1、1.2充分条件与必要条件一:教法分析三维目标 1.知识与技能(1)正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念;(2)能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念,熟练判断四种命题间的关系;(3)在理解定义的基础上,可以自觉地对定义进行转化,转化成推理关系及集合的包含关系2过程与方法(1)培养学生的观察与类比能力:“会观察”,通过大量的问题,会观察其共性及个性;(2)培养学生的归纳能力:“敢归纳”,敢于对一些事例,观察后进行归纳,总结出一般规律;(3)培养学生的建构能力:“善建构”,通过反复的观察分析和类比,对归纳出的结论,建构于自己的知识体系中3情感、态度与价值观(1)通过以学生为主体的教学方
2、法,让学生自己构造数学命题,发展体验获取知识的感受;(2)通过对命题的四种形式及充分条件、必要条件的相对性,培养同学们的辩证唯物主义观点;(3)通过“会观察”,“敢归纳”,“善建构”,培养学生自主学习,勇于创新,多方位审视问题的创造技巧,敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来,并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神重点难点重点:充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义难点:必要条件的定义、充要条件的充分必要性重难点突破的关键:找出题目中的p、q,判断pq是否成立,同时还需判断qp是否成立,再弄清是问“p是q的什么条件”,还是问“q是p的什么条件”二:方案设计教学建议 基于教材内容
3、和学生的年龄特征,根据“开放式”、“启发式”教学模式和新课程改革的理论认识,结合学生实际,主要突出以下几个方面:(1)创设与生活实践相结合的问题情景,在加强数学教学的实践性的同时充分调动学生求知欲,并以此来激发学生的探究心理(2)教学方法上采用了“合作探索”的教学模式,使课堂教学体现“参与式”、“生活化”、“探索性”,保证学生对数学知识的主动获取,以求获得最佳效果(3)注重渗透数学思考方法(联想法、类比法、归纳总结等一般科学方法),让学生在探索学习知识的过程中,领会常见数学思想方法,培养学生的探索能力和创造性素质(4)注意在探究问题时留给学生充分的时间,以利于开放学生的思维指导学生掌握“观察猜
4、想归纳应用”这一思维方法,采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动,将自己所学知识应用于对命题结构的探究让学生在问题情景中学习,观察,类比,思考,探究,概括,动手尝试相结合,体现学生的主体地位,增强学生由特殊到一般的数学思维能力,形成实事求是的科学态度,增强锲而不舍的求学精神教学流程三、自主导学课标解读1.理解充分、必要、充要条件的意义(重点)2.能熟练判断条件与结论之间的充分(必要、充要)性(重点、难点)充分条件、必要条件与充要条件【问题导思】观察下面四个电路图,开关A闭合作为命题的条件p,灯泡B亮作为命题的结论q.1在上面四个电路中,你能说出p,q之间的推出关系吗?【提示】开关A闭合,
5、灯泡B一定亮,灯泡B亮,开关A不一定闭合,即pq,qDp;开关A闭合,灯泡B不一定亮,灯泡B亮,开关A必须闭合,即pDq,qp;开关A闭合,灯泡B亮,反之灯泡B亮,开关A一定闭合,即pq;开关A闭合与否,不影响灯泡B,反之,灯泡B亮与否,与开关A无关,即pDq,且qDp.2电路图中开关A闭合,灯泡B亮;反之灯泡B亮,开关A一定闭合,两者的关系应如何表述?【提示】pq.1充分条件与必要条件命题真假“若p,则q”是真命题“若p,则q”是假命题推出关系pqp q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件2.充要条件的概念一般地,如果既有pq,又有qp,就记作pq.此
6、时,我们说p是q的充分必要条件,简称充要条件概括地说,如果pq,那么p与q互为充要条件.四、互动探究充分条件、必要条件、充要条件的判断 (1)已知实系数一元二次方程ax2bxc0(a0),下列结论正确的是()b24ac0是这个方程有实根的充要条件;b24ac0是这个方程有实根的充分条件;b24ac0是这个方程有实根的必要条件;b24ac0是这个方程没有实根的充要条件ABC D(2)若p:(x1)(x2)0,q:x2,则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【思路探究】(1)b24ac与方程有何关系?当0,0或0时,一元二次方程的根的情况如何?(2)不等
7、式(x1)(x2)0的解集是什么?p、q有怎样的关系?【自主解答】(1)对,0方程ax2bxc0有实根;对,0方程ax2bxc0有实根;错,0方程ax2bxc0有实根,但ax2bxc0有实根D0;对,0方程ax2bxc0无实根故选D.(2)p:2x1,q:x2,显然pq,但qDp,即p是q的充分不必要条件【答案】(1)D(2)A1判断p是q的什么条件,主要判断pq,及qp两命题的正确性,若pq真,则p是q成立的充分条件;若qp真,则p是q成立的必要条件要否定p与q不能相互推出时,可以举出一个反例进行否定2判定方法常用以下几种:(1)定义法:借助“”号,可记为:箭头所指为必要,箭尾跟着充分(2)
8、集合法:将命题p、q分别看做集合A,B,当AB时,p是q的充分条件,q是p的必要条件,即pq,可以用“小范围推出大范围”来记忆;当AB时,p、q互为充要条件已知如下三个命题中:(2013福州高二检测)若aR,则“a2”是“(a1)(a2)0”的充分不必要条件;(2013临沂高二检测)对于实数a,b,c,“ab”是“ac2bc2”的充分不必要条件;直线l1:axy3,l2:xbyc0.则“ab1”是“l1l2”的必要不充分条件;“m2或m6”是“yx2mxm3有两个不同零点”的充要条件正确的结论是_【解析】中,当a2时,有(a1)(a2)0;但当(a1)(a2)0时,a1或a2,不一定有a2.“
9、a2”是“(a1)(a2)0”的充分不必要条件,正确abDac2bc2(c0),但ac2bc2ab.“ab”是“ac2bc2”必要不充分条件,错中,ab1且ac3时,l1与l2重合,但l1l2,即ab1,“ab1”是“l1l2”的必要不充分条件,正确中,yx2mxm3有两个不同零点m24(m3)0m2或m6.是充要条件,正确【答案】充分条件、必要条件、充要条件的应用 (2013大连高二期末)设集合Ax|x2x60,关于x的不等式x2ax2a20的解集为B(其中a0)(1)求集合B;(2)设p:xA,q:xB,且綈p是綈q的必要不充分条件,求实数a的取值范围【思路探究】(1)不等式x2ax2a2
10、0的解集是什么?(2)由“綈p是綈q的必要不充分条件”可得怎样的推出关系?这种推出关系的等价关系是什么?表现在集合上又是怎样的?【自主解答】(1)x2ax2a20(x2a)(xa)0,解得xa或x2a.故集合Bx|xa或x2a(2)法一若綈p是綈q的必要不充分条件,则綈q綈p,由此可得pq,则Ax|x2x60x|(x3)(x2)0x|x3或x2由pq,可得AB,a1.法二Ax|x3或x2,UAx|2x3,而UBx|2axa,由綈p是綈q的必要不充分条件,可得綈q綈p,也即UBUA,a1.1利用充分、必要条件求参数的取值范围问题,常利用集合法求解,即先化简集合Ax|p(x)和Bx|q(x),然后
11、根据p与q的关系(充分、必要、充要条件),得出集合A与B的包含关系,进而得到相关不等式组(也可借助数轴),求出参数的取值范围2判断p是q的什么条件,若直接判断困难,还可以用等价命题来判断,有时也可通过举反例否定充分性或必要性已知p:x28x200,q:x22x1m20(m0)若綈p是綈q的充分而不必要条件,求实数m的取值范围【解】法一由x28x200,得2x10,由x22x1m20,得1mx1m(m0)綈p:Ax|x10或x2,綈q:Bx|x1m或x1m綈p是綈q的充分而不必要条件,AB.解得0m3.m的取值范围是m|0m3法二由x28x200,得2x10,由x22x1m20得1mx1m(m0
12、),p:Ax|2x10,q:Bx|1mx1m綈p是綈q的充分不必要条件,q也是p的充分不必要条件,BA.解得0m3.m的取值范围是m|0m3.充要条件的证明求证:方程mx22x30有两个同号且不等的实根的充要条件是:0m.【思路探究】先找出条件和结论,然后证明充分性和必要性都成立【自主解答】充分性(由条件推结论):0m,方程mx22x30的判别式412m0,方程有两个不等的实根设方程的两根为x1、x2,当0m时,x1x20且x1x20,故方程mx22x30有两个同号且不相等的实根,即0m方程mx22x30有两个同号且不相等的实根必要性(由结论推条件):若方程mx22x30有两个同号且不相等的实
13、根,则有,0m,即方程mx22x30有两个同号且不相等的实根0m.综上,方程mx22x30有两个同号且不相等的实根的充要条件是0m.1证明p是q的充要条件,既要证明命题“pq”为真,又要证明“qp”为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性2证明充要条件,即说明原命题和逆命题都成立,要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异,分清哪个是条件,哪个是结论求证:关于x的方程ax2bxc0有一个根是1的充要条件是abc0.【证明】假设p:方程ax2bxc0有一个根是1,q:abc0.(1)证明pq,即证明必要性x1是方程ax2bxc0的根,a12b1c0,即abc0.(2)证
14、明qp,即证明充分性由abc0,得cab.ax2bxc0,ax2bxab0,即a(x21)b(x1)0.故(x1)(axab)0.x1是方程的一个根故方程ax2bxc0有一个根是1的充要条件是abc0.五、易误辨析因考虑不周到致误一次函数yx的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是()Am0,n0Bmn0Cm0,n0 Dmn0【错解】由题意可得,一次函数yx的图象同时经过第一、二、四象限,即解得m0,n0,所以选A.【答案】A【错因分析】p的必要不充分条件是q,即q是p的必要不充分条件,则qDp且pq,故本题应是题干选项,而选项D题干,选项A为充要条件【防范措施】要说明p是q的充分不必
15、要条件,须满足pq,但qDp;要说明p是q的必要不充分条件,须满足pDq,但qp;要说明p是q的充要条件,须满足pq且qp,解题时一定要考虑周到,切莫顾此失彼【正解】一次函数yx的图象同时经过第一、二、四象限,即得m0,n0.故由函数yx的图象同时经过第一、二、四象限可以推出mn0,而由mn0不一定推出函数yx的图象过一、二、四象限,所以选D.【答案】D六、课堂小结充分条件与必要条件的判断方法(1)定义法用定义法判断直观、简捷,且一般情况下,错误率低,在解题中应用极为广泛(2)集合法从集合角度看,设集合Ax|x满足条件p,Bx|满足条件q若AB,则p是q的充分条件;若AB,则p是q的充分不必要
16、条件若AB,则p是q的必要条件;若AB,则p是q的必要不充分条件若AB,则p是q的充要条件若AB,且AB,则p是q的既不充分也不必要条件(3)等价转化法当某一命题不易直接判断条件和结论的关系(特别是对于否定形式或“”形式的命题)时,可利用原命题与逆否命题等价来解决(4)传递法充分条件与必要条件具有传递性,即由p1p2p3pn,则可得p1pn,充要条件也有传递性七、双基达标1(2013成都高二检测)“x3”是“x29”的()A充分而不必要的条件B必要而不充分的条件C充要条件D既不充分也不必要的条件【解析】当x3时,x29;但x29,有x3.“x3”是“x29”的充分不必要条件【答案】A2设p:x
17、23x40,q:x2,则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】当x23x40时,不一定有x2;但当x2时,必有x23x40,故p是q的必要不充分条件【答案】B3在“x2(y2)20是x(y2)0的充分不必要条件”这句话中,已知条件是_,结论是_【答案】x2(y2)20x(y2)04若p:x1或x2;q:x1,则p是q的什么条件?【解】因为x1或x2x1;x1x1或x2,所以p是q的充要条件.八、知能检测一、选择题1若集合A1,m2,B2,4,则m2是AB4的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】当m2时,m24
18、,AB4,但m24时,m2,AB4得m2.【答案】A2(2013济南高二检测)设,(,),那么“”是“tan tan ”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】在(,)中,函数ytan x为增函数,所以设、(,),那么“”是tan tan 的充要条件【答案】C3下列选项中,p是q的必要不充分条件的是()Ap:acbd,q:ab且cdBp:AB,q:xAxBCp:x1,q:x2xDp:a1,q:f(x)logax(a0,且a1)在(0,)上为增函数【解析】易知由acbdDab且cd.但ab且cd,可得acbd“p:acbd”是“q:ab且cd”的必要不充分条
19、件故选A.【答案】A4“”是“sin sin ”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C既不充分也不必要条件D充要条件【解析】由“”D“sin sin ”;由“sin sin ”D“”,应选C.(也可以举反例)【答案】C5(2013青岛高二检测)下列各小题中,p是q的充分必要条件的是()p:m2或m6,q:yx2mxm3有两个不同的零点;p:1,q:yf(x)是偶函数;p:cos cos ;tan tan ;p:ABA,q:UBUA.ABCD【解析】yx2mxm3有两个不同的零点,则m24(m3)0,得m6或m2,所以p是q的充要条件若yf(x)中存在x0,使得f(x0)0,则p是q的充分不必
20、要条件当k时,tan ,tan 无意义,所以p是q的必要不充分条件p是q的充要条件【答案】D二、填空题6下列不等式:x1;0x1;1x0;1x1.其中,可以是x21的一个充分条件的所有序号为_【答案】7(2013武汉高二检测)“b2ac”是“a、b、c”成等比数列的_条件【解析】“b2acD”a,b,c成等比数列,如b2ac0;而“a,b,c”成等比数列“”“b2ac”【答案】必要不充分8在平面直角坐标系xOy中,直线x(m1)y2m与直线mx2y8互相垂直的充要条件是m_.【解析】直线x(m1)y2m与直线mx2y8互相垂直1m(m1)20m.【答案】三、解答题9指出下列命题中,p是q的什么
21、条件(1)p:,q:x2x30;(2)p:ax2ax10的解集是R,q:0a4;(3)p:ABA,q:ABB.【解】(1)化简得p:,q:.如图由图可知,所以p是q的充分不必要条件(2)因为ax2ax10的解集是R,所以当a0时成立;当a0时,ax2ax10的解集是R,有解得0a4,所以0a4.所以pD/q,qp,所以p是q的必要不充分条件(3)对于p:ABABA,对于q:ABBBA,即pq,所以p是q的充要条件10若Ax|axa2,Bx|x1或x3,且A是B的充分不必要条件,求实数a的取值范围【解】A是B的充分不必要条件,AB.又Ax|axa2,Bx|x3因此a21或a3,实数a的取值范围是
22、a3或a3.11设a,b,c分别是ABC的三个内角A、B、C所对的边,证明:“a2b(bc)”是“A2B”的充要条件【证明】充分性:由a2b(bc)b2c22bccos A可得12cos A.即sin B2sin Bcos Asin(AB)化简,得sin Bsin(AB)由于sin B0且在三角形中,故BAB,即A2B.必要性:若A2B,则ABB,sin(AB)sin B,即sin(AB)2sin Bcos Asin A.sin(AB)sin B(12cos A)A、B、C为ABC的内角,sin(AB)sin C,即sin Csin B(12cos A)12cos A1,即.化简得a2b(bc)a2b(bc)是“A2B”的充要条件.九、备课资源试求关于x的方程x2mx10有两个负实根的充要条件【自主解答】如果方程x2mx10有两个负实根,设两负根为x1,x2,则x1x21,解之得m2.因此m2是方程x2mx10有两个负实根的必要条件下面证明充分性因为m2,所以m240,所以方程x2mx10有实根,设两根为x1,x2,由根与系数的关系知,x1x210,所以x1,x2同号又x1x2m20,所以x1,x2同为负数故m2是方程x2mx10有两个负实根的充要条件求关于x的不等式kx2xk0(k0)恒成立的充要条件【解】kx2xk0(k0)恒成立k.