1、第六章 单元测试卷一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分每小题中只有一项符合题目要求)1在等差数列an中，a13a8a15120，则 2a9a10 的值为()A24 B22C20 D8答案 A解析 a13a8a155a8120，a824，2a9a102(a8d)(a82d)a824.2在等比数列an中，若 a3a5a7a9a11243，则a29a11的值为()A9 B1C2 D3答案 D解析 由等比数列性质可知 a3a5a7a9a11a57243，所以得 a73，又a29a11a7a11a11 a7，故选 D.3设函数 f(x)满足 f(n1)2fnn2(nN*)，且
2、f(1)2，则 f(20)()A95 B97C105 D192答案 B解析 f(n1)f(n)n2，f20f19192f19f18182f2f112累加得：f(20)f(1)(1222192)f(1)1920497.4若 ax1，ay，ax1(a0，且 a1)成等比数列，则点(x，y)在平面直角坐标系内的轨迹位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案 D解析 成等比，(ay)2ax1ax1，即 2y x1 x1，x10，x1.x1x1，y0，位于第四象限5已知等比数列an的公比 qa8S9Ba9S80，q0，即 a9S8a8S9，故选A.6在等差数列an中，前 n 项和为 Sn，且
3、S20112011，a10073，则 S2012 的值为()A1006 B2012C2012 D1006答案 C解析 解法一 设等差数列的首项为 a1，公差为 d，根据题意可得，S20112011a12011201112d2011a1007a11006d3，即a11005d1a11006d3，解得a14021d4.所以，S20122012a12012201212d2012(4021)2012201122012(40224021)2012.解法二 由 S20112011a1a201122011a10062011，解得 a10061，则S20122012a1a201222012a1006a1007
4、220121322012.7(2011江西理)已知数列an的前 n 项和 Sn 满足：SnSmSnm，且 a11.那么 a10()A1 B9C10 D55答案 A解析 由 SnSmSnm，得 S1S9S10a10S10S9S1a11.8如果数列an满足 a12，a21，且an1anan1anan1an1(n2)，那么这个数列的第 10 项等于()A.1210B.129C.110D.15答案 D解析 1 anan1 anan11，anan1 anan12，2an 1an1 1an1.1an是首项为12，公差为12的等差数列 1an12n，a1015，故选 D.9首项为 1，公差不为 0 的等差数
5、列an中，a3，a4，a6 是一个等比数列的前三项，则这个等比数列的第四项是()A8 B8C6 D不确定答案 B解析 a24a3a6(13d)2(12d)(15d)d(d1)0d1，a31，a42，q2，a6a4q4，第四项为 a6q8.10已知数列 1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，则56是此数列中的()A第 48 项B第 49 项C第 50 项D第 51 项答案 C解析 将数列分为第 1 组一个，第 2 组二个，第 n 组 n 个，(11)，(12，21)，(13，22，31)，(1n，2n1，n1)，则第 n 组中每个数分子分母的和为 n1，则56为第 10 组中
6、的第 5 个，其项数为(1239)550.11定义：在数列an中，若满足an2an1an1an d(nN*，d 为常数)，我们称an为“等差比数列”已知在“等差比数列”an中，a1a21，a32，则a2009a2006的个位数字是()A3 B4C6 D8答案 C解析 由 a1a21，a32，得a3a2a2a11d，设an1an bn，则 bn1bn1，且 b11.bnn，即an1an n，ana1a2a1a3a2 anan11123(n1)，a2009a2006200620072008，它的个位数字是 6.12(2011上海理)设an是各项为正数的无穷数列，Ai 是边长为ai，ai1 的矩形的
7、面积(i1,2，)，则An为等比数列的充要条件为()Aan是等比数列Ba1，a3，a2n1，或 a2，a4，a2n，是等比数列Ca1，a3，a2n1，和 a2，a4，a2n，均是等比数列Da1，a3，a2n1，和 a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相同答案 D解析 Aiaiai1，若An为等比数列，则An1An an1an2anan1 an2an 为常数，即A2A1a3a1，A3A2a4a2，.a1，a3，a5，a2n1，和 a2，a4，a2n，成等比数列，且公比相等，反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为 q，则An1An an2an q，从而An为等比数列二、填空题(
8、本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上)13(2011广东)等差数列an前 9 项的和等于前 4 项的和若 a11，aka40，则 k_.答案 10解析 设an的公差为d，由S9S4及a11，得91982 d41432 d，所以 d16.又 aka40，所以1(k1)(16)1(41)(16)0，即 k10.14某人从 2012 年 1 月份开始，每月存入银行 100 元，月利率是3(不计复利)，到 2012 年 12 月底取出的本利和应是_元答案 1223.4解 析 应 为 1200 0.312 0.311 0.3 1200 0.3121321223.4(元)
9、15已知各项都为正数的等比数列an中，a2a44，a1a2a314，则满足 anan1an219的最大正整数 n 的值为_答案 4解析 设等比数列an的公比为 q，其中 q0，依题意得 a23a2a44，又 a30，因此 a3a1q22，a1a2a1a1q12，由此解得 q12，a18，an8(12)n124n，anan1an2293n.由于 231819，因此要使 293n19，只要 93n3，即 n4，于是满足 anan1an219的最大正整数 n 的值为 4.16等比数列an的首项为 a11，前 n 项和为 Sn，若S10S5 3132，则公比 q 等于_答案 12解析 S10S5 31
10、32，所以S10S5S5313232 132，即 q5(12)5，所以 q12.三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)在等比数列an中，已知 a3112，S3412，求 a1 与 q.解析 当 q1 时，S33a3 成立，此时 a132；当 q1 时，由题意，a1q232，a11q31q92.解得 a16，q12.所以a132，q1或a16，q12.18(本小题满分 12 分)数列an中，a11，an，an1 是方程 x2(2n1)x1bn0 的两个根，求数列bn的前 n 项和 Sn.答案 Sn nn1解析 an，an
11、1 是 x2(2n1)x 1bn0 的两根，anan12n1，anan1 1bn，an1an22n3，an2an2，a3a12，a5a32，a2n1a2n32，a2n1a12(n1)，a2n12n1，当 n 为奇数时，ann，同理可得当 n 为偶数时 ann，ann，bn1anan11nn11n 1n1，Snb1b2b3bn112121313141n 1n11 1n1 nn1.19(本小题满分 12 分)(2011湖北文)成等差数列的三个正数的和等于 15，并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列bn中的 b3、b4、b5.(1)求数列bn的通项公式；(2)数列bn的前 n 项和为
12、Sn，求证：数列Sn54是等比数列答案(1)bn542n152n3(2)略解析(1)设成等差数列的三个正数分别为 ad，a，ad.依题意，得 adaad15，解得 a5.所以bn中的 b3，b4，b5 依次为 7d,10,18d.依题意，有(7d)(18d)100，解得 d2 或 d13(舍去)，故bn的第 3 项为 5，公比为 2.由 b3b122，即 5b122，解得 b154.所以bn是以54为首项，2 为公比的等比数列，其通项公式为 bn542n152n3.(2)数列bn的前 n 项和 Sn5412n12 52n254，即 Sn5452n2，所以 S15452，Sn154Sn5452n
13、152n22.因此Sn54是以52为首项，公比为 2 的等比数列20(本小题满分 12 分)已知数列an是等比数列，且 3a1,2a2，a3成等差数列(1)若 a20112011，试求 a2013 的值；(2)若 a13，公比 q1，设 bn1lnanlnan1，求数列bn的前 n 项和 Tn.答案(1)2011 或 18099(2)nn1ln23解析(1)由 4a23a1a3，得 4a1q3a1a1q2，q24q30，解得 q1 或 q3.又 a20112011，所以 a20132011 或 a20132011918099.(2)由 a13，q1，及(1)易知 an33n13n，则 bn1l
14、nanlnan11nln3n1ln3 1ln23(1n 1n1)，所以 Tn 1ln23(111212131n 1n1)1ln23(1 1n1)nn1ln23.21(本小题满分 12 分)已知二次函数 f(x)x2axa(a0，xR)有且只有一个零点，数列an的前 n 项和 Snf(n)(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设 cn1 4an(nN*)，定义所有满足 cmcm10 得 a4，f(x)x24x4.Snn24n4.当 n1 时，a1S11441；当 n2 时，anSnSn12n5.an12n5 n1，n2.(2)由题设 cn3142n5 n1，n2，nN*.由 142n52n
15、92n5可知，当 n5 时，恒有 an0.又 c13，c25，c33，c413，即 c1c20，c2c30，c4c52010 的 n 的最小值解析(1)因为 Snn2an，所以 Sn12an1(n1)(n2，nN*)两式相减得 an2an11.所以 an12(an11)(n2，nN*)，所以数列an1为等比数列因为 Snn2an，令 n1 得 a11.a112，所以 an12n，所以 an2n1.(2)因为 bn(2n1)an2n1，所以 bn(2n1)2n.所以 Tn32522723(2n1)2n1(2n1)2n，2Tn322523(2n1)2n(2n1)2n1，得：Tn322(22232n
16、)(2n1)2n162222n112(2n1)2n122n2(2n1)2n12(2n1)2n1.所以 Tn2(2n1)2n1.若Tn22n12010，则22n12n12n12010，即 2n12010.由于 2101024,2112048，所以 n111，即 n10.所以满足不等式Tn22n12010 的 n 的最小值是 10.1已知数列an是各项均为正数的等比数列，数列bn是等差数列，且 a6b7，则有()Aa3a9b4b10Ba3a9b4b10Ca3a9b4b10Da3a9 与 b4b10 的大小关系不确定答案 B解析 记等比数列an的公比为 q，由数列bn为等差数列可知 b4b102b7
17、，又数列an是各项均为正数的等比数列，a3a9a3(1q6)a6(1q6q3)b7(1q6q3)，又1q6q3 1q3q32，当且仅当 q1 时，等号成立，a3a9b4b10.故选 B.2已知 an32n11(nN)，数列an的前 n 项和为 Sn，则使 Sn0的 n 的最小值是()A5 B6C10 D11答案 D解析 令 f(x)32x11知 f(x)关于(112，0)对称，a1a10a2a9a3a8a5a60，且 a6a7a8a9a100，S100，S110，选 D.3数列an中，Sn 为其前 n 项和，已知 S11，S22，且 Sn13Sn2Sn10(nN*且 n2)则此数列为()A等差
18、数列B等比数列C从第二项起为等差数列D从第二项起为等比数列答案 D解析 Sn13Sn2Sn10，Sn1Sn2Sn2Sn1，an12an，又 a11，a21，从第二项起为等比数列4已知数列an满足 a123，且对任意的正整数 m，n，都有 amnaman，则ann 等于()A.12B.23C.32D2答案 B解析 令 m1，得 an1a1an，即 an1ana123，可知数列an是首项为 a123，公差为 d23的等差数列，于是 an23(n1)2323n，即ann 23.故选 B.5(2012山东实验中学模拟)设 a1，a2，a50 是以1,0,1 这三个整数中取值的数列，若 a1a2a509
19、 且(a11)2(a21)2(a501)2107，则 a1，a2，a50 当中取零的项共有()A11 个B12 个C15 个D25 个答案 A解析(a11)2(a21)2(a501)2a21a22a2502(a1a2a50)50107，a21a22a25039，a1，a2，a50中取零的项应为 503911 个，故选 A.6若 m，n，mn 成等差数列，m，n，mn 成等比数列，则椭圆x2my2n1 的离心率为()A.12B.22C.32D.33答案 B解析 由题意知 2nmmn，n2m，n2mmn，nm2，m22m，m2，n4，a24，b22，c22，eca 22.7(2012海淀区)设关于
20、 x 的不等式 x2x2nx(nN*)的解集中整数的个数为 an，数列an的前 n 项和为 Sn，则 S100 的值为_答案 10100解析 由 x2x2nx(nN*)得 0 x2n1(nN*)当 n1 时，0 x3，此解集中整数的个数有 2 个，即 a12；当 n2 时，0 x5，此解集中整数的个数有 4 个，即 a24；当 n3 时，0 x0 并且 S110，若 SnSk对 nN*恒成立，则正整数 k 构成的集合为_答案 5,6解析 等差数列中由 S100，S110 得，S1010a1a1020a1a100a5a60，S1111a1a1120a1a112a60，故可知，等差数列an是递减数
21、列且 a60，所以 S5S6Sn，即 k5 或 6，集合为5,611(2010安徽文)设 C1，C2，Cn，是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在 x 轴的正半轴上，且都与直线 y 33 x 相切对每一个正整数 n，圆 Cn 都与圆 Cn1 相互外切以 rn 表示 Cn 的半径，已知rn为递增数列证明：rn为等比数列解析 将直线 y 33 x 的倾斜角记为，则有 tan 33，sin 12.设 Cn 的圆心坐标为(n,0)，则由题意知rnn12，得 n2rn；同理 n12rn1，从而 n1nrnrn12rn1，将 n2rn 代入，解得 rn13rn.故rn为公比 q3 的等比数列12已知数列an
22、的首项 a11，且点 An(an，an1)在函数 y xx1的图像上(1)求数列an的通项公式；(2)求证：弦 AnAn1 的斜率随 n 的增大而增大；(3)若数列bn满足 anbn2n，求数列bn的前 n 项和 Sn 的值解析(1)an1 anan1且 a11，1an111an.1an1 1an1.1an是以 1 为首项，1 为公差的等差数列 1an1(n1)1n.an1n.(2)an1n，an1 1n1，an2 1n2，弦 AnAn1 的斜率knan2an1an1an 1n2 1n11n11n nn2.kn1 kn n1n3 nn2 n1n2nn3n3n22n2n30.弦 AnAn1 的斜
23、率随 n 的增大而增大(3)由 anbn2nbn 1an2nn2n，Sn121222323n2n.2Sn122223(n1)2nn2n1.Sn2Sn12122232nn2n1.Sn2(2n1)n2n1.Sn(n1)2n12.13(2011衡水调研)已知各项均为正数的数列an的前 n 项和为Sn，函数 f(x)12px2(pq)xqlnx(其中 p、q 均为常数，且 pq0)，当 xa1 时，函数 f(x)取得极小值，点(an,2Sn)(nN*)均在函数 y2px2qxf(x)q 的图像上(其中 f(x)是函数 f(x)的导函数)(1)求 a1 的值；(2)求数列an的通项公式；(3)记 bn
24、4Snn3qn，求数列bn的前 n 项和 Tn.解析(1)由题易得 f(x)的定义域为(0，)f(x)px(pq)qxpx2pqxqxx1pxqx，令 f(x)0，得 x1 或 xqp，pq0，0qp0，anan112(n2)，an是以 a11 为首项，12为公差的等差数列，an1(n1)12n12.(3)Snnnn1212n23n4，由 bn 4Snn3qnnqn，Tnq2q23q3(n1)qn1nqn，已知 pq0，而由(2)知 p1，则 q1.qTnq22q33q4(n1)qnnqn1，由得：(1q)Tnqq2q3qn1qnnqn1q1qn1qnqn1，Tnq1qn1q2 nqn11q.
25、14将数列an中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：a1a2 a3 a4a5 a6 a7 a8 a9已知表中的第一列数 a1，a2，a5，构成一个等差数列，记为bn，且 b24，b512.表中每一行正中间一个数 a1，a3，a7，构成数列cn，其前 n 项和为 Sn.(1)求数列bn的通项公式；(2)若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且 a131.求 Sn；记 Mn|(n1)cn，nN*，若集合 M 的元素个数为 3，求实数 的取值范围解析(1)设数列bn的公差为 d，则b1d4，b14d10，解得b12，d2，所以 bn2n.(
26、2)设每一行组成的等比数列的公比为 q.由于前 n 行共有 135(2n1)n2 个数，且 321342，所以 a10b48.所以 a13a10q38q3，又 a131，解得 q12.由已知可得 cnbnqn1，因此 cn2n(12)n1 n2n2.所以 Snc1c2c3cn 121 220 321 n2n2.12Sn 120 221n12n2 n2n1.因此12Sn 121 120 121 12n2 n2n14 12n2 n2n14n22n1.解得 Sn8n22n2.由知，cn n2n2，不等式(n1)cn，可化为nn12n2.设 f(n)nn12n2，因为 f(n1)f(n)n12n2n1
27、，所以当 n3 时，f(n1)f(n)计算得 f(1)4，f(2)f(3)6，f(4)5，f(5)154.因为集合 M 的元素个数为 3，所以 的取值范围是(4,515二次函数 yf(x)的图像经过坐标原点，其导函数为 f(x)6x2，数列an的前 n 项和为 Sn，点(n，Sn)(nN*)均在函数 yf(x)的图像上(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn3anan1，Tn 是数列bn的前 n 项和，求使得 Tnm20对所有nN*都成立的最小正整数 m.解析(1)设二次函数 f(x)ax2bx(a0)，则 f(x)2axb.f(x)6x2，a3，b2，f(x)3x22x.又点(n，Sn)(
28、nN*)均在函数 yf(x)的图像上，Sn3n22n.当 n2 时，anSnSn16n5，当 n1 时，a1S11，也适合 an6n5.an6n5(nN*)(2)由(1)，得 bn3anan136n56n112(16n516n1)故 Tn ni1bi12(117)(17 113)(16n516n1)12(116n1)要 Tnm20对所有 nN*都成立，只要12m20即可，即只要 m10.故使得 Tnbn 恒成立，求实数 t 的取值范围解析(1)由题意得 anan12n(n2)，累差叠加得，ann(n1)(n2)，又 a12，所以 ann(n1)，(nN*)(2)bn1n1n21n2n312n2
29、n1 1n112n1nn12n1n2n23n1bn12n1n3，bn 的最大值为 b116，所以 t22mt1616恒成立，m1,1构造 g(m)2tmt2，即 g(m)0 恒成立 m1,1，当 t0，不成立；当 t0，是一次函数，g10g10，解得 t(，2)(2，)19已知等差数列an满足：a37，a5a726.an的前 n 项和为Sn.(1)求 an 及 Sn；(2)令 bn1a2n1(nN*)，求数列bn的前 n 项和 Tn.答案(1)an2n1，Snn(n2)(2)Tnn4n1解析(1)设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，由于 a37，a5a726，所以 a12d7,2a110d26，解得 a13，d2.由于 ana1(n1)d，Snna1an2，所以 an2n1，Snn(n2)(2)因为 an2n1，所以 a2n14n(n1)，因此 bn14nn114(1n 1n1)故 Tnb1b2bn14(11212131n 1n1)14(1 1n1)n4n1，所以数列bn的前 n 项和 Tnn4n1.高考资源网w w 高 考 资源网
