1、专题七平面向量题型一| 平面向量的概念与运算(1)设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则_.(2)已知向量a(1，3)，b(4，2)，若(ab)b，则_.(3)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则12的值为_(1)(2)0(3)(1)设a，b，则ba，ab，从而(ab).(2)由题意得ab(1，3)(4，2)(4，32)，由(ab)b得，(4)(2)(32)40，解得0.(3)如图，()，则1，2，12.【名师点评】1.运用向量加减法解决几何问题时，需要发现或构造三角形或平行四边形.使用三角形加法法则要特别注意“首尾相接”；
2、使用减法法则时，向量一定“共起点”.2.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.3.(，为实数)，若A，B，C三点共线，则1.1如图71，在ABC中，BO为边AC上的中线，2，设，若(R)，则的值为_图71因为2，所以.又，可设m.从而.因为，所以，1.2向量a，b，c在正方形网格中的位置如图72所示若cab(，R)，则_.图724以向量a的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)由cab，即(1，3)(
3、1,1)(6,2)，得61，23，故2，则4.3如图73，在ABC中，AFAB，D为BC的中点，AD与CF交于点E.若a，b，且xayb，则xy_.图73如图，设FB的中点为M，连结MD.因为D为BC的中点，M为FB的中点，所以MDCF.因为AFAB，所以F为AM的中点，E为AD的中点法一：因为a，b，D为BC的中点，所以(ab)所以(ab)所以b(ab)ab.所以x，y，所以xy.法二：易得EFMD，MDCF，所以EFCF，所以CECF.因为ba，所以ab.所以x，y，则xy.题型二| 平面向量的数量积(1)(2014江苏高考)如图74，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则
4、的值是_图74(2)已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若，且，则实数的值为_【导学号：91632023】(1)22(2)(1)由3，得，.因为2，所以2，即2AB2.又因为25，64，所以22.(2)因为，所以0，所以()0，即()()0.因为向量与的夹角为120，|3，|2，所以(1)|cos 120940，解得.【名师点评】求平面向量的数量积的两种方法1定义法：ab|a|b|cos ，其中为向量a，b的夹角；2坐标法：当a(x1，y1)，b(x2，y2)时，abx1x2y1y2.1(2016盐城三模)已知向量a，b满足a(4，3)，|b|1，|ab|，则向量a，b的夹角为_a(4，3
5、)，|a|5，又|b|1，|ab|，|ab|2a22abb2，ab.cosa，b.又a，b0，a，b.2如图75，在ABC中，ABAC3，cosBAC，2，则的值为_图752，()()()2299336312.3(2016南通调研一)已知边长为4的正三角形ABC，AD与BE交于点P，则的值为_图763法一：设a，b.则ab8.设ab，ab, 又B，P，E三点共线，所以解得，ab，ab，(3a22abb2)3.法二：以BC为x轴，AD为y轴，建立坐标系，B(2,0)，C(2,0)，A(0,2)，P(0，)所以(2，)(0，)3.题型三| 数量积的综合应用(1)已知O为ABC的外心，AB2a，AC
6、，BAC120，若，则的最小值为_(2)已知点R(3,0)，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M(x，y)在直线PQ上，且2 3 0，0，则4x2y3的最小值为_ (1)2(2)4(1)如图，以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，则A(0,0)，B(2a,0)，C，O为ABC的外心，O在AB的中垂线m：xa上，又在AC的中垂线n上，AC的中点，AC的斜率为tan 120，中垂线n的方程为y，把直线m和n的方程联立方程组解得ABC的外心O，由条件，得(2a,0)2a，解得，22，当且仅当a1时取等号(2)由230，得P，Q.由0，得0，即y24x，4x2y3y22y3(y1)2
7、4，因此，当y1时，4x2y3取得最小值，最小值为4.【名师点评】两类平面向量综合问题的解决方法1.用向量解决平面几何问题，主要是通过建立平面直角坐标系将问题坐标化，然后利用平面向量的坐标运算求解有关问题；2.在平面向量与平面解析几何的综合问题中，应先根据平面向量知识把向量表述的解决几何问题的几何意义弄明白，再根据这个几何意义用代数的方法研究解决.1在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2y24分别交x轴正半轴及y轴正半轴于M，N两点，点P为圆C上任意一点，则的最大值为_44根据题意得：M(2,0)，N(0,2)设P(2cos ，2sin )，则(22cos ，2sin )，(2cos ，22si
8、n )，所以4cos 4cos24sin 4sin244(sin cos )44sin，因为1sin1，所以4444，所以的最大值为44.2(2016苏锡常镇调研一)在平面直角坐标系xOy中，设M是函数f(x)(x0)的图象上任意一点，过M点向直线yx和y轴作垂线，垂足分别是A，B，则_.图772设M(a，b)，则b(a0)，据题设得B(0，b)，向量(a,0)，设A(m，m)，则直线MA的斜率为1，即1，得m，向量，把b(a0)代入得2.3已知|a|2|b|0，且关于x的函数f(x)x3|a|x2abx在R上有极值，则向量a与b的夹角的范围是_设a与b的夹角为.f(x)x3|a|x2abx，f(x)x2|a|xab.函数f(x)在R上有极值，方程x2|a|xab0有两个不同的实数根，即|a|24ab0，ab，又|a|2|b|0，cos ，即cos ，又0，.