1、湖南省郴州市湘南中学2020届高三数学上学期期中试题 理（含解析）总分 150分 时量 120分钟一、选择题（512=60分）1.集合，则是（ ）A. ，B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化简集合 ，进而求交集即可.【详解】，故选：D【点睛】本题考查交集的概念及运算，考查二次函数的值域及一次函数的定义域，属于基础题.2.要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）A. 向左平移1个单位B. 向右平移1个单位C. 向左平移 个单位D. 向右平移个单位【答案】C【解析】ycos2x向左平移个单位得ycos2(x)cos(2x1)，选C项3.函数f(x)=的零点所在的一个区间是A. （-2，-
2、1）B. （-1,0）C. （0,1）D. （1,2）【答案】B【解析】试题分析：因为函数f(x)=2+3x在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=,f（0）=1+0=10,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间4.设，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据指、对数的单调性直接将的范围求出来，然后再比较大小.【详解】因为，所以；所以，故选D.【点睛】指对数比较大小，常用的方法是：中间值分析法（与比较大小），
3、单调性分析法（根据单调性直接写出范围）.5.在ABC中，“”是“AB”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】先利用大角对大边得到，进而利用正弦定理将边边关系得到，即证明了必要性，再同理得到充分性【详解】在三角形中，若AB，则边ab，由正弦定理，得若，则由正弦定理，得ab，根据大边对大角，可知AB，即是AB的充要条件故选C.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定以及正弦定理，意在考查学生的逻辑推理能力，属于基础题解决此题的关键是利用“大边对大角，大角对大边”进行与的转化.6.命题“”的否定是（）A. 不存在，B. 存
4、在，C. ，D. 对任意的，【答案】C【解析】【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果判断即可【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“”的否定是：，故选C【点睛】本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，熟记概念即可，属于基础题型.7.若函数yf(x)的值域是1，3，则函数F(x)1f(x3)的值域是()A. 8，3B. 5，1C. 2，0D. 1，3【答案】C【解析】【分析】由函数值域与的值域相同，代入函数中，容易求得函数的值域，得到结果.【详解】因为，所以，所以，所以，即的值域为，故选C.【点睛】该题考查的是有关函数的值域的求解问题，涉及到的知识点有左右平移不改变函数的值域，不等
5、式的性质，属于简单题目.8.已知函数，若，则 （ ）A. 3B. 4C. 5D. 25【答案】A【解析】,.故选A.9.设奇函数在上为单调递减函数，且，则不等式的解集为 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题首先可以根据函数是奇函数将转化为，再根据“函数在上为单调递减函数且”判断出函数的函数值的正负，最后即可得出结果【详解】因为函数是奇函数，所以，即，因为奇函数在上为单调递减函数，且，所以奇函数在上为单调递减函数，且，所以奇函数在上是正值，在上是负值，在上是正值，上是负值，所以上满足大于等于0，故选A【点睛】本题主要考察函数的单调性，对奇函数的相关性质的理解是解决本题的关
6、键，奇函数有，考查推理能力，考查化归思想，是中档题10.已知函数，若，使得，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题可转化为函数在不单调，即对称轴要落在上，即可求解【详解】解：依题意得在上不单调，即 化简得：，即，解得，故选D.【点睛】本题考查辅助角公式和正弦函数的基本性质，属于中档题11.奇函数f(x)、偶函数g(x)的图象分别如图1、2所示，方程f(g(x)0、g(f(x)0的实根个数分别为a、b，则ab等于()A. 14B. 10C. 7D. 3【答案】B【解析】试题分析：，即当时，而此时时，函数与轴的交点有个，当时，与图像由个交点，当时，与图像由
7、个交点，所以共个，即，而当时，即，而时，与轴有个交点，当时，有0个交点，所以，所以考点：函数的图像【方法点睛】此题考查根据图像解决复合函数实根个数的问题，属于中档习题，如果会看这两个图像，此题本身不难，对于方程，先看有和三个值使，对于复合函数来说，就是，和对应几个的值，所以该看的图像了，时，函数与轴的交点有个，当时，与图像由个交点，当时，与图像由个交点，所以共个，对于是先看函数，然后再看函数12.已知函数，若,且 ，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：作出函数的图象，利用消元法转化为关于的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得到结论
8、.详解：作出函数的图象，如图所示，若，且，则当时，得，即，则满足，则，即，则，设，则，当，解得，当，解得，当时，函数取得最小值，当时，；当时，所以，即的取值范围是，故选A.点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.二、填空题：（45=20分）13.，则_.【答案】1【解析】【分析】利用赋值法即可得到结果.【详解】，故答案为：.【点睛】本题考查求函数值，考查赋值法，考查对应法则的理解，属于基础题.14.已知定义在R上的奇函数，
9、对任意x都满足，且当，则_.【答案】2【解析】【分析】根据题意，由可得，结合函数是奇函数可得，即是周期为12的函数，由此即可得答案【详解】解：由 可得，又由在R上奇函数，即，有，则是周期为12的周期函数【点睛】本题考查抽象函数的运用，关键是分析出函数的周期性15.已知， 是夹角为的两个单位向量，2，k，若 0，则实数k的值为_【答案】【解析】解：因为为两个夹角为的单位向量，所以即为16.已知函数，则不等式的解集是_.【答案】【解析】【分析】当当时，利用导数知识可知在上单调递增，分类讨论解不等式即可.【详解】当时，在上单调递增，由不等式可得： 或解得：或，故答案为：【点睛】本题考查分段函数的图象
10、与性质，考查利用导数判断函数的单调性，考查学生的计算能力，比较基础三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（70分）17.在锐角三角形中，内角的对边分别为且（1）求角的大小；（2）若，求 的面积【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理及，便可求出，得到的大小；（2）利用（1）中所求的大小，结合余弦定理求出的值，最后再用三角形面积公式求出值.【详解】（1）由及正弦定理，得.因为为锐角，所以.（2）由余弦定理，得，又，所以，所以.考点：正余弦定理的综合应用及面积公式.18.已知函数的图象经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直.（1）求实数，的值；（2）若函数在区间上单
11、调递增，求的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）M点坐标代入函数解析式，得到关于的一个等式；曲线在点处的切线恰好与直线垂直可知,列出关于的另一个等式，解方程组，求出的值.（2）求出，令，求出函数的单调递增区间，由题意可知是其子集，即可求解.【详解】（1）的图象经过点,因为，则,由条件，即，由解得.（2），令得或，函数在区间上单调递增，,或，或【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，直线垂直的充要条件，利用导数确定函数的单调区间，属于中档题.19.设数列的前n项和，满足，且.（1）求证：数列是等比数列；（2）若，求数列的前n项和.【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】
12、【分析】（1）知道关于的式子，再构造一个，即可（2）利用错位相减法即可求解【详解】解：（1），两式相减得 又且，解得，所以.， 又所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）知，则-得：-=故【点睛】本题考查求数列的通项公式，以及求数列的前n项和，属于中档题20.函数 （1）当 时，求函数在 上的值域；（2）是否存在实数 ，使函数在递减，并且最大值为1，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1） （2）不存在【解析】试题分析：（1）函数为单调递减函数,根据单调性求值域（2）由复合函数单调性可得,根据函数最值可得,解得,根据函数定义域知无意义 ,所以不存在.试题解析：解：（
13、1）由题意：，令，所以，所以函数的值域为； （2）令，则在上恒正，在上单调递减，即 又函数在递减，在上单调递减，即 ， 又函数在的最大值为1，即， 与矛盾，不存在.21.已知.（1）求函数的单调区间；（2）若对任意，都有，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的定义域和导数，对分和两种情况，分析在上的符号，可得出函数的单调区间；（2）由，转化为，构造函数，且有，问题转化为，对函数求导，分析函数的单调性，结合不等式求出实数的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为，.当时，对任意的，此时，函数的单调递减区间为；当时，令，得；令，得.此时，函数的单调递减区间为
14、，单调递增区间为；（2），即，得，又，不等式两边同时除以，得，即.易知，由题意可知对任意恒成立，.若，则当时，此时，此时，函数在上单调递减，则，不合乎题意；若，对于方程.（i）当时，即，恒成立，此时，函数在上单调递增，则有，合乎题意；（ii）当时，即时，设方程的两个不等实根分别为、，且，则，所以，.当时，；当时，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究不等式恒成立问题，解题方法就是利用分类讨论法进行求解，解题时要找出参数分类讨论的依据，考查分类讨论数学思想的应用，属于难题.22.某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品
15、由3个A 型零件和1个B 型零件配套组成每个工人每小时能加工5个A 型零件或者3个B 型零件，现在把这些工人分成两组同时工作（分组后人数不再进行调整），每组加工同一中型号的零件设加工A 型零件的工人人数为x名（xN*）（1）设完成A 型零件加工所需时间为小时，写出的解析式；（2）为了在最短时间内完成全部生产任务，x应取何值？【答案】（1）（）（2）32【解析】详解】(1)生产150件产品，需加工A型零件450个，则完成A型零件加工所需时间（其中,且）（2）生产150件产品，需加工B型零件150个，则完成B型零件加工所需时间（其中,且）；设完成全部生产任务所需时间小时，则为与中的较大者，令，则，解得所以，当时，；当时，故当时，故在上单调递减，则在上的最小值为（小时）；当时，故在上单调递增，则在的最小值为（小时）； ，在上的最小值为，为所求，所以，为了在最短时间内完成生产任务，应取32