1、第8讲函数与方程基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1若函数f(x)axb有一个零点是2，那么函数g(x)bx2ax的零点为_解析由已知得b2a，所以g(x)2ax2axa(2x2x)令g(x)0，得x10，x2.答案0，2(2017苏州期末)函数f(x)2xx32在区间(0,2)内的零点个数是_解析因为函数y2x，yx3在R上均为增函数，故函数f(x)2xx32在R上为增函数，又f(0)0，f(2)0，故函数f(x)2xx32在区间(0,2)内只有一个零点答案13函数f(x)|x|k有两个零点，则实数k的取值范围是_解析函数f(x)|x|k的零点就是方程|x|k的根，在同一坐标系内作
2、出函数y|x|，yk的图象，如图所示，可得实数k的取值范围是(0，)答案(0，)4(2017徐州月考)若函数f(x)3ax12a在区间(1,1)内存在一个零点，则a的取值范围是_解析当a0时，f(x)1与x轴无交点，不合题意，所以a0；函数f(x)3ax12a在区间(1,1)内是单调函数，所以f(1)f(1)0，即(5a1)(a1)0，解得a1或a.答案(，1)5若函数f(x)ax2x1有且仅有一个零点，则实数a的取值为_解析当a0时，函数f(x)x1为一次函数，则1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a0时，函数f(x)ax2x1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2x10有两个
3、相等实根14a0，解得a.综上，当a0或a时，函数仅有一个零点答案0或6函数f(x)3x7ln x的零点位于区间(n，n1)(nN)内，则n_.解析求函数f(x)3x7ln x的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)1ln 2，由于ln 2ln e1，所以f(2)0，f(3)2ln 30，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n2.答案27(2015湖北卷)函数f(x)4cos2cos2sin x|ln(x1)|的零点个数为_解析f(x)4cos2sin x2sin x|ln(x1)|2sin x|ln(x1)|sin 2x|ln(x1)|，令f(x)0，得sin 2x|
4、ln(x1)|.在同一坐标系中作出两个函数ysin 2x与函数y|ln(x1)|的大致图象如图所示观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f(x)有2个零点答案28已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围是_解析画出f(x)的图象，如图由函数g(x)f(x)m有3个零点，结合图象得：0m1，即m(0,1)答案(0,1)二、解答题9已知函数f(x)x22exm1，g(x)x(x0)(1)若yg(x)m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根解(1)法一g(x)x22e，图1等号成立的条件是xe，故g(x)的值域是2e，)
5、，因而只需m2e，则yg(x)m就有零点法二作出g(x)x(x0)的大致图象如图1.可知若使yg(x)m有零点，则只需m2e.图2(2)若g(x)f(x)0有两个相异实根，即yg(x)与yf(x)的图象有两个不同的交点，在同一坐标系中，作出g(x)x(x0)与f(x)x22exm1的大致图象如图2.f(x)x22exm1(xe)2m1e2.其图象的对称轴为xe，开口向下，最大值为m1e2.故当m1e22e，即me22e1时，yg(x)与yf(x)有两个交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根m的取值范围是(e22e1，)10已知关于x的二次方程x22mx2m10有两根，其中一根在区间(1,0)
6、内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围解由条件，抛物线f(x)x22mx2m1与x轴的交点分别在区间(1,0)和(1,2)内，如图所示，得即m.故m的取值范围是.能力提升题组(建议用时：20分钟)11(2017苏州调研)已知函数f(x)若函数g(x)f(x)2x恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是_解析由题意得g(x)又函数g(x)恰有三个不同的零点，所以方程g(x)0的实根2，3和1都在相应范围上，即10.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_解析在同一坐标系中，作yf(x)与yb的图象当xm时，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程f(x)
7、b有三个不同的根，则有4mm20.又m0，解得m3.答案(3，)14(2017南通阶段检测)是否存在这样的实数a，使函数f(x)x2(3a2)xa1在区间1,3上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由解令f(x)0，则(3a2)24(a1)9a216a8920恒成立，即f(x)0有两个不相等的实数根，若实数a满足条件，则只需f(1)f(3)0即可f(1)f(3)(13a2a1)(99a6a1)4(1a)(5a1)0，a或a1.检验：(1)当f(1)0时，a1，所以f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0，得x0或x1.方程在1,3上有两个实数根，不合题意，故a1.(2)当f(3)0时，a，此时f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0，解得x或x3.方程在1,3上有两个实数根，不合题意，故a.综上所述，a的取值范围是(1，).