1、思想方法训练3数形结合思想一、能力突破训练1.已知i为虚数单位,如果图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数z,那么复数z1+i对应的点位于复平面内的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设全集U=x|x8,xN*,若AU,BU,B(UA)=2,6,A(UB)=1,8,(UA)(UB)=4,7,则()A.A=1,6,B=2,8B.A=1,3,5,6,B=2,3,5,8C.A=1,6,B=2,3,5,8D.A=1,3,5,8,B=2,3,5,63.若变量x,y满足x-y+10,y1,x-1,则(x-2)2+y2的最小值为()A.322B.5C.92D.54.若函数f
2、(x)=(a-x)|x-3a|(a0)在区间(-,b上取得最小值3-4a时所对应的x的值恰有两个,则实数b的值等于()A.22B.2-2或6-32C.632D.2+2或6+325.已知函数f(x)=4x与g(x)=x3+t,若f(x)与g(x)图象的交点在直线y=x的两侧,则实数t的取值范围是()A.(-6,0B.(-6,6)C.(4,+)D.(-4,4)6.已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为3,向量b满足b2-4eb+3=0,则|a-b|的最小值是()A.3-1B.3+1C.2D.2-37.在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只
3、有一个交点,则a的值为.8.函数f(x)=2sin xsinx+2-x2的零点个数为.9.若不等式9-x2k(x+2)-2的解集为区间a,b,且b-a=2,则k=.10.如图,ABC是等腰直角三角形,斜边AB=2,D为直角边BC上一点(不含端点).将ACD沿直线AD折叠至AC1D的位置,使得点C1在平面ABD外.若点C1在平面ABD上的射影H恰好在线段AB上,则AH的取值范围是.11.电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:连续剧播放时长/min广告播放时长/min收视人次/万甲70560乙6
4、0525已知电视台每周安排的甲、乙两套连续剧的总播放时间不多于600 min,广告的总播放时间不少于30 min,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(1)用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多?二、思维提升训练12.已知函数f(x)=2-|x|,x2,(x-2)2,x2,函数g(x)=b-f(2-x),其中bR,若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是()A.74,+B.-,74C.0,74D.74,213.设函数f(
5、x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)0,则a的取值范围是()A.-32e,1B.-32e,34C.32e,34D.32e,114.在锐角三角形ABC中,B=60,|AB-AC|=2,则ABAC的取值范围为()A.(0,12)B.-14,12C.(0,4D.(0,215.已知函数f(x)=|lgx|,010.若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),求abc的取值范围.16.设函数f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2-ln x(a,bR),已知它们在x=1处的切线互相平行.(1)求b的值;(2)若函数F(x)=f(x),x0,g(x),
6、x0,且方程F(x)=a2有且仅有四个解,求实数a的取值范围.思想方法训练3数形结合思想一、能力突破训练1.D解析:由题图知,z=2+i,z1+i=2+i1+i=2+i1+i1-i1-i=32-12i,则对应的点位于复平面内的第四象限.故选D.2.D解析:根据题意可作出Venn图如图所示,由图可知A=1,3,5,8,B=2,3,5,6.3.D解析:如图,作出不等式组所表示的可行域(阴影部分).设z=(x-2)2+y2,则z的几何意义为可行域内的点到定点D(2,0)的距离的平方,由图象可知,C,D两点间的距离最小,此时z最小,由y=1,x-y+1=0,可得x=0,y=1,即C(0,1).所以zm
7、in=(0-2)2+12=4+1=5.4.D解析:结合函数f(x)的图象(图略)可知,3-4a=-a2,即a=1或a=3.当a=1时,-b2+4b-3=-1(b3),解得b=2+2;当a=3时,-b2+12b-27=-9(b9),解得b=6+32,故选D.5.B解析:如图,由题知,若f(x)=4x与g(x)=x3+t图象的交点位于y=x两侧,则有23+t2,(-2)3+t-2,解得-6t6.6.A解析:e为单位向量,b2-4eb+3=0,b2-4eb+4e2=1.(b-2e)2=1.以e的方向为x轴正方向,建立平面直角坐标系,如图.OE=2e,OB=b,OA=a,=3.由(b-2e)2=1,可
8、知点B在以点E为圆心,1为半径的圆上.由|a-b|=|OA-OB|=|BA|,可知|a-b|的最小值即为|BA|的最小值,即为圆上的点B到直线OA的距离.又直线OA的方程为y=3x,点E为(2,0),点E到直线OA的距离d=232=3.|BA|的最小值为3-1,即|a-b|的最小值为3-1.7.-12解析:在同一坐标系画出y=2a和y=|x-a|-1的图象如图.由图可知,要使两函数的图象只有一个交点,则2a=-1,a=-12.8.2解析:f(x)=2sinxsinx+2-x2=2sinxcosx-x2=sin2x-x2.如图,在同一平面直角坐标系中作出y=sin2x与y=x2的图象,当x0时,
9、两图象有2个交点,当x0时,两图象无交点,综上,两图象有2个交点,即函数的零点个数为2.9.2解析:令y1=9-x2,y2=k(x+2)-2,在同一平面直角坐标系中作出其图象,如图.9-x2k(x+2)-2的解集为a,b,且b-a=2,结合图象知b=3,a=1,即直线与圆的交点坐标为(1,22),k=22+21+2=2.10.(1,2)解析:在等腰直角三角形ABC中,斜边AB=2,D为直角边BC上的一点,故AC=BC=2,ACB=90.设AH=x,AC1=AC=2,CD=C1D(0,2),AC1D=90,C1H平面ABD,AHAC1=2.又CD12AB=1.AH的取值范围是(1,2).11.解
10、(1)由已知,x,y满足的数学关系式为70x+60y600,5x+5y30,x2y,x0,y0,即7x+6y60,x+y6,x-2y0,x0,y0,该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分.(2)设总收视人次为z万,则目标函数为z=60x+25y.考虑z=60x+25y,将它变形为y=-125x+z25,这是斜率为-125,随z变化的一族平行直线.z25为直线在y轴上的截距,当z25取得最大值时,z的值最大.又因为(x,y)为阴影部分中的点,由图可知,当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时,截距z25最大,即z最大.解方程组7x+6y=60,x-2y=0,得点M的坐标为(6,3
11、).所以,电视台每周播出甲连续剧6次,乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.二、思维提升训练12.D解析:由f(x)=2-|x|,x2,(x-2)2,x2,得f(x)=2+x,x2,f(2-x)=2+2-x,2-x2=x2,x2,所以f(x)+f(2-x)=x2+x+2,x2.因为函数y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-b恰有4个零点,所以直线y=b与函数y=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点.画出函数y=f(x)+f(2-x)的图象,如图.由图可知,当b74,2时,函数y=b与y=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点.故选D.13.D解析:设g(x)=ex(2x-
12、1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)0即为g(x)h(x).因为g(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1),当x-12时,g(x)-12时,g(x)0,函数g(x)单调递增.所以g(x)的最小值为g-12.而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.如图,分别作出函数g(x)=ex(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图象.显然,当a0时,满足不等式g(x)h(x)的整数有无数多个.函数g(x)=ex(2x-1)的图象与y轴的交点为A(0,-1),与x轴的交点为D12,0.取点C-1,-3e.由图可知,不等式g(x)h(x)只有一个整数解时,须满
13、足kPCakPA.而kPC=0-3e1-(-1)=32e,kPA=0-(-1)1-0=1,所以32ea1.故选D.14.A解析:以B为原点,BA所在直线为x轴建立平面直角坐标系.B=60,|AB-AC|=|BC|=2,C(1,3).设A(x,0),ABC是锐角三角形,且A+C=120,30A90,即点A在如图所示的线段DE上(不与点D,E重合),1x4.ABAC=x2-x=x-122-14,ABAC的取值范围为(0,12).15.解因为-lga=lgbab=1,所以abc=c,也就是说只需要求出c的取值范围即可,画出函数f(x)的图象,如图所示,平移一条平行于x轴的直线,可以发现c的取值范围是
14、10c12,因此10abc12,即abc的取值范围是(10,12).16.解函数g(x)=bx2-lnx的定义域为(0,+).(1)f(x)=3ax2-3af(1)=0,g(x)=2bx-1xg(1)=2b-1,依题意2b-1=0,得b=12.(2)当x(0,1)时,g(x)=x-1x0.所以当x=1时,g(x)取得极小值g(1)=12.当a=0时,方程F(x)=a2不可能有且仅有四个解.当a0,x(-,-1)时,f(x)0,所以当x=-1时,f(x)取得极小值f(-1)=2a,又f(0)=0,所以F(x)的图象如图所示.从图象可以看出F(x)=a2不可能有四个解.当a0,x(-,-1)时,f(x)0,x(-1,0)时,f(x)0,所以当x=-1时,f(x)取得极大值f(-1)=2a.又f(0)=0,所以F(x)的图象如图所示.从图象看出方程F(x)=a2有四个解,则12a22a,所以实数a的取值范围是22,2.图图