1、阶段质量检测四 专题一四“综合检测”(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知双曲线 x2y221 上一点 P(3，2)，F1，F2 为双曲线的左、右焦点，则F1PF2 的角平分线与 x 轴的交点 M 到 PF1 的距离是()A1 B.32C.2 33D.4 33解析：选 C 由题意可知，F1PF2 是直角三角形且F1PF260，|PF2|2，由点 M 在F1PF2 的角平分线上知点 M 到 PF1 的距离等于点 M 到 PF2 的距离，即为|F2M|2tan 302 33，
2、故选 C.2已知角 为第三象限角，且 tan 34，则 sin cos()A75B15C.15D.75解析：选 A 由题可得sin 34cos，sin2cos21，因为 是第三象限角，所以sin 35，cos 45，故 sin cos 75.选 A.3(2019浙江十校联盟)如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)，则该几何体的表面积为()A15 cm2B21 cm2C24 cm2D33 cm2解析：选 C 由三视图得该几何体为一个底面圆直径为 6，母线长为 5 的圆锥，则其表面积为 32126524，故选 C.4已知平面，直线 m，n 满足 m，n，则“mn”是“m”的()A充分
3、不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选 A m，n，当 mn 时，m 成立，即充分性成立；当 m 时，mn 不一定成立，即必要性不成立，则“mn”是“m”的充分不必要条件，故选 A.5已知 O 为坐标原点，点 A，B 在双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)上，且关于坐标原点 O 对称若双曲线 C 上与点 A，B 横坐标不相同的任意一点 P 满足 kPAkPB3，则双曲线 C 的离心率为()A2 B4C.10D10解析：选 A 设 A(x1，y1)，P(x0，y0)(|x0|x1|)，则 B(x1，y1)，则 kPAkPBy0y1x0 x1y0y1x0 x
4、1y20y21x20 x21.因为点 P，A 在双曲线 C 上，所以 b2x20a2y20a2b2，b2x21a2y21a2b2，两式相减可得y20y21x20 x21b2a2，故b2a23，于是 b23a2.又因为 c2a2b2，所以双曲线 C 的离心率 e1ba22.故选 A.6已知 AD 与 BC 是三棱锥 A-BCD 中相互垂直的棱，若 ADBC6，且ABDACD60，则三棱锥 A-BCD 的体积的最大值是()A36 B36 2C18 D18 2解析：选 D 如图，过 C 作 CFAD，垂足为 F，连接 BF，BCAD，CFAD，BCCFC，BC平面 BCF，CF平面 BCF，AD平面
5、 BCF，V 三棱锥 A-BCDV 三棱锥 A-BCFV 三棱锥 D-BCF13SBCFAF13SBCFFD13SBCF(AFFD)13SBCFAD.ADBC6，V 三棱锥 A-BCD2SBCF，当BCF 的面积最大时，V 三棱锥 A-BCD 取得最大值，易知当BCF 为等腰三角形时，SBCF 取得最大值，即 V 三棱锥 A-BCD 取得最大值取 BC 的中点 E，连接 EF，当BCF 为等腰三角形时，EFBC，2SBCF212BCEF6EF，又EF CF2CE2 CF29，当 CF 最长时，V 三棱锥 A-BCD 最大，ACD60，AD6，ADCF，当 ACCD 时，CF 取得最大值，此时
6、CF3 3，EF3 2，6EF18 2.三棱锥 A-BCD 体积的最大值为 18 2.故选 D.7(2019浙南名校联盟)如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，点 P 在平面 A1B1C1内运动，使得二面角 P-AB-C 的平面角与二面角 P-BC-A 的平面角互余，则点 P 的轨迹是()A一段圆弧B椭圆的一部分C抛物线D双曲线的一支解析：选 D 设点 P 在底面 ABC 内的投影为点 O，过点 O 分别作 AB，BC 的垂线，垂足分别为点 E，F，连接 PE，PF，则易得PEO 为二面角 P-AB-C 的平面角，PFO 为二面角 P-BC-A 的平面角，且 tanPEOOPOE，tanP
7、FOOPOF，因为PEO 与PFO 互余，所以 tanPEOtanPFOOPOEOPOF 1，即 OEOFOP2(定值)，所以点 O 在以 BA，BC 为渐近线的双曲线上，所以点 P 的轨迹为双曲线的一支，故选 D.8已知 F1，F2 是椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，过 F2 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A，B 两点，若ABF1 是锐角三角形，则该椭圆离心率 e 的取值范围是()A(21，)B(0，21)C(21,1)D(21，21)解析：选 C 由题意可知，A，B 的横坐标均为 c，且 A，B 都在椭圆上，所以c2a2y2b21，从而可得 yb2a，不妨令 Ac，b2a
8、，Bc，b2a.由ABF1 是锐角三角形知AF1F245，所以 tan AF1F21，所以 tanAF1F2 AF2F1F2b2a2c1，故a2c22ac 0，解得 e 21或 e 21，又因为椭圆中，0e1，所以 21e1.故选 C.9已知数列an满足 a11，an1an2n(nN*)，则 S2 018()A22 0191 B21 0093C321 0093 D21 0083解析：选 C an1an2n，an2an12n1，an2an 2，数列an的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比均为 2.又a1a22，a11，a22，S2 018(a1a3a2 017)(a2a4a2 018)121 0
9、0912 2121 00912321 0093.10(2019绍兴上虞区质检)已知数列an满足 a112，an112 an，则下列结论成立的是()Aa2 018a2 019a2 020Ba2 020a2 019a2 018Ca2 019a2 018a2 020Da2 019a2 020a2 018解析：选 D 由已知 a1121，得 a21212 12，a312 a21212，由指数函数 y12x 单调递减，得 a1a3a2，故12 a112 a312 a2，即 a2a4a3，因此 a1a3a4a2，可猜想：数列an的奇数项单调递增，偶数项单调递减，且奇数项均小于偶数项由数学归纳法可以证得猜想
10、成立，故选 D.二、填空题(本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分)11已知抛物线 y22px 过点 A(1,2)，则 p_，准线方程是_解析：由题可得，42p，解得 p2，所以准线方程为 xp21.答案：2 x112(2019浙南名校联盟)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.若 bsin Aasin C，c1，则 b_，ABC 面积的最大值为_解析：由 bsin Aasin C，得 sin Bsin Asin Asin C，因为角 A 为三角形内角，所以 sin A0，则 sin Bsin C，所以 BC，则 bc1，ABC 的面积为
11、12bcsin A12sin A，则当 sin A1，即 A90时，ABC 的面积取得最大值12.答案：1 1213设圆 C 上的点 A(2,6)关于直线 xy50 的对称点 A仍在圆 C 上，且圆 C 与直线 3x4y80 相交的弦长为 2 5，则点 A的坐标为_，圆 C的圆心坐标为_解析：设点 A(x0，y0)，点 A 与 A关于直线 xy50 对称，x022y06250，y06x021，解得x01，y03，点 A的坐标为(1,3)设圆 C 的方程为(xa)2(yb)2r2，则(2a)2(6b)2r2.点 A(2,6)关于直线 xy50 的对称点 A(1,3)在圆 C 上，圆心(a，b)在
12、直线 xy50 上，ab50，又直线 3x4y80 被圆截得的弦长为 2 5，r2(5)2|3a4b8|225.解由方程组成的方程组，得 a2，b3 或 a7249，b31749，圆 C 的圆心坐标为(2,3)或7249，31749.答案：(1,3)(2,3)或7249，3174914.如图，已知 E、F 为双曲线的左、右焦点，F 为抛物线的焦点，A，B 为双曲线与抛物线的公共点，若|BE|54|AF|，则双曲线的离心率为_解析：连接 AE，过 E 作抛物线的准线 l，过 A 作 AAl，由抛物线的定义得|AA|AF|，由双曲线的定义得|AE|AF|2a，又|AE|BE|54|AF|，可得|A
13、F|8a，AE10a，因为 cosAEFsinAEA45，所以在三角形 AEF 中，由余弦定理得10a22c28a2210a2c45，即 e28e90，解得 e4 7.答案：4 715向量 a 与 b 的夹角为 90，|a|b|1，若|ca|c2b|5，则|c2a|的最大值为_，最小值为_解析：因为|ca|c2b|5，且|a|2|2b|2 5，ab，所以向量 c 的终点在 a 和 2b 的终点的连线上(如图)，故|c2a|的取值范围为|SK|的长度变化当 SKFG 时，长度最短，连接 SG，由12SFOG12FGSK，得 SKSFOGFG 6 55.又 SF3，SG2 2，所以当 ac 时，S
14、K 最长，为 3.答案：3 6 5516已知 F 为抛物线 y2x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上，且位于 x 轴的两侧，OA OB 2(其中 O 为坐标原点)，则AFO 与BFO 面积之和的最小值是_解析：法一：设直线 lAB：xmyt，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立y2x，xmyt y2myt0，y1y2m，y1y2t，点 A，B 位于 x 轴两侧，y1y2t0.又OA OB x1x2y1y2(y1y2)2y1y2t2t2，解得 t2 或 t1(舍去)SAFOSBFO12|OF|y1y2|18|y1y2|m288 24，AFO 与BFO 面积之和的最小值为 24.法二：设 A(
15、x1，y1)，B(x2，y2)OA OB x1x2y1y2(y1y2)2y1y22，y1y22 或 y1y21(舍去)S AFO S BFO 18|y1 y2|18y21y222y1y2 18|y1|2|y2|24 182|y1y2|4 24.答案：2417已知双曲线 C1：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，抛物线 C2：y22px(p0)的焦点与双曲线 C1 的一个焦点重合，C1 与 C2 在第一象限相交于点 P，且|F1F2|PF1|，则双曲线 C1 的离心率为_解析：由题意可知，F1(c,0)，F2(c,0)设点 P(x0，y0)，过点 P 作抛物线 C2：
16、y22px(p0)准线的垂线，垂足为 A，连接 PF2.根据双曲线的定义和|F1F2|PF1|2c，可知|PF2|2c2a.由抛物线的定义可知|PF2|PA|x0c2c2a，则 x0c2a.由题意可知p2c，又点 P 在抛物线 C2 上，所以 y202px04c(c2a)，在RtF1AP 中，|F1A|2|PF1|2|PA|2(2c)2(2c2a)28ac4a2,即 y208ac4a2，所以 8ac4a24c(c2a)，化简可得 c24aca20，即 e24e10，又 e1，所以 e2 3.答案：2 3三、解答题(本大题共 5 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18(
17、本小题满分 14 分)设函数 f(x)3cos2xsin xcos xm(0，mR)，且 f(x)的图象在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6.(1)求 的值；(2)如果 f(x)在区间3，56 上的最小值为 3，求 m 的值解：(1)f(x)32 cos 2x12sin 2x 32 msin2x3 32 m，依题意 2632，解得 12.(2)由(1)知，f(x)sinx3 32 m，又当 x3，56 时，x30，76，故12sinx3 1.从而 f(x)在3，56 上取得最小值12 32 m，因此由题设知12 32 m 3，故 m 312.19(本小题满分 15 分)(2019台州调研)
18、已知斜率为 k 的直线 l 经过点 M(0，m)，且直线 l 交椭圆x24y21 于 A，B 两个不同的点(1)若 k1，且 A 是 MB 的中点，求直线 l 的方程；(2)若|AB|随着|k|的增大而增大，求实数 m 的取值范围解：(1)若 k1，则直线 l 的方程为 yxm，代入椭圆方程 x24y24，得 5x28mx4(m21)0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 64m280(m21)16(5m2)0，m(5，5)，x1x28m5，x1x24m215.由 A 是 MB 的中点，知 x22x1，代入上式得 x1 815m，x21615m，则816152 m24m215，解得 m
19、3 6513.所以直线 l 的方程为 yx3 6513 或 yx3 6513.(2)设直线 l 的方程为 ykxm，代入椭圆方程 x24y24，得(14k2)x28kmx4(m21)0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)则 64k2m216(4k21)(m21)16(14k2m2)0，x1x2 8km14k2，x1x24m2114k2.则|AB|1k2|x1x2|1k2x1x224x1x24 1k214k2m214k2.设 t14k2，t1，)，则|AB|24t3tm2t24t2m23t3m2t243m21t2m231t1.设 u1t，u(0,1，由题意可知，函数 y3m2u2(m23)u
20、1 在(0,1上为减函数当 m0 时，函数在(0,1上为增函数，不符合题意；当 m0 时，由m236m2 0，得 m23，即 m 3或 m 3.综上所述，m 的取值范围是(，3 3，)20(本小题满分 15 分)已知数列an的前 n 项和为 Sn，a14，a27，且当 n3时，SnSn22Sn13，数列bn为等比数列，b1b28(b4b5)，a5b41.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)证明：数列anbn的前 n 项和 Tn0，所以 Tn7.21(本小题满分 15 分)已知点 P 在抛物线 C：y22px(p0)上，过 P 作圆 F：xp22y2p216的切线，且切线段长最短为 32.(
21、1)求抛物线 C 的方程；(2)设点 M(t,0)，N(2t,0)(t 为正常数)，直线 PM，PN 分别交抛物线 C 于 A，B 两点，求ABP 面积取最小值时点 P 的坐标解：(1)设 P(x0，y0)，因为|PF|2p216x0p22p216p24 p216 3p4，所以 3p4 32，即 p2，所以抛物线 C 的方程是 y24x.(2)设 Py204，y0，Ay214，y1，By224，y2，设 lPA：xmyt，代入 y24x 得 y24my4t0，则 y0y14t.同理可得 y0y28t，所以 y14ty0，y28ty0，又 lAB：(y1y2)y4xy1y2，所以|AB|116y
22、1y22y21y224，P 到直线 lAB 的距离 hy20y0y1y2y1y2y1y2116y1y22，所以 SABP18y20y0y1y2y1y2y1y2|y21y22|18|y20y0(y1y2)y1y2|y1y2|18y2012t32t2y204ty0t2y012ty0 32t2y30，设 f(y)y12ty 32t2y3(y0)，则 f(y)112ty2 96t2y4 y412y2t96t2y4，所以当 y(0，62 33t)时，函数 f(y)单调递减，当 y(62 33t，)时，函数 f(y)单调递增，所以当 y62 33t，SABP 取到最小值，同理 y0 时，SABP 也取最小
23、值，所以当 y62 33t时，SABP 取到最小值，此时 P3 332t，62 33t.22(本小题满分 15 分)如图，已知抛物线 C1：x24y 与椭圆 C2：x2a2y2b21(ab0)交于点 A，B，且抛物线 C1 在点A 处的切线 l1 与椭圆 C2 在点 A 处的切线 l2 互相垂直(1)求椭圆 C2 的离心率；(2)设 l1 与 C2 交于点 P，l2 与 C1 交于点 Q，求APQ 面积的最小值解：(1)设点 A(x0，y0)，B(x0，y0)，其中 x00，y00，则抛物线 C1 在点 A处的切线方程为l1：x0 x2(y0y)，椭圆 C2 在点 A 处的切线方程为 l2：x
24、0 xa2 y0yb2 1.由题意可知，l1l2，则有x02b2x0a2y0 1，且 x204y0，所以 a22b2，从而椭圆 C2 的离心率 eca1b2a2 22.(2)由椭圆 C2 的离心率为 22，可设椭圆方程为 x22b2y2b21，设 A(2t，t2)，l1：ytxt2，联立ytxt2，x22y22b2，得(12t2)x24t3x2t42b20，所以|AP|1t2|xPxA|t212t12t22t，设 l2：y1txt22，同理可得|AQ|11t2|xQxA|11t22t4t2t，所以 SAPQ12|AP|AQ|2t1t24t4t312t28t21312t2t.令 f(t)t21312t2t，t0，则 f(t)t2122t213t2112t22t2.令 f(t)0，得 t 22，所以函数 f(t)在0，22 上单调递减，在22，上单调递增所以 f(t)f22 278 2，所以 SAPQ27 22.故APQ 面积的最小值为27 22.
