1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。44数学归纳法*必备知识自主学习导思1.数学归纳法证题的原理是什么?2.数学归纳法证题的步骤是什么?数学归纳法(1)概念：一般地，证明一个与正整数n有关的数学命题，可按如下两个步骤进行：证明当nn0(n0N*)时命题成立；假设当nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法叫作数学归纳法(2)证明形式：记P(n)是一个关于正整数n的命题条件：(1)P(n0)为真；(2)若P(k)
2、(kN*，kn0)为真，则P(k1)也为真结论：P(n)为真(1)验证的第一个值n0一定是1吗？提示：不一定，如证明“凸n边形对角线的条数f(n)”时，第一步应验证n3是否成立(2)在第二步证明中，必须从归纳假设用综合法证明吗？提示：不是，在归纳递推中，可以应用综合法、分析法、反证法、放缩法等各种证明方法1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明()(2)不管是等式还是不等式，用数学归纳法证明时由nk到nk1时，项数都增加了一项()(3)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”，验证n1时，左边式子应为122223.()提示：(1).也可
3、以用其他方法证明(2).有的增加了不止一项(3).观察左边的式子可知有n3项，所以验证n1时，左边式子应为122223.2用数学归纳法证明等式135(2n1)n2(nN*)的过程中，第二步假设nk(kN*)时等式成立，则当nk1时应得到()A135(2k1)k2B135(2k1)(k1)2C135(2k1)(k2)2D135(2k1)(k3)2【解析】选B.由数学归纳法知第二步假设nk(kN*)时等式成立，则当nk1时应得到135(2k1)(k1)2.3用数学归纳法证明：(n2)(n3)(2n2)2n113(2n1)，时，从“nk(kN*)到nk1”时，左边应增添的代数式为_【解析】nk(kN
4、*)时，左边(k2)(k3)(k4)(2k2)，当nk1时，左边(k3)(k4)(2k2)(2k3)(2k4)，所以需要增乘的式子为2(2k3).答案：2(2k3)关键能力合作学习类型一数学归纳法中的增项问题(数学运算、逻辑推理)1用数学归纳法证明11)的第二步从nk(kN*)到nk1成立时，左边增加的项数是()A2k1B2kC2k1D2k1【解析】选B.当nk(kN*)时，左端1，当nk1时，左端1，所以左端增加的项为，所以左端增加的项数为2k112k12k2k.2(2021吉林高二检测)用数学归纳法证明时，从nk(kN*)到nk1，不等式左边需添加的项是()ABCD【解析】选B.当nk(k
5、N*)时，所假设的不等式为，当nk1时，要证明的不等式为，故需添加的项为.3用数学归纳法证明122225n1能被31整除时，从k(kN*)到k1添加的项数为_【解析】当nk(kN*)时，原式为：122225k1，当nk1时，原式为122225k125k25k125k225k325k4，比较后可知多了25k25k125k225k325k4，共5项答案：5数学归纳法中增项的判断方法从nk(kN*)到nk1时，等式或不等式左边需添加的项可能是一项，但也可能是多项，必须写出nk时的式子，和nk1时的式子，让两个式子作差，才能得出正确结果，把握式子中项的变化规律是关键点，要看清n加了1，项随之发生的变化
6、，搞清最后一项是什么类型二等式与不等式的证明(数学运算、逻辑推理)【典例】1.用数学归纳法证明：1n2(n1)n1.【解析】当n1时，11，等式成立，假设当nk(kN*)时，等式成立，即1k2(k1)k1，则当nk1时，1(k1)2k(k1)11k2(k1)k1123(k1)，原等式仍然成立，所以1n2(n1)n1.2(2021蚌埠高二检测)试用数学归纳法证明：.【解析】(1)当n1时，左边，右边，不等式成立；(2)假设当nk时，原不等式成立，即，当nk1时，因为0，所以.即，所以，当nk1时，不等式也成立根据(1)和(2)可知，不等式对任意正整数都成立，故原不等式成立用数学归纳法证明等式或不
7、等式问题的四个关键点1用数学归纳法证明：132333n32，nN*.【解析】当n1时，左边1，右边21，等式成立假设当nk时等式成立，即132333k3.那么当nk1时，132333k3(k1)3(k1)3(k1)2(k1)22，等式也成立根据和，可知132333n3对任何nN*都成立原等式得证2证明：1.【解析】当n1时，1成立，假设nk(kN*，k1)时，不等式1成立，那么nk1时，1，因为，所以1，即nk1时，该不等式也成立，综上，不等式1.【拓展延伸】整除问题【典例】(2021上海高二检测)用数学归纳法证明：能被133整除.【解析】当n1时，11212133能被133整除，所以n1时结
8、论成立，假设当nk时，能被133整除，那么当nk1时，1112211111112211133.由归纳假设可知11133122k1能被133整除，即能被133整除所以nk1时结论也成立，综上，由得，能被133整除【拓展训练】1用数学归纳法证明：对任意正整数n，4n15n1能被9整除【解析】(1)当n1时，4n15n118，能被9整除，故当n1时4n15n1能被9整除(2)假设当nk(kN*)时，命题成立，即4k15k1能被9整除，则当nk1时，4k115(k1)14(4k15k1)9(5k2)也能被9整除综合(1)(2)可得，对任意正整数n，4n15n1能被9整除2求证：xnnx(n1)an能被
9、(xa)2整除(n2，nN*).【解析】当n2时，原式x22axa2，能被(xa)2整除；当nk(kN*，k2)时，假设xkkx，能被(xa)2整除，当nk1时，(k1)akxkkak1x22kakxk(xa)2k，xkkx(k1)ak，(xa)2k均可被(xa)2整除，所以当nk1时，命题成立综上：由知xnnx(n1)an能被(xa)2整除类型三归纳、猜想、证明(数学运算、逻辑推理)【典例】设数列的前n项和为Sn，且对任意的正整数n都满足2anSn.(1)求S1，S2，S3的值，猜想Sn的表达式；(2)用数学归纳法证明(1)中猜想的Sn的表达式的正确性【思路导引】(1)n1时，可求出S1，n
10、2时，利用anSnSn1可得到关于Sn的递推关系，即可求出S2，S3的值，进而猜想出Sn的表达式；(2)根据数学归纳法的步骤证明即可【解析】(1)当n1时，2S，所以S1，当n2时，2Sn，所以Sn，所以S2，S3，猜想Sn，nN*.(2)下面用数学归纳法证明：当n1时，S1，猜想正确；假设nk(kN*)时，猜想正确，即Sk，那么当nk1时，可得Sk1，即nk1时，猜想也成立综上可知，对任意的正整数n，Sn都成立1“归纳猜想证明”的解题步骤2“归纳猜想证明”解决的主要问题(1)已知数列的递推公式，求通项公式或前n项和(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在(
11、3)给出一些简单命题(n1，2，3)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题提醒：计算特例时，不仅仅是简单的算数过程，有时要通过计算过程发现数据的变化规律；猜想必须准确，绝对不能猜错，否则将徒劳无功如果猜想出来的结论与正整数n有关，一般用数学归纳法证明(2021海口高二检测)已知数列的前n项和为Sn，满足Sn2an(n2)，a1，则Sn_【解析】因为当n2时，有anSnSn1，因此由Sn2an，可得Sn2SnSn1，化简得：Sn，因为S1a1，所以S2，S3，由此猜想数列的通项公式为：Sn，现用数学归纳法证明：当n1时，S1，显然成立；假设当nk(kN*)时成立，即Sk，当nk1时，Sk1
12、，综上所述：Sn.答案：课堂检测素养达标1用数学归纳法证明等式1aa2an1时，当n1时，左边等于()A1 B1aC1aa2 Da2【解析】选C.在验证n1时，令n1代入左边的代数式，得到左边1a1aa2.2用数学归纳法证明135n，nN*成立那么，“当n1时，命题成立”是“对nN*时，命题成立”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】选B.“当n1时，命题成立”不能推出“对nN*时，命题成立”；“对nN*时，命题成立”可以推出“当n1时，命题成立”，所以“当n1时，命题成立”是“对nN*时，命题成立”的必要不充分条件3对于不等式n1(nN*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(kN*)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，(k1)1，所以nk1时，不等式成立，则上述证法()A过程全部正确Bn1验得不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确【解析】选D.在nk1时，没有应用nk时的归纳假设4用数学归纳法证明“5n2n能被3整除”的第二步中，当nk1时，为了使用假设，应将变形为()A45k2kB235kCD532k【解析】选D.5k52k2552k22k532k.关闭Word文档返回原板块