1、曲线运动的三类典型问题 (25分钟60分)一、选择题(本题共6小题,每题6分,共36分)1.在水流速度均匀恒定的一条河中,一条船以相对于水恒定的速度渡河,下列哪些是正确的()A.小船渡河的轨迹为曲线B.保持船头垂直于河岸,小船渡河的时间最短C.保持船头垂直于河岸,小船渡河的路程最短D.船头偏向上游适当角度,小船一定可以到达河的正对岸【解析】选B。两方向均做匀速直线运动,则运动轨迹为直线,故A错误;若船在静水中的速度始终垂直于河岸,则在垂直于河岸方向上的速度最大,渡河时间最短,故B正确;若合速度的方向与河岸垂直,小船渡河的路程才最短,故C错误;只有当水流速度小于船在静水中的速度时,根据平行四边形
2、定则,船头适当偏向上游,合速度才可能垂直河岸,故D错误。2.2020年央视春晚加入了非常多的科技元素,在舞台表演中还出现了无人机。现通过传感器将某台无人机上升向前追踪拍摄的飞行过程转化为竖直向上的速度vy及水平方向速度vx与飞行时间t的关系图象,如图所示。则下列说法正确的是()A.无人机在t1时刻处于失重状态B.无人机在0t2这段时间内沿直线飞行C.无人机在t2时刻上升至最高点D.无人机在t2t3时间内做匀变速运动【解析】选D。根据图象可知,无人机在t1时刻,在竖直方向上向上做匀加速直线运动,有竖直向上的加速度,处于超重状态,故A错误;由图象可知,无人机在t=0时刻,vy=0,合初速度为vx沿
3、水平方向,水平与竖直方向均有加速度,那么合加速度与合初速度不共线,所以无人机做曲线运动,即无人机沿曲线上升,故B错误;无人机在竖直方向,先向上做匀加速直线运动,后向上做匀减速直线运动,在t3时刻上升至最高点,故C错误;无人机在t2t3时间内,在水平方向上做匀速直线运动,而在竖直方向上向上做匀减速直线运动,因此无人机做匀变速运动,故D正确;故选D。3.如图所示,河水流动的速度为v且处处相同,河宽度为a。船在点A处,其下游距离为b处是瀑布。为了使小船渡河安全(不掉到瀑布里去),则()A.小船船头垂直河岸渡河时间最短,最短时间为t=B.小船轨迹垂直河岸渡河位移最小,渡河速度最大,最大速度为v max
4、=vC.当小船沿轨迹AB渡河时,船在静水中的最小速度为v min=D.当小船沿轨迹AB渡河时,船在静水中的最小速度为v min=【解析】选D。当小船船头垂直河岸渡河时,时间最短,最短时间为t=,且t必须小于或等于,故选项A错误;小船轨迹垂直河岸渡河,位移最小,大小为a,但船头必须指向上游,合速度不是最大,故选项B错误;小船沿轨迹AB运动,船在静水中的速度最小时,速度方向与AB垂直,可得v min=,故选项C错误,D正确。【加固训练】下面各图中,实线为河岸,虚线为小船从河岸M驶向对岸的实际航线,小船船头指向如图所示,河水的流动方向为图中v的箭头所指,以下各图可能正确的是()【解析】选B。当船头垂
5、直于河岸渡河时,由于船还要随河水向下运动,所以船的实际运动轨迹应是向下游偏的直线,故A、C错误。船要想垂直渡河,船头就应向上游有一定的偏角,使得船在静水中的速度沿河岸的分量与河水的速度大小相等,方向相反,故B正确。船头偏向下游时,合速度的方向与河水流动的方向的夹角应为锐角,故D错误。4.如图,跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出,落到斜坡上的A点。已知O点是斜坡的起点,斜坡与水平面的夹角=30,A点与O点的距离为10 m。不计空气阻力,g取10 m/s2。则运动员()A.在空中运动时间为 sB.离开O点时的水平速度为10 m/sC.离斜坡距离最大时,速度方向与斜坡平行D.落到斜坡上时
6、的速度方向与水平方向的夹角为60【解析】选C。因为A点与O点的距离为10 m,斜坡与水平面的夹角=30,所以竖直方向高度为5 m,根据公式h=gt2可得,时间为1 s,故A错误;水平距离为AOcos,因此可计算平抛时的速度为5 m/s,故B错误;根据物体运动规律可知,当跳台滑雪运动员与斜坡距离最远时,垂直斜坡方向无分速度,因此速度方向与斜坡平行,故C正确;竖直方向速度为vy=gt,解得vy=10 m/s,vx=5 m/s,因此tan=,故D错误。5.如图所示,AB为斜面,BC为水平面,从A点以水平初速度v向右抛出一小球,其落点与A的水平距离为x1,若从A点以水平初速度2v向右抛出同一小球,其落
7、点与A的水平距离为x2,不计空气阻力,则x1与x2的比值不可能为()A.12B.13C.14D.15【解析】选D。若两次小球都落在BC水平面上,则下落的高度相同,所以运动的时间相同,水平距离之比等于水平初速度之比为12,故A正确,不符合题意;若两次小球都落在斜面AB上,设斜面倾角为,设运动的时间分别为t1和t2,第一次:tan=第二次:tan=解得:t1=t2所以=若第一次落在斜面AB上,第二次落在水平面BC上,根据平抛运动的基本规律可知其水平位移比值在12到14之间。故B、C正确,不符合题意,D错误,符合题意。【加固训练】如图所示,相对的两个斜面,倾角分别为37和53,在顶点两个小球A、B以
8、同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出,小球都落在斜面上,若不计空气阻力,已知sin53=0.8,cos53=0.6,则A、B两个小球的竖直位移之比为()A.11B.34C.916D.81256【解析】选D。根据tan =得,平抛运动的时间t=,因为tan37tan53=916,可知两球平抛运动的时间之比为916,根据h=gt2知,A、B两球的竖直位移之比为81256,故D项正确,A、B、C项错误。6.如图所示,物块A放在光滑的水平面上,一跨过桌子边缘定滑轮P的轻绳上端系在物块A上,下端连接物块B。开始时,用手(未画出)托住B,使轻绳处于伸直状态,系统保持静止。现将B由静止释放,A沿水平面滑动
9、,当轻绳OP(O为物块A的一个顶点)与水平面夹角为时,B的速度大小为v0,则此时A的速度大小为()A.v0cosB.C.D.v0sin【解析】选B。依据运动的合成与分解,则O点的运动可分解为沿着轻绳方向的分运动与垂直轻绳的分运动,如图所示,根据平行四边形定则及三角形知识,则有vA=,故B正确。二、计算题(本题共2小题,共24分。要有必要的文字说明和解题步骤,有数值计算的要标明单位)7.(12分)一条河宽d=60 m,水速v水=3 m/s,船在静水中的行驶速度v船=4 m/s。求:(1)当小船渡河的时间最小时,则小船渡河的位移为多大。(2)当小船渡河的位移最小时,则小船渡河的时间为多少。【解析】
10、(1)当船头垂直对岸行驶时,渡河时间最短,且最短时间为:t1= s=15 s小船实际速度v合=5 m/s小船实际位移x1=v合t1=75 m(2)如图所示,因为v船v水,所以当v合垂直河岸时,合位移最短,等于河宽d,为了使渡河位移等于d,这时船头应指向河的上游,并与河岸成一定的角度,v合= m/s此时渡河时间为: t= s答案:(1)75 m(2) s8.(12分)一人以恒定速度v0通过定滑轮竖直向下拉小车,使其在水平面上运动,当运动到如图位置时,绳子与水平方向成60角,求此时小车运动的速度大小。小车是加速运动,还是减速运动?【解析】将小车速度沿着绳子方向与垂直绳子方向进行分解,如图:人拉绳的
11、速度与小车沿绳子方向的分速度是相等的,根据三角函数关系:v0=vcos60则v=2v0随小车向左运动,绳子与水平方向的夹角越来越大,由v=知v越来越大,则小车在水平面上做加速运动。答案:2v0小车在水平面上做加速运动 (15分钟40分)9.(6分)小河宽为d,河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比,v水=kx,k=,x是各点到近岸的距离,小船船头垂直河岸渡河,小船划水速度为v0,则下列说法中正确的是()A.小船渡河的轨迹为曲线B.小船到达离河岸处,船渡河的速度为v0C.小船渡河时的轨迹为直线D.小船到达离河岸处,船的渡河速度为v0【解析】选A。小船的速度为沿船头方向和顺水流方向的
12、两个分运动的分速度的矢量和,而两个分速度垂直,故当顺水流方向的分速度最大时,合速度最大,合速度的方向随顺水流方向的分速度的变化而变化,故小船到达河中心时速度最大,且运动轨迹为曲线,故A正确,C错误,根据小船到达离河对岸处,水流速度为=2v0,而小船在静水中的速度为v0,所以船的渡河速度为v0,故B错误;小船到达离河对岸处,水流速度为=v0,而小船在静水中的速度为v0,所以船的渡河速度为v0,故D错误,故选A。10.(6分)如图所示,A、B两车通过绳子跨接在定滑轮两侧,并分别置于光滑水平面上,若A车以速度v0向右匀速运动,当绳与水平面的夹角分别为和时,B车的速度vB是()A.vB=v0B.vB=
13、v0coscosC.vB=v0D.vB=v0sinsin【解析】选C。对A车的速度沿着绳子方向与垂直绳子方向进行分解,则有沿着绳子方向的速度大小为vT=;对B车的速度沿着绳子方向与垂直绳子方向进行分解,则有沿着绳子方向的速度大小为vT=vBcos,由于沿着绳子方向速度大小相等,所以有vAcos=vBcos,又因为vA=v0,因此vB=v0。故C正确,A、B、D错误。【加固训练】两根光滑的杆互相垂直地固定在竖直平面内,上面分别穿有一个小球,小球a、b间用一细直棒相连,如图。释放后两球都开始滑动。当细直棒与竖直杆夹角为时,两小球实际速度大小之比vavb等于()A.sin1B.cos1C.tan1D
14、.cot1【解析】选C。将两球的速度分解,如图所示,则有:va=,而vb=,那么两小球实际速度之比vavb=sincos=tan1,故C正确,A、B、D错误。11.(6分)如图所示,某物体以水平初速度抛出,飞行一段时间 s后,垂直地撞在倾角为30的斜面上(g取10 m/s2),由此计算出物体的位移x和水平初速度v0分别是()A.x=25 mB.x=5mC.v0=10 m/sD.v0=20 m/s【解析】选C。物体撞在斜面上时竖直分速度:vy=gt=10 m/s根据平行四边形定则知,tan30= 解得:v0=vytan30=10 m/s则水平位移x=v0t=10 m ,故C正确。【加固训练】如图
15、所示,某质点以v0的初速度水平抛向倾角为的斜面,要使质点到达斜面时发生的位移最小,重力加速度为g,不计空气阻力。则飞行时间为()A.B.C.D.条件不足,无法计算【解析】选A。过抛出点作斜面的垂线,如图所示:当质点落在斜面上的B点时,位移最小,设运动的时间为t,则水平方向:x=v0t,竖直方向:y=gt2,根据几何关系有:=tan ,即=tan ,解得t=,故A项正确,B、C、D项错误。12.(22分)如图所示,斜面体ABC固定在地面上,小球p从A点静止下滑,当小球p开始下滑时,另一小球q从A点正上方的D点水平抛出,两球同时到达斜面底端的B处。已知斜面AB光滑,长度l=2.5 m,斜面倾角为=
16、30。(不计空气阻力,g取10 m/s2)求:(1)小球p从A点滑到B点的时间。(2)小球q抛出时初速度的大小。(3)根据以上条件,还可以求出什么物理量,请至少写出两个,不要求计算及说明理由。【解析】(1)小球p从斜面上下滑的加速度为a,根据牛顿第二定律得:mgsin=ma解得:a=gsin=10 m/s2sin30=5 m/s2设小球p从A点滑到B点的时间为t,则有:l=at2代入数据解得:t=1 s。(2)小球q的运动为平抛运动,设抛出速度为v0。则有:lcos=v0t得:v0= m/s= m/s(3)还可求出AD、AC或DC间的高度、小球飞到B点相碰前速度、小球p水平速度与小球q水平速度相等的时刻。答案:(1)1 s(2) m/s(3)还可求出AD、AC或DC间的高度、小球飞到B点相碰前速度、小球p水平速度与小球q水平速度相等的时刻。【总结提升】(1)小球p在斜面上匀加速下滑,根据牛顿第二定律求出p的加速度,结合位移时间公式求出小球p的运动时间。(2)平抛运动在竖直方向上做自由落体运动,根据位移时间公式求出离地的高度。在水平方向上做匀速直线运动,结合水平位移和时间求出初速度的大小。(3)对照条件,由几何知识和功能关系分析能求哪些物理量。