1、第三章指数函数和对数函数1正整数指数函数基础过关练题组一正整数指数函数的概念及其应用1.下列函数中一定是正整数指数函数的为()A.y=2x+1,xN+B.y=x3,xN+C.y=3x,xN+D.y=32x,xN+2.函数y=13x(xN+)的值域是()A.R B.正实数C.N D.13,132,133,3.已知正整数指数函数f(x)=(a-2)ax(xN+),则f(2)等于()A.2 B.3C.9 D.164.经过点(2,9)的正整数指数函数的解析式为.5.已知函数f(x)=(m-1)4x(xN+)是正整数指数函数,则实数m=.6.判断下列函数是不是正整数指数函数:(1)y=(13)x(xN+
2、);(2)y=2(3)x(xN+);(3)y=x3(xN+);(4)y=(a+1)-x(a-1,a0,xN+).题组二正整数指数函数的图像与性质7.函数y=73x(xN+)的图像是()A.一条上升的曲线B.一条下降的曲线C.一系列上升的点D.一系列下降的点8.若正整数指数函数y=(a+1)x(xN+)的图像如图所示,则a的值是()A.0 B.1C.2 D.39.若f(x)=3x(xN+),则函数y=f(-x)在其定义域上()A.单调递增 B.单调递减C.先增后减 D.先减后增10.正整数指数函数f(x)=(a+1)x是N+上的减函数,则a的取值范围是()A.a0 B.-1a0 C.0a1 D.
3、a(a2+a+2)x+8,其中xN+,使此不等式成立的x的最小整数是.13.已知函数y=ax(a0,a1,xN+)在区间1,3上的最大值为8,则a的值为. 14.已知正整数指数函数f(x)的图像经过点(3,27).(1)求函数f(x)的解析式;(2)求f(5)的值;(3)函数f(x)有最值吗?若有,试求出;若无,请说明理由.题组三正整数指数函数模型的应用15.某中心城区现有绿化面积1 000 hm2,计划每年增长4%,经过x(xN+)年,绿化面积为y hm2,则x,y间的函数关系为()A.y=1 000(1+4%)x(xN+)B.y=(1 0004%)x(xN+)C.y=1 000(1-4%)
4、x(xN+)D.y=1 000(4%)x(xN+)16.一批价值a万元的设备,由于使用时磨损,每年比上一年的价值降低b%,则n年后这批设备的价值为()A.na(1-b%)万元B.a(1-nb%)万元C.a1-(b%)n万元D.a(1-b%)n万元17.某商品的价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格比较,变化情况是()A.增加7.84%B.减少7.84%C.减少9.5%D.不增不减18.光线通过一块玻璃板时,其强度要损失20%,现把几块相同的玻璃板重叠起来,设光线原来的强度为1,通过x块玻璃板后的强度为y,则y关于x的函数关系式为.19.有关部门计划于2022年
5、向某市投入128辆电力型公交车,且随后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%,试问:该市在2028年应投入多少辆电力型公交车?20.随着人类知识总量增长速度的加快,基础教育的任务已不是教会一切知识,而是让所有人学会学习,已知2002年底,人类知识总量为a,假如从2002年底到2011年底是每三年翻一番,从2011年底到2021年底是每一年翻一番,2022年是每73天翻一番.(1)求2011年底人类知识总量;(2)求2021年底人类知识总量;(3)2022年按365天计算,2022年底人类知识总量是多少?答案全解全析第三章指数函数和对数函数1正整数指数函数基础过关练1.C2.D3.C7.C8
6、.B9.B10.B15.A16.D17.B1.C函数y=ax(a0,a1,xN+) 叫作正整数指数函数,符合条件的是y=3x,xN+,选项A,D是指数型函数,选项B是幂函数.2.D当x取1,2,3,时,y依次为13,132,133,故选D.3.Cf(x)是正整数指数函数,a-2=1,a0且a1,a=3,f(x)=3x(xN+),f(2)=32=9,故选C.4.答案y=3x(xN+)解析设正整数指数函数的解析式为y=ax(a0,a1,xN+),将点(2,9)代入,得9=a2,解得a=3(负值舍去),所以所求解析式为y=3x(xN+).5.答案2解析由题意可知m-1=1,故m=2.6.解析(1)y
7、=(13)x(xN+)符合正整数指数函数的定义,所以是正整数指数函数.(2)y=2(3)x(xN+)不符合正整数指数函数的定义,所以不是正整数指数函数.(3)y=x3(xN+)不符合正整数指数函数的定义,所以不是正整数指数函数.(4)由题知y=(a+1)-x=1a+1x(xN+),因为a-1且a0,所以a+10且a+11,所以1a+10且1a+11,所以该函数是正整数指数函数.7.Cy=73x(xN+)是正整数指数函数,且731,故图像是一系列上升的点.8.B根据函数y=(a+1)x(xN+)的图像可知,当x=1时,y=2,即a+1=2,所以a=1.9.Bf(x)=3x(xN+),y=f(-x
8、)=3-x=13x(xN+),函数y=f(-x)在其定义域上单调递减,故选B.10.B函数f(x)=(a+1)x(xN+)是正整数指数函数,且f(x)为减函数,0a+11,-1a1,解得a1,且xN+,由正整数指数函数在底数大于1时递增的性质,得2xx+8,即x8,使不等式成立的x的最小整数是9.13.答案2解析由题意知,a1,且a3=8,故a=2.14.解析(1)设正整数指数函数的解析式为f(x)=ax(a0,a1,xN+).因为函数f(x)的图像经过点(3,27),所以f(3)=27,即a3=27,解得a=3,所以函数f(x)的解析式为f(x)=3x(xN+).(2)f(5)=35=243
9、.(3)有最小值,无最大值.因为f(x)的定义域为N+,且在定义域上是递增的,所以f(x)有最小值,最小值是f(1)=3,无最大值.15.A由题知,每经过一年,绿化面积变为上一年的(1+4%),所以x与y的函数关系为y=1 000(1+4%)x(xN+).故选A.16.D每经过一年磨损,该批设备的价值变为上一年价值的(1-b%),故经过n年,这批设备的价值变为a(1-b%)n万元.17.B设商品原来的价格为a,则两年后的价格为a(1+20%)2,四年后的价格为a(1+20%)2(1-20%)2=a(1-0.04)2=0.921 6a,而0.9216a-aa100%=-7.84%,故选B.18.
10、答案y=0.8x(xN+)解析当x=1时,y=1(1-0.2)=0.8;当x=2时,y=1(1-0.2)2=0.82;当x=3时,y=1(1-0.2)3=0.83;故y关于x的函数关系式为y=0.8x(xN+).19.解析由题意知,在2023年应投入电力型公交车的辆数为128(1+50%),在2024年应投入电力型公交车的辆数为128(1+50%)(1+50%)=128(1+50%)2,故在2028年应投入电力型公交车的辆数为128(1+50%)6,即128326=1 458.因此该市在2028年应投入1 458辆电力型公交车.20.信息提取2002年底,人类知识总量为a;从2002年底到20
11、11年底是每三年翻一番;从2011年底到2021年底是每一年翻一番;2022年是每73天翻一番.数学建模本题是以人类知识总量的增长为背景,构建正整数指数函数模型,并应用此模型解决生活中的增长问题.解析(1)翻一番是在原来的基础上乘2,翻两番是在原来的基础上乘4,即21,22,翻n番是在原来的基础上乘2n,从2002年底到2011年底是每三年翻一番,共翻了三番,所以2011年底人类知识总量为a23=8a.(2)从2011年底到2021年底是每一年翻一番,共翻了十番,所以2021年底人类知识总量为8a210=8 192a.(3)2022年是73天翻一番,共翻了五番,所以2022年底人类知识总量为8 192a25=262 144a.