1、绝密考试结束前浙江省宁海中学2021年3月高三适应性考试数学试题卷考生注意：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，请务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上；3.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效；4.考试结束后，只需上交答题卷。参考公式：台体的体积公式 其中，分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高柱体的体积公式 其中表示柱体的底面积，表示柱体的高锥体的体积公式 其中表示锥体的底面积，表示锥体的高球的表面积公式 球的体积公式 其中表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择
2、题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则A. B. C. D.2.在平面直角坐标系中，（），若点的轨迹为双曲线，则的取值范围是A. B. C. D.3.已知平面，则“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.对于二项式的展开式，下列命题为真的是A.第3项的系数为 B.第4项的系数为C.奇数项的系数之和是 D.偶数项的系数之和是3655.已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则其体积（单位：） A. B.4 C. D.56.已知函数，满足，则的图像大致是 A. B. C.
3、D.7.已知随机变量的分布列如下表： 01 其中，则的最大值是 A. B. C. D.8.如图，矩形中，点在，上，满足，将沿向上翻折至，使得在平面上的射影落在的重心处，设二面角的大小为，直线，与平面所成角分别为，则 A. B. C. D.9.已知公差的等差数列的前项和为，若，则A. B. C. D.10.对于，若正整数组 满足，则称为的一个拆，设 中全为奇数，偶数时拆的个数分别为，则A.存在，使得 B.不存在，使得C. 存在，使得 D.不存在，使得非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.Euler公式：（为自然对数的底数，虚数单位）
4、被评为最完美的公式.根据此公式，可得到 ； .12.已知两点，在圆：上，点坐标为，若的最大值是，且此时，则 ； .13.已知实数，满足条件，则的取值范围是 .14.已知平面向量，满足，则的取值范围是；若，则的最小值是 .15.小明与3位男生、3位女生在排队购物，已知每位女生需2分钟，男生需1分钟，若小明（不排在首位）的前后不同时为女生，且他的等待时间不多于4分钟，则不同的排队情况共有 种.16.已知，若有两零点，且，则的取值范围是 .17.如图，已知，为椭圆：（）的两焦点，为坐标原点，分别 ，在的切线上的射影，则点的轨迹方程是 ；若有且仅有2条使得的面积最大，则离心率的最大值是 .三、解答题：
5、本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本题满分14分）在中，角，的对边分别是，如图所示，点在线段上，满足.（）求的值； （）若，求的值.19.（本题满分15分）如图，在斜四棱柱中， ，.（）证明：平面平面；（）求二面角的正切值.20.（本题满分15分）已知为数列的前项和， 且.（）若数列为公差的等差数列，若，证明： 是奇数；（）若数列 为公比的等比数列，证明：.21.（本题满分15分）已知点 ，在直线：上（在上方），斜率为的直线交抛物线：于点，直线于点，.（）求的取值范围；（）若，求的取值范围.22.（本题满分15分）已知，函数，.（）若，（i）求函数的单调
6、区间；（ii）证明：；（）若，（i）若存在正整数，使非空集合，求的取值范围；（ii）若对任意正整数，非空集合 ，求的取值范围.浙江省宁海中学2021年3月高三适应性考试数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678910答案BAABDCCADD10.【解析】对于任意的，至少存在一个全为1的拆分，故A错误；当为奇数时，故B错误；当为偶数时，是每个数均为偶数的分拆，则它至少对应了 和的均为奇数的拆，当时，偶数拆为，奇数拆为，；当时，偶数拆为，奇数拆为，；故当时，对于偶数的拆，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少
7、多出一项各项均为1的拆，故，故C错误，D正确二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.；12.0或；113. 14.；15.144016.17.；17.【解析】如图，延长至，使得.，故，三点为斜边上的中线，故，取切点，连，作，由椭圆的光学性质得，同理可得，即点的轨迹方程是；由上分析可得，要使有且仅有2条使得的面积最大，即有且仅有两个点使得最接近，即，故三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本小题满分14分）（1）由正弦宣，故，即（2）由于，即为正三角形，故不妨设则，由余弦定理，故即19.（本小题满分15分）（1）
8、证明：不妨设，则由余弦定理：，平面平面，平面平面，证毕（2）解法一：由（1）可知：平面平面如下图，连，作，故平面即在平面的射影，故为的中点，故，由余弦定理：故设二面角的大小为，则故解法二：如下图，以为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，连，故得到，设平面的法向量，平面的法向量为，得取；取设二面角的大小为，则故20.（本小题满分15分）（1）证明：由该式有正整数解故当时，是奇数（2）证明：由题意得故设，故故21.（本小题满分15分）（1）由题意可设：，由于与抛物线，直线均有交点，故，联立，得到，得而，得到得由于与抛物线，直线均有交点，故综上，（2）设，则，故记，到直线的距离分别为，则设：，其中，与抛物线联产得，由韦达定理得同理设：，由韦达定理得故由（1）可知，故当且仅当，即等故的取值范围是22.（本小题满分15分）（1）由题意得故，的单调性列表如下： 0 取极小值 故在上单调递减，在上单调递增故由复合函数的单调性得故，证毕（2）由于是非空集合，故记，要使，需满足即，得当时，矛盾！故设，得，从而记， 由于，故而，故故在上单调递减由得，即是非空集合，故，得 下面考虑由于，故，（），使得由于在上单调递增，故要使，只需对于前者，即，故，即故，综上：
