1、河南省焦作市沁阳一中2015届高三上学期第七次考试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知集合M=x|2x3，N=x|2x+11，则MN等于（）A（2，1B（2，1C1，3）D1，3）2（5分）设复数z满足zi=2015i，i为虚数单位，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）在一次物理竞赛中，学生成绩均在内50，100），相应的频率分布直方图如图，已知成绩在60，70）的学生有40人，则成绩在70，90）的人数为（）A20B22C25D264（5分）已
2、知向量，满足|=1，则2在向量上的投影为（）A1B1CD5（5分）对于正整数a，若存在正整数b，使得a=bn（nN+）则a是n次方数，其中2次方数也叫平方数，则“正整数a是平方数”是“正整数a是4次方数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6（5分）点P是以F为焦点的抛物线y2=4x上的动点，则以P为圆心，以线段PF的长为半径的圆与直线x=1的位置关系是（）A相切B相交C相离D随点P的位置变化而变化7（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A1200+72BB、1200+144C1600+72D1600+1448（5分）函数y=的图象大致是
3、（）ABCD9（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x的值是36，输出y的值是9，则处的式子可以是（）Ay=（）xBy=3xCy=xDy=10（5分）函数f（x）=sin2x+sin2x（xR）的图象向左平移个单位后得到函数y=g（x）的图象，则以下说法错误的是（）A（，）是函数y=g（x）的图象的一个对称中心B函数y=g（x）的最小正周期是C函数y=g（x）在，上单调递增D直线x=是函数y=g（x）的图象的一条对称轴11（5分）双曲线=1（a0，b0）的左右焦点分别为F1，F2，过焦点F2与x轴垂直的直线与双曲线交于P，Q两点，若PF1Q是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）AB2CD212
4、（5分）若一个函数定义域内的某个区间上的函数值的集合也恰好是这个区间，则称这个区间是该函数的一个保值区间，若区间2，+）是函数g（x）=xln（x+m）的一个保值区间，则实数m的值为（）A2B1C0D1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中的横线上）13（5分）（+）9展开式中常数项为（用数字作答）14（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为15（5分）在四面体ABCD中，AB=CD=6，BC=AC=AD=BD=5，则该四面体外接球的表面积16（5分）在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b=4，且（a2+c2b2）tan
5、B=ac，则ABC面积的最大值是三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）等差数列an满足：a2=5，a4+a10=30的前n项和为Sn（1）求an及Sn；（2）数列bn满足bn（a1）=8（nN*），数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn218（12分）某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下表：日销售量（吨）11.52天 数102515若用样本估计总计，以上表频率为概率，且每天的销售量相互独立：（1）求5天中该种商品恰好有2天的日销售量为1.5吨的概率；（2）已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两
6、天销售利润的和（单位：千元），求的分布列和数学期望19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，BC平面PAB，且PA=PB=3，O是AB的中点，底面ABCD是直角梯形，ADBC，BC=1，AB=2，AD=3（1）证明：平面PCD平面POC；（2）求二面角CPDO的余弦值20（12分）已知椭圆C：+=1（ab0）的左、右顶点分别为A、B，上顶点为M（0，1），点P是椭圆C上的动点（异于A、B），直线AP，BP与直线y=3分别交于两点G、H，且AMP面积的最大值为1+（1）求椭圆C的方程；（2）求线段GH的长度的最小值21（12分）已知函数f（x）=x（lnx+1）（x0）（）设F（x）=ax2+f
7、（x）（aR），讨论函数F（x）的单调性；（）若斜率为k的直线与曲线y=f（x）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1x2）两点，求证：x1x2请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号22（10分）如图，四边形ABCD内接于O，过点A作O的切线EP交CB的延长于P，已知EAD=PCA，证明：（1）AD=AB；（2）DA2=DCBP23在直角坐标系xOy中，已知点P（，1），直线l的参数方程为（t为参数）若以O为极点，以Ox为极轴，选择相同的单位长度建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为=cos（）（）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标
8、方程；（）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求点P到A，B两点的距离之积24已知函数f（x）=|x1|+|x4|a，aR（1）当a=3，求f（x）9的解集；（2）当f（x）0在定义域R上恒成立时，求实数a的取值范围河南省焦作市沁阳一中2015届高三上学期第七次考试数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知集合M=x|2x3，N=x|2x+11，则MN等于（）A（2，1B（2，1C1，3）D1，3）考点：指数函数单调性的应用 专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；集合分析
9、：由2x+11得x1，再求它们的交集即可解答：解：N=x|2x+11=x|x1，MNx|2x3x|x1=x|1x3，故选D点评：本题属于不等式运算为平台，求集合的交集的基础题，也是2015届高考常会考的题型不等式运算时可用指数函数的单调性2（5分）设复数z满足zi=2015i，i为虚数单位，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义 专题：数系的扩充和复数分析：化简复数为a+bi的形式，即可判断复数所在象限解答：解：复数z满足zi=2015i所以z=12015i复数对应点为：（1，2015）在第三象限故选：C点评：本题考查复数
10、的基本运算，考查计算能力3（5分）在一次物理竞赛中，学生成绩均在内50，100），相应的频率分布直方图如图，已知成绩在60，70）的学生有40人，则成绩在70，90）的人数为（）A20B22C25D26考点：频率分布直方图 专题：概率与统计分析：根据频率分布直方图，求出样本容量，再求出成绩在70，90）的人数解答：解：根据频率分布直方图，得；学生总人数是=100；成绩在70，90）的人数为（0.01+0.015）10100=25故选：C点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率、频数与样本容量的关系进行解答，是基础题4（5分）已知向量，满足|=1，则2在向量上的投影为（）A1B
11、1CD考点：平面向量数量积的含义与物理意义 专题：平面向量及应用分析：根据投影的定义，先求向量与的夹角，设为，容易求出cos=，所以所求投影便是解答：解：设向量与的夹角为，则：cos=；在向量上的投影为：故选B点评：考查投影的定义，向量垂直的充要条件，向量夹角的余弦公式5（5分）对于正整数a，若存在正整数b，使得a=bn（nN+）则a是n次方数，其中2次方数也叫平方数，则“正整数a是平方数”是“正整数a是4次方数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：平方数不一定是4次方数，4次方数一定是平方数，从而
12、得出答案解答：解；平方数不一定是4次方数，但a=b4=（b2）2，所以4次方数一定是平方数，故选：B点评：本题考查了充分必要条件，考查了平方数问题，是一道基础题6（5分）点P是以F为焦点的抛物线y2=4x上的动点，则以P为圆心，以线段PF的长为半径的圆与直线x=1的位置关系是（）A相切B相交C相离D随点P的位置变化而变化考点：抛物线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由抛物线的定义，圆心到焦点的距离等于圆心到准线x=1的距离，所以刚好相切解答：解：F（1，0）为抛物线焦点，圆心在抛物线上，由抛物线的定义，圆心到焦点的距离等于圆心到准线x=1的距离，所以刚好相切，故选A点评
13、：本题考查直线与圆的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，比较基础7（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A1200+72BB、1200+144C1600+72D1600+144考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：三视图复原的几何体是一个半圆柱和长方体的组合体，根据三视图的数据，求出几何体的底面积和高，代入体积公式相加即可得到答案解答：解：三视图复原的几何体是一个半圆柱和长方体的组合体，长方体的长宽高分别为：20，8，10，故体积为：20810=1600，半圆柱的底面直径为12，故底面半径为6，底面面积为18，高为4，故半圆柱的体积为：18
14、4=72，故该几何体的体积为1600+72，故选：C点评：本题是基础题，考查几何体的三视图，几何体的体积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键8（5分）函数y=的图象大致是（）ABCD考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：考查函数相应性质，从四个选项中选择与之相符的一个解答：解：当x=1时，y=0；又f（x）=f（x），即函数为奇函数只有D项与之相符故选：D点评：本题考查了函数的性质与识图能力，属基础题，一般先区分四个选项，再研究函数对应的性质，选择与之相符的选项9（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x的值是36，输出y的值是9，则处的式子可以是（）Ay=（）xBy=3xCy=xD
15、y=考点：循环结构 专题：算法和程序框图分析：执行程序框图，写出x的取值，因为当x=2时不满足条件x0，输出y的值故将x=2代入选项逐一检验可得解答：解：执行程序框图，有x=36满足条件x0，x=4满足条件x0，x=0满足条件x0，x=2不满足条件x0，输出y的值将x=2代入选项逐一检验，y=9故选：A点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题10（5分）函数f（x）=sin2x+sin2x（xR）的图象向左平移个单位后得到函数y=g（x）的图象，则以下说法错误的是（）A（，）是函数y=g（x）的图象的一个对称中心B函数y=g（x）的最小正周期是C函数y=g（x）在，上单调递增D直线x=是
16、函数y=g（x）的图象的一条对称轴考点：函数y=Asin（x+）的图象变换；三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的图像与性质分析：由条件利用三角函数的恒等变换求得f（x）的解析式，再根据y=Asin（x+）的图象变换规律，可得g（x）的解析式，结合正弦函数的周期性、图象的对称性和单调性，判断各个选项是否正确，从而得出结论解答：解：把函数f（x）=sin2x+sin2x=sin2x+=sin（2x）+（xR）的图象向左平移个单位后，得到函数y=g（x）=sin2（x+）+=sin（2x+）+的图象，当x=时，f（x）=，是函数的最大值与最小值的平均值，故（，）是函数y=g（x）的图象的一个对
17、称中心，故A正确由于函数的最小正周期为=，故B正确在，上，2x+，故g（x）=sin（2x+）+在，上没有单调性，故C错误当x=时，g（x）=1+=，是g（x）的最小值，故直线x=是函数y=g（x）的图象的一条对称轴，故D正确，故选：C点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的周期性、图象的对称性和单调性，属于基础题11（5分）双曲线=1（a0，b0）的左右焦点分别为F1，F2，过焦点F2与x轴垂直的直线与双曲线交于P，Q两点，若PF1Q是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）AB2CD2考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
18、分析：首先，将点P（c，y0）代入双曲线=1得到：由PF1Q是等边三角形所以：进一步解得：所以所以整理得：解得离心率解答：解：不妨设P（c，y0）其中y00，c为双曲线的半焦距，将点P（c，y0）代入双曲线=1得到：由PF1Q是等边三角形所以：进一步解得：所以所以整理得：解得：e=或（负值舍去）故选：A点评：本题考查的知识要点：等边三角形的边角关系，双曲线的离心率及相关的运算问题12（5分）若一个函数定义域内的某个区间上的函数值的集合也恰好是这个区间，则称这个区间是该函数的一个保值区间，若区间2，+）是函数g（x）=xln（x+m）的一个保值区间，则实数m的值为（）A2B1C0D1考点：函数单
19、调性的性质 专题：函数的性质及应用分析：根据g（x）的保值区间得到m的取值范围，求出函数的导函数的增减区间，21m即m1时，则g（1m）=2得m的值即可解答：解：因为g（x）=xln（x+m）的保值区间是2，+），所以2+m0，即m2令g（x）=）=10，可得x1m，所以g（x）在（1m，+）上为增函数，同理可得g（x）在（m，1m）上为减函数若21m，即m1时，则由g（1m）=2，可得m=1满足题意若m1时，则g（2）=2，得m=1，所以满足条件的m值为1故选：B点评：本题主要考查学生求函数定义域、值域的能力，以及利用导数研究函数增减性的能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分
20、，共20分，把答案填在答题卷中的横线上）13（5分）（+）9展开式中常数项为（用数字作答）考点：二项式定理 专题：二项式定理分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值解答：解：（+）9展开式的通项公式为Tr+1=，令9=0，求得 r=6，故（+）9展开式中常数项为 =，故答案为：点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题14（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为3考点：简单线性规划 专题：计算题分析：先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将
21、最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x+y，过可行域内的点B（1，1）时的最小值，从而得到z最小值即可解答：解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域ABC，A（2，0），B（1，1），C（3，3），则目标函数z=2x+y的最小值为3故答案为：3点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定15（5分）在四面体ABCD中，AB=CD=6，BC=AC=AD=BD=5，则该四面体外接球的表面积43考点：球内接多面体 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：分别取AB，CD的中点E，F，连接相应的线段，由条件可
22、知，球心G在EF上，可以证明G为EF中点，求出球的半径，然后求出球的表面积解答：解：分别取AB，CD的中点E，F，连接相应的线段CE，ED，EF，由条件，AB=CD=4，BC=AC=AD=BD=5，可知，ABC与ADB，都是等腰三角形，AB平面ECD，ABEF，同理CDEF，EF是AB与CD的公垂线，球心G在EF上，可以证明G为EF中点，（AGBCGD）DE=4，DF=3，EF=，GF=，球半径DG=，外接球的表面积为4DG2=43，故答案为：43点评：本题考查球的内接几何体，球的表面积的求法，考查计算能力16（5分）在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b=4，且（a2+c2
23、b2）tanB=ac，则ABC面积的最大值是4考点：余弦定理的应用 专题：计算题；解三角形分析：已知等式变形后，利用余弦定理化简，求出sinB的值，由B为三角形内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数利用余弦定理列出关系式，利用基本不等式变形求出ac的最大值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将ac的最大值代入即可求出三角形ABC面积的最大值解答：解：由于（a2+c2b2）tanB=ac，则cosB=，即有cosBtanB=，即sinB=，由于B为锐角，则B=，由余弦定理得：16=b2=a2+c2ac2acac=ac，SABC=acsinB=ac4，则ABC面积的最大值为4故答
24、案为：4点评：本题考查了余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式的运用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）等差数列an满足：a2=5，a4+a10=30的前n项和为Sn（1）求an及Sn；（2）数列bn满足bn（a1）=8（nN*），数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn2考点：数列与不等式的综合 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由已知条件利用等差数列的通项公式求出首项与公差，由此能求出an及Sn（2）由已知得1=4n（n+1），从而bn=2（），由此利用裂项法能证明Tn2解答：（1
25、）解：设等差数列an公差为d，由a2=5，a4+a10=30，解得d=2，a1=3，an=3+（n1）2=2n+1，Sn=n2+2n（2）证明：an=2n+1，1=4n（n+1），bn=2（），Tn=2（1）=2（1）=22Tn2点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用18（12分）某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下表：日销售量（吨）11.52天 数102515若用样本估计总计，以上表频率为概率，且每天的销售量相互独立：（1）求5天中该种商品恰好有2天的日销售量为1.5吨的概率；（2）已知每吨该
26、商品的销售利润为2千元，表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求的分布列和数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差 专题：计算题；概率与统计分析：（1）销售量1.5吨的频率为0.5，依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率P=0.5，设5天中该种商品有X天的销售量为1.5吨，则XB（5，0.5），5天中该种商品恰好有2天的日销售量为1.5吨的概率（2）的可能取值4，5，6，7，8，分别求出P（=4），P（=5），P（=6），P（=7），P（=8），由此能求出的分布列和E解答：解：（1）销售量1.5吨的频率为0.5，依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率P=0.5，设5天中该种商
27、品有X天的销售量为1.5吨，则XB（5，0.5），（6分）故5天中该种商品恰好有2天的日销售量为1.5吨的概率为0.3125（2）的可能取值4，5，6，7，8，P（=4）=0.22=0.04，P（=5）=2*0.2*0.5=0.2，P（=6）=0.52+2*0.2*0.3=0.37，P（=7）=20.50.3=0.3，P（=8）=0.32=0.09的分布列为45678P0.040.20.370.30.09E=40.04+50.2+60.37+70.3+80.09=6.2（千元）点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年2015届高考中都是必考题型解题时要认真审题，仔细解答
28、，注意排列组合和概率知识的灵活运用19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，BC平面PAB，且PA=PB=3，O是AB的中点，底面ABCD是直角梯形，ADBC，BC=1，AB=2，AD=3（1）证明：平面PCD平面POC；（2）求二面角CPDO的余弦值考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（1）利用侧面PAB底面ABCD，可证PO底面ABCD，从而可证POCD，利用勾股定理，可证OCCD，从而利用线面垂直的判定，可得CD平面POC，进而由面面垂直的判定定理得到平面PCD平面POC；（2）建立坐标系，确定平面OPD、平面PCD的一个法向量，利用向量的夹角
29、公式，可求二面角OPDC的余弦值；解答：证明：（1）PA=PB=，O为AB中点，POAB，侧面PAB底面ABCD，PO侧面PAB，侧面PAB底面ABCD=AB，PO底面ABCD，CD底面ABCD，POCD，在RtOBC中，OC2=OB2+BC2=2，在RtOAD中，OD2=OA2+AD2=10，在直角梯形ABCD中，CD2=AB2+（ADBC）2=8，OC2+CD2=OD2，ODC是以OCD为直角的直角三角形，OCCD，OC，OP是平面POC内的两条相交直线，CD平面POC，又CD平面PCD，平面PCD平面POC；（6分）解：（2）如图建立空间直角坐标系Oxyz，则P（0，0，2），D（1，3
30、，0），C（1，1，0）=（0，0，2），=（1，3，0），=（1，1，2），=（2，2，0）假设平面OPD的一个法向量为=（x，y，z），平面PCD的法向量为=（a，b，c），则由，可得，令x=3，得y=1，z=0，则=（3，1，0），由，可得，令a=2，得b=2，c=，即=（2，2，）cos，=，故二面角OPDC的余弦值为（12分）点评：本题考查面面垂直，线面垂直，考查面面角，考查向量方法解决空间角问题，正确运用线面垂直的判定是关键20（12分）已知椭圆C：+=1（ab0）的左、右顶点分别为A、B，上顶点为M（0，1），点P是椭圆C上的动点（异于A、B），直线AP，BP与直线y=3分别交于
31、两点G、H，且AMP面积的最大值为1+（1）求椭圆C的方程；（2）求线段GH的长度的最小值考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由题意，知A（a，0），直线AM的斜率为，|AM|=，b=1，椭圆方程为=1，当AMP的面积最大时，过点P的直线l平行于AM且与椭圆相切，由此能椭圆C的方程（2）由题意知直线AP的斜率k存在，且k0，设直线AP的方程为y=k（x+2），从而G（），由，得（1+4k2）x2+16k2x+16k24=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出线段GH的长度最小值解答：解：（1）由题意，知A（a，0），直线AM的斜率为，|AM|=，b=1，
32、椭圆方程为=1，当AMP的面积最大时，过点P的直线l平行于AM且与椭圆相切，设直线l：y=，则，整理，得2x2+2amx+a2（m21）=0，=4a2m28a2（m21）=0，解得m=，或m=（舍），此时点P到直线AM的距离d=，解得a=2，椭圆C的方程为=1（2）由题意知直线AP的斜率k存在，且k0，设直线AP的方程为y=k（x+2），从而G（），由，得（1+4k2）x2+16k2x+16k24=0，设点P（x1，y1），则2x1=，从而，即点P（，），又点B（2，0），则直线PB的斜率为，由，得H（12k+2，3），|GH|=|=|，若k0，则，当且仅当，即k=时，等号成立，此时|GH|=
33、|8，k0，此时|GH|=|8，若k0，则2=12，当且仅当，即k=时，等号成立，此时|GH|=|16，综上，线段GH的长度最小值为8点评：本题考查椭圆方程的求法，考查线段长的最小值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用21（12分）已知函数f（x）=x（lnx+1）（x0）（）设F（x）=ax2+f（x）（aR），讨论函数F（x）的单调性；（）若斜率为k的直线与曲线y=f（x）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1x2）两点，求证：x1x2考点：利用导数研究函数的单调性；不等式的证明 专题：导数的综合应用分析：（）求出函数f（x）的导函数，代入函数F（x）=ax2+f（
34、x）（aR），进一步求出函数F（x）的导函数，然后分a0和a0分析导函数在不同区间内的符号，从而得到函数F（x）的单调性；（）由两点式求出，利用分析法得到证，转化为证，换元后构造函数，利用导函数得到单调性，从而得到要证的结论解答：解：（）由f（x）=x（lnx+1）（x0），得f（x）=lnx+2（x0），F（x）=ax2+lnx+2（x0），（x0）当a0时，恒有F（x）0，故F（x）在（0，+）上是增函数；当a0时，令F（x）0，得2ax2+10，解得；令F（x）0，得2ax2+10，解得；综上，当a0时，F（x）在（0，+）上是增函数；当a0时，F（x）在（）上单调递增，在（）上单调递减
35、；（）要证，即证，等价于证，令，则只要证1，由t1，知lnt0，故等价于lntt1tlnt（t0）（*）设g（t）=t1lnt（t1），则（t1），故g（t）在1，+）上是增函数，当t1时，g（t）=t1lntg（1）=0，即t1lnt，设h（t）=tlnt（t1）（t1），则h（t）=lnt0（t1），故h（t）在1，+）上是增函数当t1时，h（t）=tlnt（t1）h（1）=0，即t1（t1）由知（*）成立，故点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了不等式的证明，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了函数构造法，解答的关键在于正确分类，是有一定难度题目请考生在第22
36、、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号22（10分）如图，四边形ABCD内接于O，过点A作O的切线EP交CB的延长于P，已知EAD=PCA，证明：（1）AD=AB；（2）DA2=DCBP考点：与圆有关的比例线段 专题：立体几何分析：（1）连结BD，由弦切角定理得EAD=ABD=PCA，由此能证明AD=AB（2）由已知得ADC=ABP，PAB=ACD，从而ACDAPB，由此能证明DA2=DCBP解答：证明：（1）连结BD，四边形ABCD内接于O，过点A作O的切线EP交CB的延长于P，EAD=PCA，EAD=ABD=PCA，AD=AB（2）四边形ABCD内
37、接于O，过点A作O的切线EP交CB的延长于P，EAD=PCA，ADC=ABP，PAB=ACD，ACDAPB，又AD=AB，DA2=DCBP点评：本题考查线段长相等的证明，考查DA2=DCBP的证明，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用23在直角坐标系xOy中，已知点P（，1），直线l的参数方程为（t为参数）若以O为极点，以Ox为极轴，选择相同的单位长度建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为=cos（）（）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求点P到A，B两点的距离之积考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：（I）由直
38、线l的参数方程，由y=1+t可得t=2（y1）代入x=+消去参数t即可得出；由曲线C的极坐标方程=cos（）展开为，化为2=cos+sin，利用即可得出曲线C的直角坐标方程（II）把直线l的参数方程代入圆的方程可得=0，由于点P（，1）在直线l上，可得|PA|PB|=|t1t2|解答：解：（I）由直线l的参数方程，消去参数t，可得=0；由曲线C的极坐标方程=cos（）展开为，化为2=cos+sin，曲线C的直角坐标方程为x2+y2=x+y，即=（II）把直线l的参数方程代入圆的方程可得=0，点P（，1）在直线l上，|PA|PB|=|t1t2|=点评：本题考查了把参数方程极坐标方程化为直角坐标方
39、程、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题24已知函数f（x）=|x1|+|x4|a，aR（1）当a=3，求f（x）9的解集；（2）当f（x）0在定义域R上恒成立时，求实数a的取值范围考点：函数恒成立问题；带绝对值的函数 专题：不等式的解法及应用分析：（1）分x1时、1x4时和x4时3种情况加以讨论，分别得到f（x）的表达式，再解不等式f（x）9，最后综合可得所求的解集；（2）f（x）0可化为|x1|+|x4|a，故把f（x）0在定义域R上恒成立转化为|x1|+|x4|a在定义域R上恒成立，利用求最值解决解答：解：（1）由于a=3，f（x）=|x1|+|x4|（3）9，|x1|+|x4|6当x1时，|x1|+|x4|=1x+4x=2x+56，解得；当1x4时，|x1|+|x4|=x1+4x=36，解集为；当x4时，|x1|+|x4|=x1+x4=2x56，解得；综上所述，原不等式的解集为x|x，或（2）f（x）0可化为|x1|+|x4|a，f（x）0在定义域R上恒成立也就是|x1|+|x4|a在定义域R上恒成立，|x1|+|x4|（x1）（x4）|=3，要使|x1|+|x4|a在定义域R上恒成立，只要使3a即可，a3，a的取值范围是（，3）点评：本题给出含有绝对值的函数，解关于x的不等式，着重考查了绝对值的含义、不等式的解法和不等式恒成立的问题，属于中档题