1、山西省静乐县第一中学2021届高三数学上学期第二次月考试题 理一、 选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设是虚数单位，则复数A B C D2.已知集合，则A. B C D3.命题，的否定为A，B，C，D，4.右图为一个四棱锥的三视图，其体积为A BC D5.若对任意的都有，则函数的对称轴为A B C D6.干支历法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历，是一部深奥的历法。它是用60组各不相同的天干地支标记年月日时的历法。具体的算法如下：先用年份的尾数查出天干，如2013年3为癸；再用2013年除以12余数为9，9为巳。那么20
2、13年就是癸巳年了。2020年高三应届毕业生李东是壬午年出生，李东的父亲比他大25岁，问李东的父亲是哪一年出生A.甲子 B.乙丑 C.丁巳 D.丙卯7.如果对于任意实数，表示不超过的最大整数. 例如，.那么是的 （ ） A充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件8.已知函数是定义域为的偶函数，当时，则的解集为A B C D9.2020年是脱贫攻坚年，为顺利完成“两不愁，三保障”，即农村贫困人口不愁吃、不愁穿，农村贫困人口义务教育、基本医疗、住房安全有保障，某市拟派出6人组成三个帮扶队，每队两人，对脱贫任务较重的甲、乙、丙三县进行帮扶，则不同的派出方法种
3、数共有A. 15B. 60C. 90D. 54010.在三角形中，点是边上靠近的三等分点，则A B C D11.已知函数在区间上不是单调函数，则的取值范围是A BC D12.点在双曲线的右支上，其左、右焦点分别为、，直线与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切于点，是以为底的等腰三角形，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D 二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线在处的切线方程为_.14.在的展开式中，则的系数是_.15.在正项等比数列中中，前三项的和为7，若存在，使得，则的最小值为_.16.已知定义在上的函数和都是奇函数，（i）周期_（ii）当时，若函数在区间上有且仅有10个
4、零点，则实数的取值范围是_三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分.17.（12分）已知锐角三角形中，内角对边分别为，且（1）求角的大小;（2）求函数的值域.18.（12分）现在很多年轻人热衷提前消费，其中分期付款就是比较流行的一种消费方式.现某苹果手机直营店推出一种分期消费模式，若某顾客在店内选择任意一款手机进行购买，如果该顾客选择相应的分期消费模式，可获得相应的红包返现. 分期月数及相应的红包返利如下表1：（月数）13612返现金额50100200300顾客采用的
5、付款月数的分布列如下表2：（月数）13612现该苹果手机店内有2位顾客正准备购买某型号手机，这两位顾客选择怎样的分期消费模式相互独立.设事件为“购买该商品的2位顾客中，至少有1位采用1个月付款”（1）求事件发生的概率；（2）设这两位顾客返现红包总额为随机变量，求的分布列及数学期望.19.（12分）如图所示，在四棱锥中，四边形为平行四边形，平面，点为中点，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20.（12分）已知函数,（1）若曲线在点处的切线斜率为，求实数的值；（2）当时，证明：.21.（12分）已知F1，F2为椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，点P(1，)在椭圆E上，且|PF1|P
6、F2|4(1)求椭圆E的方程；(2)过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1l2，问是否存在常数，使得，成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.22（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，已知曲线.曲线，且，点为曲线（1） 求动点的轨迹方程；（2） 在以原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为，求动点到直线距离的最大值.23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数的最小值为6，.（1）求的值；（2）若不等式恒成立，求实数的取
7、值范围.数学（理科）答案一、选择题：1-5：DAACD 6-10：BACCA 11-12：CD二、填空题：13. 14. 15.2， 16.17.（1）由，利用正弦定理可得，可化为，.6分（2），.6分18.解：（1）抽取的老年员工人，中年员工人，青年员工人 3分（2）的可取值为 4分， 10分所以的分布列为 12分19.（1）证明：因为是的中点，所以. 1分因为底面是菱形，所以. 2分又 ，所以. 3分又因为，所以. 4分（2）方法一：由（1）知，所以. （5分）过作于，连接，则，又面，则， 6分所以是二面角的平面角 7分由（1）知是二面角的平面角，所以8分设，在中，是等边三角形，是的中位线
8、，则， 10分， ， 11分，即二面角的正弦值为 . 12分方法二：由（1）知. 如图，分别以，方向为轴，轴正半轴建立空间直角坐标系.设，则，. 5分由（1）知是二面角的平面角，所以 6分在中，是等边三角形，所以， 7分， 8分设是平面的一个法向量，则 即 9分令，则，所以是平面的一个法向量. 10分平面的一个法向量为. 11分设二面角的平面角为，则，所以二面角的正弦值为 . 12分20.解：(1)|PF1|PF2|4，2a4，a2.椭圆E：1.将P(1，)代入可得b23，椭圆E的方程为1.4分(2)当AC的斜率为零或斜率不存在时，；当AC的斜率k存在且k0时，AC的方程为yk(x1)，代入椭
9、圆方程1，并化简得(34k2)x28k2x4k2120.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1x2，x1x2.|AC|x1x2|.直线BD的斜率为，|BD|.综上，2，.故存在常数，使得，成等差数列12分21.（1）解：因为，所以.1分因为曲线在点处的切线斜率为，所以，解得.2分（2）证法一：因为,，所以等价于当时，要证，只需证明.4分以下给出三种思路证明思路1：设，则.设，则所以函数在上单调递增6分因为，所以函数在上有唯一零点，且. 8分因为，所以，即.9分当时，；当时，所以当时，取得最小值.10分所以.综上可知，当时，. 12分思路2：先证明5分设，则因为当时，当时，所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增所以所以（当且仅当时取等号）7分所以要证明， 只需证明8分下面证明设，则当时，当时，所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增所以所以（当且仅当时取等号）10分由于取等号的条件不同，所以综上可知，当时，. 12分22.解：（1）设动点由题意知，由，所以所以点的轨迹方程为5分由已知，直线的方程为，圆心到直线的距离为，所以动点到直线的距离最大值为.23.（1），当且仅当等号成立；5分（2）由柯西不等式得，当且仅当时等号成立，即，解得.故的取值范围是.10分