1、2019届一月高三质量检测（三）高三数学试卷（文科）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题，对复数进行计算，分子分母同时乘
2、以，得出答案.【详解】化简.故选A【点睛】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力，属于基础题.2.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先对求出集合和集合，然后求其交集.【详解】因为，所以.故选B【点睛】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力,属于基础题.3.（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用二倍角余弦公式即可得到结果.【详解】.故选：C【点睛】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力.4.已知向量，若，则（ ）A. -1 B. 0 C. 1 D. 2【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算，分别求出m，n，得出结果.【详解】因
3、为，所以，得，所以.故选C【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.5.已知平面平面，且，要得到直线平面，还需要补充以下的条件是（ ）A. B. C. D. 且【答案】D【解析】【分析】根据立体几何中面面垂直的性质定理：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，得出答案.【详解】选项A、B、C的条件都不能得到直线平面.而补充选项D后，可以得到直线平面.理由是：若两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.故选D【点睛】本题考查空间中点、线、面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力，属于基础题.6.设，满足约束条件，则的
4、最小值为（ ）A. B. C. D.【答案】-3【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出表示的可行域，如图，由可得，将变形为，平移直线，由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最小，取得最小值，故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3
5、）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7.某三棱锥的三视图如图所示，在三视图中所对应的点分别为，为棱的中点，则直线与所成角的正切值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由三视图可得几何体的图形，作，垂足为，连接，得出就是直线与所成的角，然后计算可得结果.【详解】三棱锥如图所示，作，垂足为，连接，易知就是直线与所成的角.因为平面，所以，.因为平面，所以平面，所以.故选D【点睛】本题考查三视图以及异面直线所成的角的正切值，考查空间想象能力和运算求解能力,属于较为基础题.8.函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出函数定义域，再利用奇偶性排除A
6、、B选项，再算出或时，恒成立，排除D，得出结果.【详解】本题考查函数的图象和性质，考查推理论证能力.由，得或，即的定义域为，因为，所以为偶函数，排除A，B选项；又当即或时，恒成立，排除选项D，故选C.【点睛】本题考查函数的图象和性质，考查推理论证能力，属于较为基础题.9.中国古代数学名著九章算术中记载：“圆周与其直径之比被定为3，圆中弓形面积为（为弦长，为半径长与圆心到弦的距离之差）.”据此计算，已知一个圆中弓形所对应的弦长，质点随机投入此圆中，则质点落在该弓形内的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由题求出弓形的面积，再求出圆的半径以及圆的面积，利用几何概型求得结
7、果.【详解】由题意可知：弓形的面积.设圆的半径为，则，解得，所以圆的面积，所以质点落在弓形内的概率为.故选A【点睛】本题考查几何概型问题，考查数据处理能力和应用意识，解题的关键是在于能否理解题意，属于中档题型.10.沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）.在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时10分钟.那么经过5分钟后，沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是（假定沙堆的底面是水平的）（ ）A. B. C. D. 【答案】D
8、【解析】【分析】根据题意可知下方圆锥的空白部分就是上方圆锥中的沙子部分，把高度比转化为体积比.【详解】由于时间刚好是5分钟，是总时间的一半，而沙子漏下来的速度是恒定的，所以漏下来的沙子是全部沙子的一半，下方圆锥的空白部分就是上方圆锥中的沙子部分，所以可以单独研究下方圆锥，下方圆锥被沙子的上表面分成体积相等的两部分，所以，所以，所以.故选：D【点睛】本题考查几何体的体积问题的应用，考察空间想象能力和运算求解能力.11.已知椭圆，设过点的直线与椭圆交于不同的，两点，且为钝角（其中为坐标原点），则直线斜率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设直线，代入，得，利用韦达定
9、理表示，结合即可得到直线斜率的取值范围.【详解】设直线，代入，得，因为直线与椭圆交于不同的，两点，所以，解得且.设，则，因为为钝角，所以，解得，.综上所述：.故选：B【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系以及直线的斜率，考查运算求解能力.12.已知函数的图象经过点和.若函数在区间上有唯一零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据题意图象经过点和利用性质求出，然后根据在区间上有唯一零点，画出图像有一个交点，得出结果.【详解】由题意得，得，故，因为，所以.由，得，因为，故，所以，从而当时，令，则由题意得在上有唯一解，故由正弦函数图象可得或，解得.故选D【点
10、睛】本题考查三角函数的图象与性质以及函数零点问题，考查推理论证能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知函数是奇函数，则_【答案】【解析】【分析】利用函数是定义在R上的奇函数，则有，可以求出，然后代入,求出函数值即可.【详解】因为函数是奇函数，所以，则a=1.故.【点睛】本题考查奇函数的性质，直接计算即可，属于简单题.14.已知双曲线的其中一条渐近线的倾斜角是，则该双曲线的离心率_【答案】【解析】【分析】由题意可得,又，从而得到结果.【详解】由，得，所以.故答案为:【点睛】本题考查双曲线的渐近线，考查运算求解能力.15.曲线在点处
11、的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是_【答案】【解析】【分析】先根据题意求出曲线的切线方程，然后求得在，轴上的截距，既而求得结果.【详解】因为，所以，所以在点处的切线斜率为，切线的方程为，即，在，轴上的截距分别为和-5，所以与坐标轴围成的三角形面积.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.16.在锐角中，角，的对边分别是，若，且，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】利用余弦定理可得，再利用正弦定理可得，限制角C的范围，利用正弦函数的图像与性质即可得到结果.【详解】由题意得，故，由正弦定理，得，所以，所以.因为，所以，从而，所以，从而，即.故答案为：【点睛】本题考查正、
12、余弦定理的应用，考查转化与化归的数学思想.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在递增的等比数列中，且.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）设公比为，由，得，结合数列的增减性可得公比，从而可得，进而可得结果；（2）由（1）得，利用分组求和，结合等差数列与等比数列的求和公式，即可得结果.【详解】（1）设公比为，由，得，化简得，解得或，因为等比数列是递增的，所以，所以.（2）由（1）得，所
13、以 ，则，所以.【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列求和公式，以及利用“分组求和法”求数列前项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.18.某脐橙种植基地记录了10棵脐橙树在未使用新技术的年产量（单位：）和使用了新技术后的年产量的数据变化，得到表格如下：未使用新技术的10棵脐橙树的年产量第一棵第二棵第三棵第四棵第五棵第六棵第七棵第八棵第九棵第十棵年产量30323040403536454230使用了新
14、技术后的10棵脐橙树的年产量第一棵第二棵第三棵第四棵第五棵第六棵第七棵第八棵第九棵第十棵年产量40403550554542505142已知该基地共有20亩地，每亩地有50棵脐橙树.（1）估计该基地使用了新技术后，平均1棵脐橙树的产量；（2）估计该基地使用了新技术后，脐橙年总产量比未使用新技术将增产多少？（3）由于受市场影响，导致使用新技术后脐橙的售价由原来（未使用新技术时）的每千克10元降为每千克9元，试估计该基地使用新技术后脐橙年总收入比原来增加的百分数.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用平均数的计算公式，得使用了新技术后的10棵脐橙树的年产量的平均值，即可作出结论；（2）
15、求得未使用新技术的10棵脐橙树的年产量的平均值，比较即可得出基地使用了新技术后，脐橙年总产量比未使用新技术将增产量.（3）分别求得未使用新技术时的脐橙销售总收入和使用了新技术后的脐橙销售总收入，即可得到答案。【详解】（1）使用了新技术后的10棵脐橙树的年产量的平均值为 ，故可估计该基地使用了新技术后，平均1棵脐橙树的产量为.（2）未使用新技术的10棵脐橙树的年产量的平均值为 ，故估计该基地使用了新技术后，脐橙年总产量比未使用新技术将增产.（3）未使用新技术时的脐橙销售总收入为，使用了新技术后的脐橙销售总收入为，故估计该基地使用新技术后脐橙年总收入比原来增加的百分数为.【点睛】本题主要考查了用平
16、均数估计总体的实际应用问题，其中解答中熟记平均数的计算公式，准确计算，合理比较、估计是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理运算能力，属于基础题。19.如图，在直三棱柱中，为的中点.（1）证明：平面；（2）求四面体的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，易知DE是的中位线，再利用线面平行的判定，得证；（2）取中点，利用正弦定理求得，再证得平面，再用等体积法求得结果.【详解】（1）证明：连接交于点，连接，因为四边形是矩形，所以点是的中点，又点为的中点，所以是的中位线，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）解：取中点，连接，则，又因为，所以，解得
17、，即.又三棱柱是直三棱柱，所以.又，所以平面，从而有平面，因为，所以 .【点睛】本题考查了线面平行的判定以及椎体的体积求法，等体积公式是解题的关键，属于较为基础题.20.已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，且.（1）求抛物线的方程；（2）过焦点，且斜率为1的直线与抛物线交于，两点，线段的垂直平分线交抛物线于，两点，求四边形的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由题，将抛物线求得，再根据，且求得p的值，得出抛物线方程.（2）先将直线的方程与抛物线联立，求得中点和，再求出的方程联立抛物线求得，最后求得面积即可.【详解】解：（1）将代入抛物线的方程，得，所以，因为，所以，整
18、理得，解得或，当时，满足；当时，所以抛物线的方程为.（2）因为的方程为，代入：，得.设，则，故的中点为，.又因为的斜率为-1，所以的方程为即.将上式代入：，并整理得.设，则，故.所以四边形的面积.【点睛】本题考查了抛物线的方程以及直线与抛物线的相交问题，计算量较大，也是易犯错的地方，属于较难题目.直线与圆锥曲线解题步骤：(1)设出点和直线的方程（考虑斜率的存在）；（2）联立方程，化简为一元二次方程（考虑判别式），利用韦达定理；（3）转化，由题已知转化为数学公式；（4）计算，细心计算.21.已知函数，.（1）当时，求的最小值；（2）当时，若存在，使得对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围.【答案
19、】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性；（2）存在，使得对任意的都有恒成立，等价于，分别利用导数研究函数的单调性，并求出的最小值，解不等式即可得结果.【详解】（1）因为的定义域为， .当时，因为，所以在上为增函数，；当时，在上为减函数，在上为增函数，；当时，在上为减函数， .（2）当时，若存在，使得对任意的都有恒成立，则.由（1）知，当时， .因为，令，则，令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递增.所以，则，解得，又，所以，即实数的取值范围是.【点睛】
20、本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数最值，以及转化思想与分类讨论思想的应用，属于综合题. 分类讨论思想的常见类型问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；问题中的条件是分类给出的；解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程:在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线，的直角坐标方程；（2）判断曲线，是否相交，若相交
21、，请求出交点间的距离；若不相交，请说明理由.【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）由题意，消去参数，即可得到曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的互化，即可得到曲线的直角坐标方程；（2）由（1），将代入曲线，求得，在由曲线，两交点间的距离公式，即可求解。【详解】（1）将，消去参数，得曲线的直角坐标方程为，将展开整理，得，因为，所以曲线的直角坐标方程为.（2）由（1）知曲线是过定点的直线，因为点在曲线的内部，所以曲线与曲线相交.将代入并整理，得，设曲线，的两交点为，则，故曲线，两交点间的距离 .【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标与直角坐标的互化，以及弦长公式的应用，其
22、中解答中熟记互化公式，合理消去参数是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。23.选修4-5：不等式选讲:已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）设，且的最小值为.若，求的最小值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）当时，原不等式可化为，分类讨论即可求得不等式的解集；（2）由题意得，的最小值为，所以，由，得，利用基本不等式即可求解其最小值。【详解】（1）当时，原不等式可化为，当时，不等式可化为，解得，此时；当时，不等式可化为，解得，此时；当时，不等式可化为，解得，此时，综上，原不等式的解集为.（2）由题意得， ，因为的最小值为，所以，由，得，所以 ，当且仅当，即，时，的最小值为.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向
