1、z2分别对应复平面内的点M1、M2，且|z1z2|z1z2|，线段M1M2的中点M对应的复数为43i，则|
14、z1|2|z2|2等于_.【解析】根据复数加减法的几何意义，由|z1z2|z1z2|知，以、为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等)，即M1OM2为直角，M是斜边M1M2的中点，|5，|M1M2|10.|z1|2|z2|2|1|2|2|2100.【答案】100图3237(2013大连高二检测)在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO0，zA2i，zB2a3i，zCbai，则实数ab为_【解析】因为，所以2i(bai)2a3i，所以得ab4.【答案】48A、B分别是复数z1、z2在复平面上对应的两点，O是原点，若|z1z2|z1z2|，则AOB的形状是_【解析】由|z1z2|z1z2|知
15、，以OA、OB为邻边的平行四边形是矩形，即OAOB，故AOB是直角三角形【答案】直角三角形三、解答题9计算：(1)(12i)(34i)(56i)；(2)5i(34i)(13i)；(3)(abi)(2a3bi)3i(a、bR)【解】(1)(12i)(34i)(56i)(135)(246)i18i.(2)5i(34i)(13i)5i(4i)44i.(3)(abi)(2a3bi)3i(a2a)b(3b)3ia(4b3)i.10已知z1(3xy)(y4x)i，z2(4y2x)(5x3y)i(x，yR)，设zz1z2132i，求z1，z2.【解】zz1z2(3xy)(y4x)i(4y2x)(5x3y)i
16、(3xy)(4y2x)(y4x)(5x3y)i(5x3y)(x4y)i，又z132i，且x，yR，解得z1(321)(142)i59i，z24(1)22523(1)i87i.11设f(z)z2i，z134i，z22i，求：(1)f(z1z2)的值；(2)f(z1z2)的值【解】z134i，z22i，z1z2(34i)(2i)(32)(41)i55i，z1z2(34i)(2i)(32)(41)i13i.f(z)z2i，(1)f(z1z2)z1z22i55i2i53i；(2)f(z1z2)z1z22i13i2i1i.(教师用书独具)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设复数zcos
17、Aisin A，且满足|z1|1.(1)求复数z；(2)求的值【思路探究】本题主要考查复数的概念、代数运算及以复数为载体解三角形的知识把复数z1的模转化为它对应的向量的模，从而求出A，第(2)问利用正弦定理把边转化为角，再进行三角恒等变换即可求解【自主解答】(1)zcos Aisin A，z11cos Aisin A.复数z1对应的向量(1cos A，sin A)，|，|z1|.22cos A1，cos A，A120.sin A，复数zi.(2)由正弦定理，得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(其中R为ABC外接圆的半径)原式.B180AC60C，原式2.即2.复数的代数运算可以综合三角形、不等式及向量等知识，一般是以复数为载体，利用复数的概念和代数运算转化为其他知识，如不等式、三角函数等在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2i，12i.(1)求向量，对应的复数；(2)判断ABC的形状【解】(1)由题意知，复平面内A，B，C三点的坐标分别为(1,0)，(2,1)，(1,2)，(2,1)(1,0)(1,1)，(1,2)(1,0)(2,2)，(1,2)(2,1)(3,1)，所以，对应的复数分别为1i，22i，3i.(2)因为|210，|28，|22，所以有|2|2|2，所以ABC为直角三角形.
