1、2018-2019学年河北省石家庄二中高一（下）期末数学试卷一.选择题：1. 已知直线经过两点，则的斜率为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接代入两点的斜率公式，计算即可得出答案【详解】 故选A【点睛】本题考查两点的斜率公式，属于基础题2. ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，则b=A. B. C. 2D. 3【答案】D【解析】【详解】由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！3. 在正项等比数列中，数列
2、的前项之和为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的性质，即可解出答案【详解】故选B【点睛】本题考查等比数列的性质，同底对数的运算，属于基础题4. 如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】在三角形中，利用正弦定理求得，然后在三角形中求得.【详解】在BCD中，CBD1801530135.由正弦定理得，所以BC.在RtABC中，ABBCtan ACB1515.故选：D【点睛】本小题主要考查正弦定理解
3、三角形，考查解直角三角形，属于基础题.5. 过点，且圆心在直线上的圆的方程是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接根据所给信息，利用排除法解题【详解】本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线上，排除B、D，点在圆上，排除A故选C【点睛】本题考查利用排除法选出圆的标准方程，属于基础题6. 若，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由不等式性质证明不等式是正确的，举反例说明不等式是错误的【详解】若，则、均错，若，则错，C正确故选C【点睛】本题考查不等式的性质，解题时一定要注意不等式的性质：“不等式两边同乘以或除以一个正数，不等号方向不变
4、，同乘以或除以一个负数，不等号方向改变”，这里一定要注意所乘（或除）的数一定要分正负，否则易出错7. 圆关于直线对称，则值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】圆关于直线对称，所以圆心(1,1)在直线上，得.故选B.8. 已知直线、，平面、，给出下列命题：若，且，则；若，且，则；若，且，则；若，且，则其中正确的命题是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理可判断的正误；举反例可判断错误.【详解】对于命题，若，且，则或，若，则；若，则过直线的平面与平面的交线满足，又，.命题正确；对于命题，若直线、同时与平面、的交线平行，且，则
5、，但与不平行，命题错误；对于命题，若，则，则过直线的平面与平面的交线满足，命题正确，命题错误.故选：A.【点睛】本题考查面面位置关系命题正误的判断，考查推理能力，属于中等题.9. 在中，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则的形状为（ ）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】由二倍角公式和余弦定理化角为边后变形可得【详解】，整理得，三角形为直角三角形故选：B【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查二倍角公式和余弦定理，用余弦定理化角为边是解题关键10. 设点是函数图象上的任意一点，点满足，则的最小值为（）A. B. C. D
6、. 【答案】B【解析】【分析】函数表示圆位于x轴下面的部分利用点到直线的距离公式，求出最小值【详解】函数化简得圆心坐标,半径为2.所以【点睛】本题考查点到直线的距离公式，属于基础题11. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（ ）A. 4B. 10C. 5D. 【答案】C【解析】【分析】由题意结合直线位置关系的判断可得两直线互相垂直，由直线过定点可得定点与定点，进而可得，再利用基本不等式，即可得解【详解】由题意直线过定点，直线可变为，所以该直线过定点，所以，又，所以直线与直线互相垂直，所以，所以即，当且仅当时取等号,所以的最大值为5.故选：C.【点睛】本题考查了直线位置关系判
7、断及直线过定点的应用，考查了基本不等式的应用，合理转化条件是解题关键，属于中档题12. 三棱锥中，互相垂直，是线段上一动点，若直线与平面所成角的正切的最大值是，则三棱锥的外接球的表面积是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】是线段上一动点，连接，互相垂直，就是直线与平面所成角，当最短时，即时直线与平面所成角的正切的最大此时，在直角中，三棱锥扩充为长方体，则长方体的对角线长为，三棱锥的外接球的半径为，三棱锥的外接球的表面积为选B.点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面
8、几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解二、填空题13. 已知圆锥表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为_.【答案】【解析】【分析】设出底面圆的半径，用半径表示出圆锥的母线，再利用表面积，解出半径【详解】设圆锥的底面圆的半径为，母线为，则底面圆面积为，周长为 ，则 解得 故填2【点睛】本题考查根据圆锥的表面积求底面圆半径，属于基础题14. 已知数列满足，则_.【答案】【解析】【分析】数列为以 为首项，1为公差的等差数列【详解】因为所以又所以数列为以 为首项，1为公差的等差数列所以所以故
9、填【点睛】本题考查等差数列，属于基础题15. 直三棱柱中，分别是，的中点，则与所成的角的余弦值为_.【答案】【解析】【分析】取中点，证明，得异面直线所成的角，然后计算【详解】如图，取中点，连接，因为，分别是，的中点，所以，即，平行四边形，异面直线与所成的角为（或其补角），在直三棱柱中，设，则由可得：，那么在等腰中故答案为：【点睛】本题考查求异面直线所成的角，解题关键是作出异面直线所成的角16. 已知，则的最小值为_【答案】8【解析】由题意可得：则的最小值为.当且仅当时等号成立.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”
10、，若忽略了某个条件，就会出现错误三、解答题17. 求适合下列条件的直线方程：经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的倍；经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据倾斜角等于直线的倾斜角的倍，求出直线的倾斜角，再利用点斜式写出直线（2）与两坐标轴围成一个等腰直角三角形等价于直线的斜率为.【详解】（1）已知，直线方程为化简得（2）由题意可知，所求直线的斜率为.又过点，由点斜式得，所求直线的方程为或【点睛】本题考查直线方程，属于基础题18. 如图，在斜三棱柱中，侧面是边长为的菱形，平面，点在底面上的射影为棱的中点，点在平面内的射影为证明：为的中点：求三棱锥的体
11、积【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）先证平面平面，说明平面且，根据菱形的性质即可说明为的中点（2）根据，即求出即可【详解】（1）证明：因为面，平面，所以平面平面；交线为过作，则平面，又是菱形，所以为的中点（2）由题意平面【点睛】本题考查面面垂直性质定理，利用等体积转换法求三棱锥的体积，属于基础题19. 在直角坐标系中，以坐标原点为圆心的圆与直线相切求圆的方程；若圆上有两点关于直线对称，且，求直线的方程；【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）直接利用点到直线 的距离公式求出半径，即可得出答案（2）设出直线，求出圆心到直线的距离，利用半弦长直角三角形解出即可【详解】解（1）
12、，所以圆的方程为（2）由题意，可设直线的方程为则圆心到直线的距离则，即所以直线的方程为或【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题20. 在中，内角所对的边分别为.已知，.（I）求的值；（II）求的值.【答案】（）（）【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出，进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.试题解析：（）解：由，及，得.由，及余弦定理，得.（）解：由（），可得，代入，得.由（）知，A为钝角，所以.于是，故.考点：正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边
13、”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.21. 如图，在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，BCD120，四边形BFED为矩形，平面BFED平面ABCD，BF1.(1)求证：AD平面BFED；(2)点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE所成锐二面角为，试求的最小值【答案】（1）证明见解析 （2）最小值为60【解析】【分析】（1）在梯形ABCD中，利用勾股定理，得到ADBD，再结合面面垂直的判定，证得DE平面ABCD，即可证得
14、AD平面BFED；（2）以D为原点，直线DA，DB，DE分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面PAB与平面ADE法向量，利用向量的夹角公式，即可求解。【详解】（1）证明：在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，BCD120，AB2.BD2AB2AD22ABADcos 603.AB2AD2BD2，ADBD.平面BFED平面ABCD，平面BFED平面ABCDBD，DE平面BFED，DEDB，DE平面ABCD，DEAD，又DEBDD，AD平面BFED.（1）由(1)知，直线AD，BD，ED两两垂直，故以D为原点，直线DA，DB，DE分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直
15、角坐标系，令EP(0)，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，0)，P(0，1)，所以(1，0)，(0，1)设n1(x，y，z)为平面PAB的法向量，由得，取y1，则n1(，1，)因为n2(0,1,0)是平面ADE的一个法向量，所以cos .因为0，所以当时，cos 有最大值，所以的最小值为60.【点睛】本题考查了线面垂直关系的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.22. 已知数列满足：（1）设数列满足，求的前项和：（2）证明数列是等差数列，并求其通项公式；【答案】（1）（2）证明见解析,【解析】【分析】（1）令n=1，即可求出，计算出，利用错位相减求出（2）利用公式 化简即可得证再利用，求出公差，即可写出通项公式【详解】解：在中，令，得，所以，得化简得由得：，两式相减整理得：从而有，相减得：即故数列为等差数列，又，故公差【点睛】本题主要考查利用错位相减法求等差乘等比数列的前n项的和，属于基础题