1、课时作业 54 抛物线一、选择题1已知抛物线 x22py(p0)的准线经过点(1，1)，则抛物线的焦点坐标为(A)A(0,1)B(0,2)C(1,0)D(2,0)解析：由抛物线 x22py(p0)的准线为 yp21，得 p2，故所求抛物线的焦点坐标为(0,1)2(2019河北五名校联考)直线l过抛物线y22px(p0)的焦点，且与该抛物线交于 A，B 两点，若线段 AB 的长是 8，AB 的中点到 y轴的距离是 2，则此抛物线的方程是(B)Ay212xBy28xCy26xDy24x解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|(x1x2)p8.又 AB 的中点到 y
2、 轴的距离为 2，x1x222，x1x24，p4，所求抛物线的方程为 y28x.故选 B.3设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴的交点为 A，过抛物线 C 上一点 P 作准线 l 的垂线，垂足为 Q.若QAF 的面积为2，则点 P 的坐标为(A)A(1,2)或(1，2)B(1,4)或(1，4)C(1,2)D(1,4)解析：设点 P 的坐标为(x0，y0)因为QAF 的面积为 2，所以122|y0|2，即|y0|2，所以 x01，所以点 P 的坐标为(1,2)或(1，2)4(2019福州四校联考)已知抛物线 C 的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，直线 l 过抛物线 C 的焦
3、点 F，且与抛物线的对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点，且|AB|8，M 为抛物线 C 准线上一点，则ABM 的面积为(A)A16 B18C24 D32解析：不妨设抛物线 C：y22px(p0)，如图，因为直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与抛物线的对称轴垂直，所以线段 AB 为通径，所以2p8，p4，又 M 为抛物线 C 的准线上一点，所以点 M 到直线 AB的距离即焦点到准线的距离，为 4，所以ABM 的面积为128416，故选 A.5(2019陕西质量检测)抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必
4、经过抛物线的焦点若抛物线 y24x 的焦点为 F，一平行于 x 轴的光线从点 M(3,1)射出，经过抛物线上的点 A 反射后，再经抛物线上的另一点 B 射出，则直线 AB 的斜率为(B)A.43B43C43D169解析：将 y1 代入 y24x，可得 x14，即 A(14，1)由抛物线的光学性质可知，直线 AB 过焦点 F(1,0)，所以直线 AB 的斜率 k1014143.故选 B.6抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，点 N 在 x 轴上且在点 F 的右侧，线段 FN 的垂直平分线 l 与抛物线在第一象限的交点为 M，直线 MN 的倾斜角为 135，O 为坐标原点，则直线 OM 的斜率
5、为(A)A2 22 B2 21C.21 D3 24解析：解法 1：设点 M(m22p，m)(m0)，因为点 M 在 FN 的垂直平分线上且点 N 在焦点 F 的右侧，所以 N(2m2p22p，0)，又 MN 的倾斜角为 135，所以 2pmp2m21，解得 m(21)p，所以点 M(32 22p，(21)p)，所以直线 OM 的斜率为2 2132 2 2 22，故选 A.解法 2：如图，设直线 L 为抛物线的准线，过点 M 向准线引垂线，垂足为 A，交 y 轴于点 B，设|MF|t，因为点 M 在 FN 的垂直平分线上，且直线 MN 的倾斜角为 135，所以直线 MF 的倾斜角为 45，由抛物
6、线的定义得 t|MA|p 22 t，即 t2p21(2 2)p，所以|OB|22 t(21)p，|BM|tp232 2p2，设直线 OM 的倾斜角为，则OMB，所以直线 OM 的斜率为 tan|OB|MB|2 2132 2 2 22，故选 A.7如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线依次交抛物线及其准线于点 A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则抛物线的方程为(B)Ay232xBy23xCy292xDy29x解析：如图，分别过点 A，B 作准线的垂线，交准线于点 E，D，设|BF|a，则|BC|2a，由抛物线的定义得，|BD|a，故BCD30，在直角三角形 ACE 中
7、，因为|AE|AF|3，|AC|33a，2|AE|AC|，所以 633a，从而得 a1，因为 BDFG，所以|DB|FG|BC|FC|.即1p23，解得 p32，因此抛物线方程为 y23x.二、填空题8已知点 P 在抛物线 y24x 上，且点 P 到 y 轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点 P 到 x 轴的距离为 2.解析：设点 P 的坐标为(xP，yP)，抛物线 y24x 的准线方程为 x1，根据抛物线的定义，点 P 到焦点的距离等于点 P 到准线的距离，故xPxP112，解得 xP1，所以 y2P4，所以|yP|2.9(2019合肥市质量检测)抛物线 E：y24x 的焦点为 F，准线
8、 l与 x 轴交于点 A，过抛物线 E 上一点 P(在第一象限内)作 l 的垂线 PQ，垂足为 Q.若四边形 AFPQ 的周长为 16，则点 P 的坐标为(4,4)解析：设 P(x，y)，其中 x0，y0，由抛物线的定义知|PF|PQ|x1.根据题意知|AF|2，|QA|y，则2x12y16，y24xx4，y4或x9，y6(舍去)所以点 P 的坐标为(4,4)10(2019潍坊市统一考试)已知抛物线 y24x 与直线 2xy30 相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，设 OA，OB 的斜率分别为 k1，k2，则1k11k2的值为12.解析：设 A(y214，y1)，B(y224，y2)，易知
9、y1y20，则 k14y1，k24y2，所以1k11k2y1y24，将 xy32 代入 y24x，得 y22y60，所以 y1y22，1k11k212.三、解答题11过抛物线 C：y24x 的焦点 F 且斜率为 k 的直线 l 交抛物线C 于 A，B 两点，且|AB|8.(1)求直线 l 的方程；(2)若 A 关于 x 轴的对称点为 D，抛物线的准线与 x 轴的交点为 E，求证：B，D，E 三点共线解：(1)F 的坐标为(1,0)，则 l 的方程为 yk(x1)，代入抛物线方程 y24x 得 k2x2(2k24)xk20，由题意知 k0，且(2k24)24k2k216(k21)0.设 A(x1
10、，y1)，B(x2，y2)，x1x22k24k2，x1x21，由抛物线的定义知|AB|x1x228，2k24k26，k21，即 k1，直线 l 的方程为 y(x1)(2)证明：由抛物线的对称性知，D 点的坐标为(x1，y1)，又 E(1,0)，kEBkED y2x21 y1x11y2x11y1x21x11x21，y2(x11)y1(x21)y2(y2141)y1(y2241)y1y24(y1y2)(y1y2)(y1y2)(y1y24 1)由(1)知 x1x21，(y1y2)216x1x216，又 y1 与 y2 异号，y1y24，即y1y24 10，kEBkED，又 ED 与 EB 有公共点
11、E，B，D，E 三点共线12(2019洛阳高三统考)已知 F 是抛物线 C1：y22px(p0)的焦点，曲线 C2 是以 F 为圆心，p2为半径的圆，直线 4x3y2p0 与曲线 C1，C2 从上到下依次相交于点 A，B，C，D，则|AB|CD|(A)A16 B4C.83D.53解析：解法 1：因为直线 4x3y2p0 过 C1 的焦点 F(C2 的圆心)，故|BF|CF|p2，所以|AB|CD|AF|p2|DF|p2.由抛物线的定义得|AF|p2xA，|DF|p2xD.由4x3y2p0，y22px整理得 8x217px2p20，即(8xp)(x2p)0，可得 xA2p，xDp8，故|AB|C
12、D|xAxD2pp816.故选 A.解法 2：同解法 1 得|AB|CD|AF|p2|DF|p2.过 A，D 作抛物线准线的垂线，垂足分别为 A1，D1，该直线 AF交准线于点 E，准线交 x 轴于点 N，则由 FNAA1得|EF|EA|NF|AA1|，由直线 AF 的斜率为43得 tanA1AF43，故|AA1|AE|35.又|AA1|AF|，故|NF|AA1|EF|EA|25，所以|AF|AA1|52|NF|52p.同理可得|DD1|NF|ED|EF|，又|DD1|DF|，所以|DD1|NF|53|NF|DD1|53|NF|，故|DF|DD1|58|NF|58p，故|AB|CD|52pp2
13、58pp221816.故选 A.13(2019河北名校联考)如果点 P1，P2，P3，P10 是抛物线y22x 上的点，它们的横坐标依次为 x1，x2，x3，x10，F 是抛物线的焦点，若 x1x2x3x105，则|P1F|P2F|P3F|P10F|10.解析：由抛物线的定义可知，抛物线 y22px(p0)上的点 P(x0，y0)到焦点 F 的距离|PF|x0p2，在 y22x 中，p1，所以|P1F|P2F|P10F|x1x2x105p10.14(2019惠州市调研考试)在平面直角坐标系 xOy 中，过点C(2,0)的直线与抛物线 y24x 相交于 A，B 两点，设 A(x1，y1)，B(x
14、2，y2)(1)求证：y1y2 为定值；(2)是否存在平行于 y 轴的定直线被以 AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线的方程和弦长，如果不存在，说明理由解：(1)证法 1：当直线 AB 垂直于 x 轴时，不妨取 y12 2，y22 2，所以 y1y28(定值)当直线 AB 不垂直于 x 轴时，设直线 AB 的方程为 yk(x2)，由ykx2，y24x，得 ky24y8k0，所以 y1y28.综上可得，y1y28 为定值证法 2：设直线 AB 的方程为 myx2.由myx2，y24x得 y24my80，所以 y1y28.因此有 y1y28 为定值(2)存在理由如下：设存在直线
15、l：xa 满足条件，则 AC 的中点 E(x122，y12)，|AC|x122y21，因此以 AC 为直径的圆的半径r12|AC|12 x122y2112 x214，点 E 到直线 xa 的距离 d|x122a|，所以所截弦长为 2 r2d2214x214x122a2 x214x122a2 41ax18a4a2，当 1a0，即 a1 时，弦长为定值 2，这时直线的方程为 x1.尖子生小题库供重点班学生使用，普通班学生慎用15(2019福州市测试)已知圆 C：(x5)2(y12)28，抛物线 E：x22py(p0)上两点 A(2，y1)与 B(4，y2)，若存在与直线 AB 平行的一条直线和 C 与 E 都相切，则 E 的准线方程为(C)Ax12By1Cy12Dx1解析：由题意知，A(2，2p)，B(4，8p)，kAB8p2p421p，设抛物线 E 上的切点为(x0，y0)，由 yx22p，得 yxp，x0p1p，x01，切点为(1，12p)，切线方程为 y 12p1p(x1)，即 2x2py10，切线 2x2py10 与圆 C 相切，圆心 C(5，12)到切线的距离为 2 2，即|9p|44p22 2，31p218p490，(p1)(31p49)0，p0，p1.抛物线 x22y 的准线方程为 y12，故选 C.