1、湖南省衡阳一中2021届高三数学上学期第一次月考试题总分：150分 时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）A B C D2已知命题p：关于x的函数在上是增函数，命题q：函数为减函数，若为真命题，则实数a的取值范围是（ ）A B C D3命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A B C D4已知函数，则的值为（ ）A B C D-545汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）A消耗1升汽油，乙车最多可行驶5
2、千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油速度6函数的大致图象为（ ）A B C D7已知，则实数a，b，c的大小关系是（ ）A B C D8设函数，若函数有最小值，则实数a的取值范围是（ ）A B C D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分9下列命题中，是真命题的是（ ）A已知非零向量，若，则B若，则，C在中，“”是“”的充要条件D若定义在R上的函数是
3、奇函数，则也是奇函数10若，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（ ）A B C D11已知函数，下列四个命题正确的是（ ）A函数为偶函数函数B在上为单调递增函数C若，其中，则D若，则12在平面直角坐标系xOy中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动（无滑动滚动），点D恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数的判断正确的是（ ）A函数是偶函数B函数在上有两个零点C函数在上单调递增D对任意的，都有三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知函数的定义域是，则函数的定义域是_14若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围为_15若两个正实数x，y满足，且恒成立
4、，则实数m的取值范围是_16已知函数，其中，若动直线与函数的图象有三个不同的交点，且它们的横坐标分别为，则的最大值是_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在中，设角A，B、C的对边分别为a，b，c，已知（1）求角C的大小；（2）若，求面积的最大值18已知正项等差数列中，为其前n项和，等比数列的前n项和（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前n项和19如图，等腰梯形ABCD中，E为CD中点，以AE为折痕把折起，使点D到达点P的位置（平面ABCE）（1）证明：；（2）若线段PC的长为，求二面角的余弦值20近年来，国资委、党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯
5、彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：土地使用面积（单位：亩）12345管理时间（单位：月）810132024并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：愿意参与管理不愿意参与管理男性村民15050女性村民50（1）求出相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关？（保留三位小数）（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿有关？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的
6、情况，则从该贫困县中任取3人，记取到愿意参与管理的男性村民的人数为X，求X的分布列及数学期望参考公式及数据：，其中，0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82821已知椭圆的离心率为，其右顶点为A，下顶点为B，定点，的面积为3，过点C作与y轴不重合的直线l交椭圆C于PQ两点，直线BP，BQ分别与x轴交于M，N两点（1）求椭圆C的方程；（2）试探究M，N的横坐标的乘积是否为定值，说明理由22已知函数，（1）当时，不等式成立，求整数m的最大值（2）证明：当时，（参考数据：，）衡阳市第一中学2021届高三第一次月考数学参考答案选择题题号12345
7、6789101112答案BCABDCADABDABCDACDAB填空题13 14 15 161解答题17解：（1）由题意知即，由正弦定理得，由余弦定理得，又，（2），当且仅当时取等号，又，则面积的最大值为18解：（1），又，或，则或，又数列为正项数列，则当时，；当时，也满足上式，（2）由题可知，记数列的前n项和为，故19解：（1）在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O，四边形ABCE为平行四边形，为等边三角形，在等腰梯形ABCD中，在等腰中，即，翻折后可得：，又平面OB，平面POB，平面POB，平面POB，；（2）由（1）知，连接OC在中，由余弦定理可得在中有，可知，又，平面ABCE，则
8、以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为乙轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为，设平面PCE的一个法向量为，则，设，则，由题意得平面PAE的一个法向量，设二面角为，易知二面角为钝角，所以（射影面积法也可）20解：（1）依题意：，故，则故管理时间y与土地使用面积线性相关（2）依题意，女性村民中不愿意参与管理的人数是50，计算得的观测值为故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿有关（3）依题意，X的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到愿意参与管理的男性村民的概率为，故x的分布列为X0123P则数学期望为21（1）由已知，A，B的坐标分别是，由于的面积为3，又由得，解得：，或（舍去），椭圆方程为；（2）设直线PQ的方程为，P，Q的坐标分别为，则直线BP的方程为，令，得点M的横坐标直线BQ的方程为，令，得点N的横坐标把直线代入椭圆得由韦达定理得，是定值22解：（1）当时，令，则因此在上为增函数，又，使得，即，当时，为减函数；当时，为增函数；，所以整数m的最大值为3（2）法一：要证，即证，令，则令，则，在上为增函数，又，在上为增函数，又，在上为增函数，又，即，在上为增函数，故法二：放缩法
