1、陕西省延安中学2015届高三上学期第五次月考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的（每小题5分，共60分）1已知集合A=0，1，B=1，0，a+2，若AB，则a的值为( )A2B1C0D1考点：集合的包含关系判断及应用 专题：集合分析：本题的关键是集合A=0，1，B=1，0，a+2，若AB，根据集合元素的互异性与唯一性，求出a的值解答：解：A=0，1，B=1，0，a+2，且ABa+2=1a=1故选：B点评：题主要考查集合的相等等基本运算，属于基础题要正确判断两个集合的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征2命题“若x3，则x6”
2、以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有( )A1个B2个C3个D4个考点：四种命题间的逆否关系；命题的真假判断与应用 专题：规律型分析：根据四种命题的关系以及互为逆否命题的等价性进行判断即可解答：解：根据互为逆否命题的等价性只需判断原命题和逆命题的真假性即可原命题：若x3，x6成立，原命题正确，逆否命题也正确逆命题：若x6，则x3，不成立，逆命题错误，否命题也错误故四个命题中，真命题的个数为2故选：B点评：本题主要考查四种命题之间的关系以及命题真假的判断，利用互为逆否命题的等价性是解决本题的捷径3已知等差数列an中，a5+a9a7=10，记Sn=a1+a2+an，则S13的值为( )A2
3、60B168C156D130考点：等差数列的前n项和 专题：计算题分析：利用a5+a9a7=10求出a7的值，把S13的13项中项数相加为14的项结合在一起，根据等差数列的性质化简后，将a7的值代入即可求出值解答：解：根据等差数列的性质可知a5+a9=2a7，根据a5+a9a7=10，得到a7=10，而S13=a1+a2+a13=（a1+a13）+（a2+a12）+（a3+a11）+（a4+a10）+（a5+a9）+（a6+a8）+a7=13a7=130故选D点评：考查学生灵活运用等差数列性质的能力本题的突破点是项数相加为14的结合在一起4由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为( )AB
4、CD考点：定积分在求面积中的应用 专题：函数的性质及应用分析：要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求01（x2x3）dx即可解答：解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是0，1所求封闭图形的面积为01（x2x3）dx，故选A点评：本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积5已知函数y=sin（x+）（0，|）的部分图象如图所示，则( )A=1，=B=1，=C=2，=D=2，=考点：y=Asin（x+）中参数的物理意义；由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：计算题；综合题分析：通过图象求出函数的周期，再求
5、出，由（，1）确定，推出选项解答：解：由图象可知：T=，=2；（，1）在图象上，所以 2+=，=故选D点评：本题考查y=Asin（x+）中参数的物理意义，由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，考查视图能力，逻辑推理能力6若函数f（x）=x3bx，（bR）在区间（1，2）上有零点，则b的取值范围是( )A（4，+）B（1，4）C（4，1）D（，1）考点：函数零点的判定定理 专题：函数的性质及应用分析：由根的存在性定理，令f（1）f（2）0，解不等式，求出b的取值范围解答：解：函数f（x）=x3bx在区间（1，2）上有零点，f（1）f（2）0，即（1b）（82b）0；（b1）（b4）0，解
6、得1b4，b的取值范围是（1，4）故选：B点评：本题考查了函数零点的应用问题，解题的关键是由根的存在性定理列出不等式，是基础题目7设O为坐标原点，点M的坐标为（1，1），若点N（x，y）的坐标满足，则的最大值为( )AB2C3D2考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：根据向量的数量积关系结合线性规划的内容进行求解即可解答：解：M的坐标为（1，1），=x+y，设z=x+y，则y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z经过点A（3，0）或B时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大代入目标函数z=x+y得z=3+0=3即的最大值为3故选：C点评：本题主要考查线性规划的应用
7、，利用平面向量的数量积结合数形结合是解决本题的关键综合性较强8若f（x）为奇函数且在（0，+）上递增，又f（2）=0，则的解集是( )A（2，0）（0，2）B（，2）（0，2）C（2，0）（2，+）D（，2）（2，+）考点：奇偶性与单调性的综合；抽象函数及其应用 专题：计算题；函数的性质及应用分析：根据f（x）在（0，+）上为单调递增函数，且f（2）=0，得到当0x2时，f（x）0；当x2时，f（x）0再结合函数为奇函数证出：当x2时，f（x）0且2x0时，f（x）0，最后利用这个结论，将原不等式变形，讨论可得所求解集解答：解：f（x）在（0，+）上为单调递增函数，且f（2）=0，当0x2时，
8、f（x）0；当x2时，f（x）0又f（x）是奇函数当x2时，x2，可得f（x）0，从而f（x）=f（x）0即x2时f（x）0；同理，可得当2x0时，f（x）0不等式可化为：，即或，解之可得x2或x2所以不等式的解集为：（，2）（2，+）故选：D点评：本题以抽象函数为例，在已知f（x）的单调性和奇偶性的基础之上求解关于x的不等式，着重考查了函数的单调性与奇偶性的知识点，属于中档题9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )ABCD考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱锥，分别求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式
9、，可得答案解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱锥，其底面面积S=22=4，高h=2=，故该几何体的体积V=Sh=4=，故选：D点评：根据三视图判断空间几何体的形状，进而求几何的表（侧/底）面积或体积，是2015届高考必考内容，处理的关键是准确判断空间几何体的形状，一般规律是这样的：如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N棱锥（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另
10、外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台10已知双曲线和椭圆的离心率之积大于1，那么以a，b，m为边的三角形是( )A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D等边三角形考点：圆锥曲线的共同特征；三角形的形状判断 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用双曲线、椭圆的离心率之积大于1，建立不等式，结合余弦定理，即可求得结论解答：解：由题意，a2b2+b2m2b40a2+b2m20m所对的角为钝角以a，b，m为边的三角形是钝角三角形故选B点评：本题考查双曲线、椭圆的离心
11、率，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题11ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，则sinB+sinC的最大值为( )A0B1CD考点：正弦定理 专题：解三角形分析：已知等式利用正弦定理化简，整理得到关系式，利用余弦定理表示出cosA，把得出关系式代入求出cosA的值，进而确定出A的度数，得到B+C的度数，用C表示出B，代入原式中利用两角和与差的正弦函数公式整理为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域确定出sinB+sinC的最大值即可解答：解：把2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，利用正弦定
12、理化简得：2a2=b（2b+c）+c（2c+b），整理得：b2+c2a2=bc，cosA=，A=120，即B+C=60，C=60B，sinB+sinC=sinB+sin（60B）=sinB+cosBsinB=sinB+cosB=sin（B+60），0B60，60B+60120，sin（B+60）1，即sinB+sinC1，则sinB+sinC的最大值为1，故选：B点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理是解本题的关键12若函数f（x）=eax（a0，b0）的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是( )A4B2
13、C2D考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的综合应用分析：求函数的导数，求出切线方程根据直线和圆相切得到a，b的关系式，利用换元法即可得到结论解答：解：函数的f（x）的导数f（x）=，在x=0处的切线斜率k=f（0）=，f（0）=，切点坐标为（0，），则在x=0处的切线方程为y+=x，即切线方程为ax+by+1=0，切线与圆x2+y2=1相切，圆心到切线的距离d=，即a2+b2=1，a0，b0，设a=sinx，则b=cosx，0x，则a+b=sinx+cosx=sin（x），0x，x，即当x=时，a+b取得最大值为，故选：D点评：本题主要考查导数的几何意义，以及直线和圆的位置关系，
14、综合考查了换元法的应用，综合性较强二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|=2，则|BF|=2考点：抛物线的简单性质 专题：计算题分析：抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的已知|AF|=2，则到准线的距离也为2，根据图形AFKA1是正方形则易得ABx轴，即可得答案解答：解：由抛物线的定义抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的已知|AF|=2，则到准线的距离也为2根据图形AFKA1，是正方形可知|AF|=|AA1|=|KF|=2ABx轴故|AF|=|BF|=2故填|BF|=2点评：活用圆锥曲线
15、的定义是解决圆锥曲线最基本的方法到焦点的距离，叫焦半径到焦点的距离常转化到准线的距离求解14已知点A（a，1）和曲线C：x2+y2xy=0，若过点A的任意直线都与曲线C至少有一个交点，则实数a的取值范围是0，1考点：圆的一般方程 专题：直线与圆分析：求出圆的圆心，利用直线和圆的位置关系进行判断解答：解：圆的标准方程为（x）2+（y）2=，圆心坐标为（，），半径r=当y=1时，方程x2+y2xy=0为x2+1x1=0，即x2x=0，解得：x=0或x=1，要使过点A的任意直线都与曲线C至少有一个交点，则点A应该在圆上或者在圆内，则a满足0a1，故答案为：0，1点评：本题主要考查直线和圆位置关系的判
16、断，根据条件判断出点A在圆上或者在圆内是解决本题的关键15设二次函数f（x）=ax24x+c（xR）的值域为0，+），则的最小值为3考点：基本不等式；二次函数的性质 专题：不等式的解法及应用分析：先判断a、c是正数，且ac=4，把所求的式子变形使用基本不等式求最小值解答：解：二次函数f（x）=ax24x+c（xR）的值域为0，+），a0，=164ac=0，ac=4，则c0，2=2=3，当且仅当，=时取到等号，的最小值为3故答案为：3点评：本题考查函数的值域及基本不等式的应用，求解的关键就是求出a与c的关系，属于基础题16将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中
17、甲同学不能分配到A班，那么不同的分配方案有24种考点：排列、组合及简单计数问题 专题：计算题分析：根据题意，首先分析甲，易得甲可以放在B、C班，有2种情况，再分两种情况讨论其他三名同学，即A、B、C每班一人，、B、C中一个班1人，另一个班2人，分别求出其情况数目，由加法原理可得其他三人的情况数目，由分类计数原理计算可得答案解答：解：甲同学不能分配到A班，则甲可以放在B、C班，有A21种方法，另外三个同学有2种情况，、三人中，有1个人与A共同分配一个班，即A、B、C每班一人，即在三个班级全排列A33，三人中，没有人与甲共同参加一个班，这三人都被分配到甲没有分配的2个班，则这三中一个班1人，另一个
18、班2人，可以从3人中选2个为一组，与另一人对应2个班，进行全排列，有C32A22种情况，另外三个同学有A33+C32A22种安排方法，不同的分配方案有A21（A33+C32A22）=24，故答案为24点评：本题考查计数原理的应用，解题注意优先分析排约束条件多的元素，即先分析甲，再分析其他三人三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共5小题，共70分）17已知函数f（x）=2sin（x），xR（）求函数f（x）的值域；（）若cos=，（0，），求f（2）考点：正弦函数的图象；两角和与差的余弦函数 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（）由已知及正弦函数的图象和性质即
19、可求得函数f（x）的值域（）由已知即可求得sin，sin2，cos2的值，代入=即可得解解答：解：（）因为所以函数f（x）的值域为2，2（）因为所以，所以，所以=点评：本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式的应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查18设an是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4（）求an的通项公式；（）设bn是首项为1，公差为2的等差数列，求数列an+bn的前n项和Sn考点：等比数列的通项公式；数列的求和 专题：计算题分析：（）由an是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得an的通项公式（）由bn是首项为1，公差为2的
20、等差数列 可求得bn=1+（n1）2=2n1，然后利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可求得数列an+bn的前n项和Sn解答：解：（）设an是公比为正数的等比数列设其公比为q，q0a3=a2+4，a1=22q2=2q+4 解得q=2或q=1q0q=2 an的通项公式为an=22n1=2n（）bn是首项为1，公差为2的等差数列bn=1+（n1）2=2n1数列an+bn的前n项和Sn=+=2n+12+n2=2n+1+n22点评：本题考查了等比数列的通项公式及数列的求和，注意题目条件的应用在用等比数列的前n项和公式时注意辨析q是否为1，只要简单数字运算时不出错，问题可解，是个基础题19如图，在梯形
21、ABCD中，ABCD，AD=DC=CB=1，ABC=60，四边形ACFE为矩形，平面ACFE平面ABCD，CF=1（）求证：BC平面ACFE；（）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为（90），试求cos的取值范围考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法 专题：计算题；证明题分析：（1）证明线面垂直可以利用面面垂直进行证明，即若两个平面垂直并且其中一个平面内的一条直线a与两个平面的交线操作时则直线a与另一个平面垂直，即可证明线面垂直（2）建立空间坐标系，根据坐标表示出两个平面的法向量，结合向量的有关运算求出二面角的余弦的表达式，再利
22、用函数的有关知识求出余弦的范围解答：解：（I）证明：在梯形ABCD中，ABCD，AD=DC=CB=1，ABC=60，AB=2AC2=AB2+BC22ABBCcos60=3AB2=AC2+BC2BCAC平面ACFE平面ABCD，平面ACFE平面ABCD=AC，BC平面ABCDBC平面ACFE（II）由（I）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示空间直角坐标系，令，则，B（0，1，0），M（，0，1）设为平面MAB的一个法向量，由得取x=1，则，是平面FCB的一个法向量当=0时，cos有最小值，当时，cos有最大值点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，以便于找到线面
23、之间的平行、垂直关系，并且对建立坐标系也有一定的帮助，利用向量法解决空间角空间距离是最好的方法20已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到到右顶点的距离为1（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（kR），使得|+2|=|2|成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由已知条件推导出e=，ac=1由此能求出椭圆C的标准方程（2）存在直线l，使得|=|成立设直线l的方程为y=kx+m，由 得（3+4k2）x2+8kmx+4m212=0由此利用根的
24、判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数m的取值范围解答：解：（1）设椭圆C的方程为（ab0），半焦距为c依题意e=，由右焦点到右顶点的距离为1，得ac=1解得c=1，a=2所以=41=3 所以椭圆C的标准方程是（2）解：存在直线l，使得|=|成立理由如下：设直线l的方程为y=kx+m，由 得（3+4k2）x2+8kmx+4m212=0=（8km）24（3+4k2）（4m212）0，化简得3+4k2m2设A（x1，y1），B（x2，y2），则，若|=|成立，即|2=|2，等价于所以x1x2+y1y2=0x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0
25、，（1+k2），化简得7m2=12+12k2将代入3+4k2m2中，3+4（）m2，解得又由7m2=12+12k212，得，从而，解得或所以实数m的取值范围是点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地加以运用21已知向量=（lnx，1alnx），=（x，f（x），f（x）为函数f（x）的导函数（）若函数f（x）在（1，+）上单调递减，求实数a的最小值；（）若存在x1，x2e，e2，使得f（x1）f（x2）+a，求实数a的取值范围考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；导数的运算；平行向量与共线向量 专题：导数的综
26、合应用；空间向量及应用分析：（）由得f（x）=ax，然后求导数，再由函数f（x）在（1，+）上单调递减，可得f（x）=0对x1恒成立，转化为求最值，（）命题“若存在x1，x2e，e2，使f（x1）f（x2）a成立”，等价于“当xe，e2时，有f（x）minf（x）maxa”，由此利用导数性质结合分类讨论思想能求出实数a的取值范围解答：解：（）向量=（lnx，1alnx），=（x，f（x），lnxf（x）=x（1alnx）（x0），f（x）=ax，f（x）=，函数f（x）在（1，+）上单调递减，f（x）=0对x1恒成立，即a对x1恒成立，令g（x）=，令=t，x1，lnx0，t（0，+），g（t
27、）=t2+t，为二次函数，图象开口向下，对称轴为t=，则t=时，g（t）取得最大值，所以a，实数a的最小值为，（）命题“若存在x1，x2e，e2，使f（x1）f（x2）+a成立”等价于“当xe，e2时，有f（x）minf（x）max+a”，由（）知，当xe，e2时，lnx1，2，1，f（x）a=（）2+aa，f（x）max+a=，则问题等价于：“当xe，e2时，有f（x）min”，当a时，由（），f（x）在e，e2上为减函数，则f（x）min=f（e2）=ae2，a，与a矛盾，a时，xe，e2，lnx1，2，f（x）=，由复合函数的单调性知f（x）在e，e2上为增函数，存在唯一x0（e，e2）
28、，使f（x0）=0且满足：f（x）min=f（x0）=ax0，要使f（x）min，a=，此时a，综上，实数a的取值范围为，+）点评：本题主要考查函数、导数等基本知识考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、分类讨论思想的合理运用，注意导数性质的合理运用请考生从第22、23、24题中任选一题作答，则按所做的第一题计分选修1-4：几何证明选讲22已知：如图，在RtABC中，AB=BC，以AB为直径的O交AC于点D，过点D作DEBC，垂足为E，连接EA交O于点F求证：（）DE是O的切线；（）BECE=EFEA考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明 专题：推理和证明分析：（）连结OD，由已
29、知得ODA=OAD，OAD=C，从而ODA=C，进而DOBC，由此能证明DE是O的切线（）连接BD，由已知得BDA=90，BDC=90，DE2=BECE，由此利用切割线定理能证明BECE=EFBA解答：证明：（）连接OD，OD=OA，ODA=OAD，又AB=BC，OAD=C，ODA=C，DOBC，又DEBC，DODE，DE是O的切线（）连接BD，AB是O的直径，BDA=90，BDC=90，DEBC，DE2=BECE，又DE切O于点D，EFA是O的割线DE2=EFBA，BECE=EFBA点评：本小题主要考查与圆有关的比例线段、三角形相似、弦切角定理、切割线定理等基础知识，考查运算求解能力、化归与
30、转化思想属于中档题选修4-4：坐标系与参数方程23将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C（）写出C的参数方程；（）设直线l：2x+y2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化 专题：直线与圆；坐标系和参数方程分析：（）在曲线C上任意取一点（x，y），再根据点（x，）在圆x2+y2=1上，求出C的方程，化为参数方程（）解方程组求得P1、P2的坐标，可得线段P1P2的中点坐标再根据与l垂直的直线的斜率为，用点斜式求得所求的直
31、线的方程，再根据x=cos、y=sin 可得所求的直线的极坐标方程解答：解：（）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，x2+=1，即曲线C的方程为 x2+=1，化为参数方程为 （02，为参数）（）由，可得 ，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），则线段P1P2的中点坐标为（，1），再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y1=（x），即x2y+=0再根据x=cos、y=sin 可得所求的直线的极坐标方程为cos2sin+=0，即 =点评：本题主要考查求点的轨迹方程的方法，极坐标和直角坐标的互化，用点斜式求直线的方程，属于中档题选修4-5：不等式选讲
32、24已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x2|的最小值为m（）求m的值；（）若a，b，c是正实数，且满足a+b+c=m，求证：a2+b2+c23考点：不等式的证明；绝对值不等式的解法 专题：证明题；不等式的解法及应用分析：（）|x+1|+|x2|（x+1）（x2）=3，即可求m的值；（）由（）知a+b+c=3，再由三元柯西不等式即可得证解答：（）解：因为|x+1|+|x2|（x+1）（x2）=3当且仅当1x2时，等号成立，所以f（x）的最小值等于3，即m=3（）证明：由（）知a+b+c=3，又a，b，c是正实数，所以（a2+b2+c2）（12+12+12）（a+b+c）2=9，所以a2+b2+c23点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查函数的最值的求法，考查柯西不等式的运用：证明不等式，属于中档题