1、2020-2021学年浙江省宁波市慈溪市高一（下）期中数学试卷一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）. 1若向量，则（）A4B2C2D42在等腰ABC中，A120，ABAC1，则等于（）ABCD3在ABC中，点D在BC边上，且，设，则可用基底，表示为（）ABCD4如图是一个水平放置的直观图，它是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积为（）A2+BCD1+5复数2+i与复数在复平面内对应的点分别是A、B，若O为坐标原点，则AOB为（）ABCD6设，是非零向量，则“”是“函数f（x）（x+）（x）为一次函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充
2、分也不必要条件7若点M是ABC所在平面内一点，且满足：则ABM与ABC的面积之比为（）ABCD8在OAB中，OAOB2，动点P位于直线OA上，当取得最小值时，向量与的夹角余弦值为（）ABCD二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，a2，c2，则角C的大小是（）ABCD10已知四面体的四个面都是边长为2的正三角形，则以下正确的是（）A四面体表面积为B四面体的高C四面体体积为D四面体的内切球半径为11在ABC中，下列命题正确的是（）A
3、若AB，则sinAsinBB若sin2Asin2B，则ABC定为等腰三角形C若acosBbcosAc，则ABC定为直角三角形D若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为钝角12若点O在ABC所在的平面内，则以下说法正确的是（）A若，则点O为ABC的重心B若，则点O为ABC的垂心C若，则点O为ABC的外心D若，则点O为ABC的内心三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13在复数范围内，方程x2+4x+50的解集为 14已知点A（1，2），若点A、B的中点坐标为（3，1）且与向量a（1，）共线，则 15在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若B60，a+c1，则b的取
4、值范围为 16已知z12（1i），且|z|1，则|zz1|的最大值为 四、解答题（本大题共6个小题，共70分）17把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1：4，母线长10cm求：圆锥的母线长18已知复数z满足|3+4i|+z1+3i（1）求；（2）求的值19已知，（1）求；（2）求与的夹角；（3）若在方向上的投影向量为，求的值20在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足（1）求角C的大小；（2）若，求ABC的面积21已知（cos，sin），（cos，sin），0（1）若|，求证：；（2）设（0，1），若+，求，的值22如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B
5、与小岛A、小岛C相距都为5 nmile，与小岛D相距为BAD为钝角，且（1）求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；（2）记BDC为，CBD为，求sin（2+）的值参考答案一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）. 1若向量，则（）A4B2C2D4解：向量，则2+64故选：D2在等腰ABC中，A120，ABAC1，则等于（）ABCD解：在等腰ABC中，A120，ABAC1，所以（）|cosA|11（）1故选：C3在ABC中，点D在BC边上，且，设，则可用基底，表示为（）ABCD解：+（）+（）+故选：C4如图是一个水平放置的直观图，它是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰
6、梯形，那么原平面图形的面积为（）A2+BCD1+解：平面图形的直观图是一个底角为45，腰和上底长均为1的等腰梯形，平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1，梯形的下底边长为1+，平面图形的面积S22+故选：A5复数2+i与复数在复平面内对应的点分别是A、B，若O为坐标原点，则AOB为（）ABCD解：复数2+i对应是点A为（2，1）复数在复平面内对应的点分别是B，则B（，），设AOx，xOB，则tan，tan，则tan（+）1，故AOB，故选：B6设，是非零向量，则“”是“函数f（x）（x+）（x）为一次函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解：
7、f（x）（x）（x）x2+（）x，若，则0，如果同时有|，则函数恒为0，不是一次函数，故不充分；如果f（x）是一次函数，则0，故，该条件必要；故选：B7若点M是ABC所在平面内一点，且满足：则ABM与ABC的面积之比为（）ABCD解：点M是ABC所在平面内一点，且满足：整理得：，即所以：点M、A、B三点共线如图所示：故，所以故选：A8在OAB中，OAOB2，动点P位于直线OA上，当取得最小值时，向量与的夹角余弦值为（）ABCD解：如图所示，取AB的中点C，则223，则要使得最小，只需|最小，而此时，CPOA，此时可根据已知条件OAOB2，AB2，解得PA，PB，PC，23，cos故选：C二、多
8、项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，a2，c2，则角C的大小是（）ABCD解：由正弦定理知，解得sinC，C（0，），C或故选：BD10已知四面体的四个面都是边长为2的正三角形，则以下正确的是（）A四面体表面积为B四面体的高C四面体体积为D四面体的内切球半径为解：四面体的四个面都是边长为2的正三角形，可得该四面体的表面积为444，故A正确；由正四面体的高和侧棱与侧棱在底面的射影组成一个直角三角形，可得高h，故B正确；正四面体的体积为
9、VS底h4，故C正确；设四面体内切球的半径为r，由V4r，可得r，故D正确故选：ABCD11在ABC中，下列命题正确的是（）A若AB，则sinAsinBB若sin2Asin2B，则ABC定为等腰三角形C若acosBbcosAc，则ABC定为直角三角形D若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为钝角解：对于A选项，由正弦定理结合大角对大边得ABabsinAsinB，故A选项正确；对于B选项，由于 sin2Asin2Bsin（2B），由于 A，B 是三角形的内角，所以 2A2B 或 2A2B，即 AB 或 A+B，因此ABC 可能为等腰三角形或直角三角形，故B选项不正确；对于C选项，由
10、acosBbcosAc 以及正弦定理得sinAcosBsinBcosAsinC，即sinAcosBsinBcosAsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB；所以 2sinBcosA0，由于 sinB0，所以 cosA0，所以 A，故ABC 定为直角三角形，故C选项正确；对于D选项，ABC的三边之比为3：5：7，设三边长依次为3t，5t，7t，其中t0；设最大角是C，由余弦定理知，49t29t2+25t223t5tcosC，cosC，C120故D选项正确故选：ACD12若点O在ABC所在的平面内，则以下说法正确的是（）A若，则点O为ABC的重心B若，则点O为ABC的垂心C若，则点O为A
11、BC的外心D若，则点O为ABC的内心解：对于A：设点D为BC的中点，若，则，2，所以点O为BC边上的中线的三等分点，故点O为ABC的重心，故A正确；对于B：分别为的单位向量，任意两个向量的单位向量的差为三角形的第三边的向量，所以、垂直于构成菱形的对角线，所以点O在角平分线上，故点O为内心，故B错误；对于C：，整理得，所以，故点O为ABC的外心，故C正确；对于D：，所以，整理得，同理，即，故点O为ABC的垂心，故D错误故选：AC三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13在复数范围内，方程x2+4x+50的解集为 2+i，2i解：由题意可得，164154，由求根公式可得，所以方程的解集为
12、2+i，2i14已知点A（1，2），若点A、B的中点坐标为（3，1）且与向量a（1，）共线，则解：由A、B的中点坐标为（3，1）可知B（5，4），所以（4，6），又a，4160，故答案为：15在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若B60，a+c1，则b的取值范围为 ，1）解：由余弦定理知，b2a2+c22accosB（a+c）22ac2ac（a+c）23ac（a+c）23，b，当且仅当ac时，等号成立，又ba+c，b1，b的取值范围为，1）故答案为：，1）16已知z12（1i），且|z|1，则|zz1|的最大值为 1+2解：z12（1i）22i，又|z|1，|zz1|z|+|z1|
13、1+2，当且仅当z 时，等号成立，故|zz1|的最大值为1+2故答案为：1+2四、解答题（本大题共6个小题，共70分）17把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1：4，母线长10cm求：圆锥的母线长解：设圆锥的母线长为l，圆台上、下底半径为r，R答：圆锥的母线长为cm18已知复数z满足|3+4i|+z1+3i（1）求；（2）求的值解：（1）由|3+4i|+z1+3i，得，所以5+z1+3i，所以z4+3i，所以；（2）19已知，（1）求；（2）求与的夹角；（3）若在方向上的投影向量为，求的值解：（1）因为，所以44361，即6442761，解得6，所以（2）cos，因为，0，所以，
14、即与的夹角为（3）|cos，4（），所以（+）（+）（6+9）220在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足（1）求角C的大小；（2）若，求ABC的面积解：（1）由正弦定理知，（sinBsinA）cosCsinCcosA，sinBcosCsinAcosC+sinCcosAsin（A+C）sinB，sinB0，cosC，C（0，），C（2）由余弦定理知，c2a2+b22abcosC，c232+2c224ccosC，即c28c+320，解得c4，bc8，ABC的面积SabsinC481621已知（cos，sin），（cos，sin），0（1）若|，求证：；（2）设（0，1），若+，求，
15、的值解：（1）由（cos，sin），（cos，sin），则（coscos，sinsin），由22（coscos+sinsin）2，得coscos+sinsin0所以即；（2）由得，2+2得：因为0，所以0所以，代入得：因为所以所以，22如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5 nmile，与小岛D相距为BAD为钝角，且（1）求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；（2）记BDC为，CBD为，求sin（2+）的值解：（1）sinA，且A为钝角，cosA，在ABD中，由余弦定理可得BD2AD2+AB22ADABcosA，即AD2+8AD200
16、，解得：AD3或AD10（舍去）小岛A与小岛D之间的距离为2 nmileA、B、C、D四点共圆，A与C互补，则sinC，cosCcos（180A）cosA在BDC中，由余弦定理得：CD2+CB22CDCBcosCBD2，得CD28CD200，解得CD2（舍去）或CD10S四边形ABCDSABD+SBCDABADsinA+CBCDsinC52+5103+1518（平方nmile）；（2）在BDC中，由正弦定理得：，即，解得sinDC2+DB2BC2，为锐角，则cos，又sin（+）sin（180C）sinC，cos（+）cos（180C）cosC，sin（2+）sin+（+）sincos（+）+cossin（+）