1、午间半小时(三十六)(30分钟 50分)一、单选题1下列命题正确的是()A若直线 l1平面，直线 l2平面，则 l1l2B若直线 l 上有两个点到平面 的距离相等，则 lC直线 l 与平面 所成角的取值范围是0，2D若直线 l1平面，直线 l2平面，则 l1l2【解析】选 D.对于 A，若直线 l1平面，直线 l2平面，不一定有 l1l2，故 A 错误；对于 B，当 l平面 时也满足直线 l 上有两个点到平面 的距离相等，故 B 错误；对于 C，直线 l 与平面 所成角 的取值范围是 090，故 C 错误；对于 D，若直线 l1平面，直线 l2平面，则 l1l2 成立，故 D 正确2若直线 l
2、 与平面 所成的角为3，直线 a 在平面 内，且与直线 l 异面，则直线 l与直线 a 所成角的取值范围是()A0，3 B6，2 C6，3 D3，2【解析】选 D.由题可知直线 l 与直线 a 所成的角的最小值为直线与平面所成的角，所以 l 与直线 a 所成的角的最小值为3，又 l，a 为异面直线，则直线 l 与 a 所成角的最大值为2.故直线 l 与直线 a 所成角的取值范围是3，2.3过正方体 ABCD-A1B1C1D1 顶点 A 作平面，使 平面 A1B1CD，A1D1 和 D1C1的中点分别为 E 和 F，则直线 EF 与平面 所成角的正弦值为()A12 B 32 C 23 D 33【
3、解析】选 A.连接 A1C1，B1C，取 B1C 的中点 G，连接 A1G，C1G，如图，因为 平面 A1B1CD，EFA1C1，所以直线 EF 与平面 所成角即为 A1C1 与平面A1B1CD 所成的角，因为 C1GB1C，CDC1G，B1CCDC，所以 C1G平面 A1B1CD，所以C1A1G即为 A1C1 与平面 A1B1CD 所成的角，设正方体棱长为 2，所以 sin C1A1G C1GA1C1 22 2 12.4如图所示，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ABBCAC，若 ABBB1 2 1，则 AB1 与平面 BB1C1C 所成的角的大小为()A45 B60 C30 D75【解
4、析】选 A.取 BC 的中点 D，连接 AD，B1D，由 ABAC，得 ADBC 且 ADBB1，BCBB1B，BC，BB1平面 BCC1B1，所以 AD平面 BCC1B1，所以AB1D 即为 AB1 与平面 BB1C1C 所成的角设 AB 2，则 AA11，ADAB2BD2 212 62，AB1AB2BB21 21 3，所以 sin AB1DADAB1 22，所以AB1D45.即 AB1 与平面 BB1C1C 所成的角为 45.5在四面体 P-ABC 中，PB平面 ABC，且 ABAC，ABAC.若四面体 P-ABC外接球的半径为 192PB，则 PA 与平面 ABC 所成角的正切值为()A
5、12 B13 C2 D3【解析】选 B.因为 PB平面 ABC，ABAC，所以可将四面体 P-ABC 补全为如图所示的长方体，则长方体的外接球即为四面体 P-ABC 的外接球，所以其外接球半径 R12PB2AB2AC2 192PB，又 ABAC，所以 AB3PB，因为 PB平面 ABC，所以 PA 与平面 ABC 所成的角为PAB，所以 tan PABPBAB13，即 PA 与平面 ABC 所成角的正切值为13.6如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，N，P，Q 分别是所在棱的中点，则下列结论不正确的是()A点 C1，D1 到平面 PMN 的距离相等BPN 与 QM 为异面直线C
6、PNM90D平面 PMN 截该正方体的截面为正六边形【解析】选 B.设 C1D1 与平面 PMN 所成角为，由 C1MD1M，可得 C1M sin D1M sin，即点 C1，D1 到平面 PMN 的距离相等，A 正确；M，N，P，Q 分别是所在棱的中点，所以 NQPM，M，N，P，Q 四点共面，所以 PN 与 QM 共面，B 不正确；设正方体的棱长为 2，则 PN 2，PM2 2，NMA1N2A1M2 114 6，所以 PN2NM2PM2，所以PNM90，C 正确；取 CC1 的中点 E，BC 的中点为 F，则 PFACA1C1QM，MED1CA1BNP，所以 N，P，F，E，M，Q 共面，
7、则平面 PMN 截该正方体的截面为正六边形，D 正确二、多选题7在棱长为 2 的正四面体 A-BCD 中，点 E，F，G 分别为棱 BC，CD，DA 的中点，则下列结论正确的有()AAC平面 EFGB过点 E，F，G 的截面的面积为12C异面直线 EG 与 AC 所成角的大小为4DCD 与平面 GBC 所成角的大小为6【解析】选 ACD.因为点 F，G 为棱 CD，DA 的中点，所以 FGAC，因为 FG平面 EFG，AC平面 EFG，所以 AC平面 EFG，故 A 正确；取 AB 中点 H，则可得四边形 EFGH 为截面，由 A 选项可得 FGAC，FG12 AC，同理可得 HEAC，HE1
8、2 AC，则 HEFG 且 HEFG，故四边形 EFGH 为平行四边形，取 BD 中点 M，则可得 BDAM，BDCM，因为 AMCMM，则 BD平面 AMC，所以 BDAC，则 EFFG，故平行四边形 EFGH 为正方形，且边长为 1，故截面面积为 1，故 B 错误；因为 ACFG，所以异面直线 EG 与 AC 所成角即EGF，由 B 选项可得EGF4，故 C 正确；如图，因为 DAGB，DAGC，所以 DA平面 GBC，则DCG 即为 CD 与平面 GBC 所成角，易得DCG6，故 D 正确8如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，E 为 BA1 的中点，则下列结论正确的有
9、()A.直线 EC1 与直线 AD 是异面直线B在直线 A1C1 上存在点 F，使 EF平面 A1CDC直线 BA1 与平面 A1CD 所成角是6D点 B 到平面 A1CD 的距离是 22【解析】选 BCD.如图，由于 E 是 A1B 中点，则它也是 AB1 的中点，连接 C1D，由B1C1AD 知 AD，C1B1 共面，显然 EC1 在这个平面内，EC1 与 AD 共面，A 错；连接 B1D1，A1C1 与 B1D1 的交点为 F，则 EF平面 A1CD，连接 BC1，B1C，正方体中，E，F 分别是 A1B，A1C1 中点，则 EFBC1，由 CD平面 BCC1B1，B1C平面 BCC1B1，则 BC1CD，又 BC1B1C，B1C 与 CD 是平面 B1CDA1 内的两相交直线，则得 BC1平面 B1CDA1，即 EF平面 B1CDA1，B 正确；由 B 的讨论，连接 B1C 交 BC1 于点 M，连接 A1M，则BA1M 是直线 BA1 与平面 A1CD所成角，在直角三角形 A1BM 中，sin BA1MBMBA1 12，所以BA1M6，C 正确；点 B 到平面 A1CD 的距离就是 BM 22，D 正确