1、1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期【知识拓展】1函数奇偶性常用结论(1)如
2、果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(3)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇2函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0)(2)若f(xa)，则T2a(a0)(3)若f(xa)，则T2a(a0)【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(2)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()(3)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(
3、x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数()(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件()(5)若T是函数的一个周期，则nT(nZ，n0)也是函数的周期()1(教材改编)下列函数为偶函数的是()Af(x)x1Bf(x)x2xCf(x)2x2xDf(x)2x2x答案D解析D中，f(x)2x2xf(x)，f(x)为偶函数2已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，则f(8)的值为()A1 B0 C1 D2答案B解析f(x)为定义在R上的奇函数，f(0)0，又f(x4)f(x)，f(8)f(0)0.3(2016嘉兴教学测试一)已知奇函数f(x)，当x0时，f(x)log
4、2(x3)，则f(1)_.答案2解析f(1)log2(13)2，又f(x)为奇函数，f(1)f(1)2.4(教材改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x(1x)，则当x0时，f(x)_.答案x(1x)解析当x0，f(x)(x)(1x)又f(x)为奇函数，f(x)f(x)(x)(1x)，f(x)x(1x).题型一判断函数的奇偶性例1(1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()Ay ByxCy2x Dyxex答案D解析选项A中的函数是偶函数；选项B中的函数是奇函数；选项C中的函数是偶函数；选项D中的函数既不是奇函数也不是偶函数(2)判断函数f(x)的奇偶性解当x0时
5、，x0，f(x)x2x，f(x)(x)2xx2x(x2x)f(x)；当x0，f(x)x2x，f(x)(x)2xx2x(x2x)f(x)对于x(，0)(0，)，均有f(x)f(x)函数f(x)为奇函数思维升华(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断(1)(2016北京海淀区模拟)下列函数中为偶函数的是()Ay Bylg|x|Cy(x1)2 Dy2x(2)(2016余姚模拟)函数g(x)为_函数(填“奇”或“偶”)，函数f(x)1的对称
6、中心为_答案(1)B(2)奇(0,2)解析(1)选项B中，函数ylg|x|的定义域为x|x0且lg|x|lg|x|，所以函数ylg|x|是偶函数(2)易知函数g(x)为奇函数，图象关于原点对称，又f(x)1g(x)2，所以函数f(x)的对称中心为(0,2)题型二函数的周期性例2(1)(2016绍兴模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)f(x1)，则f(2 017)f(2 019)的值为()A1 B1 C0 D无法计算(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x2)，当2x3时，f(x)x，则f(105.5)_.答案(1)C(2)2.5解析(1)由
7、题意，得g(x)f(x1)，又f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，g(x)g(x)，f(x)f(x)，f(x1)f(x1)，f(x)f(x2)，f(x)f(x4)，f(x)的周期为4，f(2 017)f(1)，f(2 019)f(3)f(1)，又f(1)f(1)g(0)0，f(2 017)f(2 019)0.(2)由已知，可得f(x4)f(x2)2f(x)故函数的周期为4.f(105.5)f(4272.5)f(2.5)f(2.5)22.53，由题意，得f(2.5)2.5.f(105.5)2.5.引申探究例2(2)中，若将f(x2)改为f(x2)f(x)，其他条件不变，则
8、 f(105.5)=_答案2.5解f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，函数的周期为4(下同例题)思维升华函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)，当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2 018)_.答案339解析f(x6)f(x)，T6.当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x，f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，f(1)f(2)f(6)1，f(1
9、)f(2)f(3)f(2 015)f(2 016)1336.又f(2 017)f(1)1，f(2 018)f(2)2，f(1)f(2)f(3)f(2 018)339.题型三函数性质的综合应用命题点1解不等式问题例3(1)(2017温州模拟)已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)f()的x的取值范围是()A(，) B，)C(，) D，)(2)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)1，f(5)，则实数a的取值范围为()A(1,4) B(2,0)C(1,0) D(1,2)答案(1)A(2)A解析(1)因为f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，又f(x)在0
10、，)上单调递增，f(2x1)f()，所以|2x1|，所以x.(2)f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，f(5)f(56)f(1)f(1)，f(1)1，f(5)，1，即0，解得1a0且1x0，由奇函数的性质可得f(0)0.所以lg(a2)0，即a1，经检验a1满足函数的定义域(2)因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以ff且f(1)f(1)，故ff，从而a1，即3a2b2.由f(1)f(1)，得a1，即b2a.由，得a2，b4，从而a3b10.思维升华(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题(2)掌握以下两个结论，
11、会给解题带来方便f(x)为偶函数f(x)f(|x|)；若奇函数在x0处有意义，则f(0)0.(1)若f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，则a_.(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)答案(1)(2)D解析(1)函数f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，故f(x)f(x)，即ln(e3x1)axln(e3x1)ax，化简得ln 2axln e2ax，即e2ax，整理得e3x1e2ax3x(e3x1)，所以2ax3x
12、0，解得a.(2)因为f(x)满足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定义在R上的奇函数且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)因为f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间2,2上是增函数，所以f(1)f(0)f(1)所以f(25)f(80)f(11)1抽象函数问题考点分析 抽象函数问题在高考中也时常遇到，常常涉及求函数的定义域，由函数的周期性求函数值或判断函数的奇偶性等.一般以选择题或填空题来呈现，有时在解答题中也有所
13、体现.此类题目较为抽象，易失分，应引起足够重视.一、抽象函数的定义域典例1已知函数yf(x)的定义域是0,8，则函数g(x)的定义域为_解析要使函数有意义，需使即解得1x0，f(x2)，对任意xR恒成立，则f(2 019)等于()A4 B3 C2 D1解析因为f(x)0，f(x2)，所以f(x4)f(x2)2f(x)，即函数f(x)的周期是4，所以f(2 019)f(50541)f(1)因为函数f(x)为偶函数，所以f(2 019)f(1)f(1)当x1时，f(12)，得f(1).即f(1)1，所以f(2 019)f(1)1.答案D三、抽象函数的单调性与不等式典例3设函数f(x)是定义在(0，
14、)上的增函数，且满足f(xy)f(x)f(y)若f(3)1，且f(a)f(a1)2，求实数a的取值范围规范解答解因为f(xy)f(x)f(y)，且f(3)1，所以22f(3)f(3)f(3)f(9)又f(a)f(a1)2，所以f(a)f(a1)f(9)再由f(xy)f(x)f(y)，可知f(a)f9(a1)，因为f(x)是定义在(0，)上的增函数，从而有解得1a.故所求实数a的取值范围是(1，).1(2016嘉兴高三上学期期末)下列函数中，既是奇函数又在区间(0，)上为增函数的是()Ayln x Byx3Cyx2 Dysin x答案B2已知f(x)ax3b4(a，bR)，flg(log32)1
15、，则flg(log23)的值为()A1 B3 C7 D8答案C解析设g(x)ax3b，则g(x)为奇函数，因为lg(log32)lg()lg(log23)，所以flg(log32)glg(log32)41，glg(log32)3，所以flg(log23)glg(log23)4glg(log32)4glg(log32)4347，故选C.3已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(2,0)时，f(x)2x2，则f(2 019)等于()A2 B2 C98 D98答案B解析由f(x4)f(x)知，f(x)是周期为4的周期函数，f(2 019)f(50443)f(3)，又f(x4)f(
16、x)，f(3)f(1)，由1(2,0)得f(1)2，f(2 019)2.4已知f(x)lg(a)为奇函数，则使f(x)0的x的取值范围是()A(，0) B(1,0)C(0,1) D(，0)(1，)答案B解析由f(x)f(x)0，即lg(a)lg(a)lglg 10，可得a1，所以f(x)lg ，解01，可得1x0时，f(x)则f(f(16)等于()A B C. D.答案C解析由题意f(16)f(16)log2164，故f(f(16)f(4)f(4)cos . *6.(2016天津)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(，0)上单调递增若实数a满足f(2|a1|)f()，则a的取值范围是(
17、)A. B.C. D.答案C解析因为f(x)是定义在R上的偶函数且在区间(，0)上单调递增，所以f(x)f(x)且f(x)在(0，)上单调递减由f(2|a1|)f()，f()f()可得2|a1|，即|a1|，所以a0时，f(x)1，则当x0时，f(x)1，当x0，f(x)1f(x)，即x0时，f(x)(1)1.10(2016余姚模拟)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，)上是单调递增函数如果实数t满足f(ln t)f(ln )2f(1)，那么t的取值范围是_答案，e解析由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(ln t)f(ln)，由f(ln t)f(ln)2f(1)，得f(l
18、n t)f(1)又函数f(x)在区间0，)上是单调递增函数，所以|ln t|1，即1ln t1，故te.11已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)于是x0时，f(x)x2mxx22x，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象知所以1a3，故实数a的取值范围是(1,312设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x.(1)求f()的值；(2)当4x4时，求f(x)的图象与x轴所围
19、成图形的面积解(1)由f(x2)f(x)，得f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函数与f(x2)f(x)，得f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)从而可知函数yf(x)的图象关于直线x1对称又当0x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示设当4x4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB4(21)4. *13.函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的
20、值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围解(1)对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)0.(2)f(x)为偶函数证明：令x1x21，则f(1)f(1)f(1)，f(1)f(1)0.令x11，x2x，则f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数(3)依题设有f(44)f(4)f(4)2，由(2)知，f(x)是偶函数，f(x1)2f(|x1|)f(16)又f(x)在(0，)上是增函数，0|x1|16，解得15x17且x1，x的取值范围是x|15x17且x1