1、2014-2015学年浙江省宁波市慈溪市高三（上）期中数学试卷（理科）一选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案写在答题卷中相应的位置上）1已知，且sin=，则tan=（） A B C D 2设全集U=R，A=，B=1，2，3，4，则BUA=（） A 4 B 3，4 C 2，3，4 D 1，2，3，43已知a，bR，且ab，则（） A a2b2 B C lg（ab）0 D 4在ABC中，设三边AB，BC，CA的中点分别为E，F，D，则=（） A B C D 5在一次射击训练中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题p是“甲射中目标”
2、，q是“乙射中目标”，则命题“至少有一位运动员没有射中目标”可表示为（） A pq B （p）（q） C （p）（q） D p（q）6函数y=x2lg的图象（） A 关于x轴对称 B 关于原点对称 C 关于直线y=x对称 D 关于y轴对称7将函数y=sin（2x+）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个关于y轴对称的图象，则的一个可能取值为（） A B C D 8设函数f（x）的零点为x1，g（x）=4x+2x2的零点为x2，若|x1x2|0.25，则f（x）可以是（） A f（x）=（x1）2 B f（x）=ex1 C D f（x）=4x19已知an为等比数列，且a4+a7=2，a5a6=8
3、，则a1+a10=（） A 5 B 5 C 7 D 710已知函数f（x）=若三个正实数x1，x2，x3互不相等，且满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1x2x3的取值范围是（） A （20，24） B （10，12） C （5，6） D （1，10）二填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分把答案填在答卷中相应的位置）11log3的值等于12函数的最小正周期为13若函数f（x）是幂函数，且满足f（4）=3f（2），则的值等于14若函数f（x）满足：，则f（x）=15在ABC中，“sinAsinB”是“AB”的条件16已知非零实数满足等式：16+=16sincos，则=17已知变数
4、x，y满足约束条件，目标函数z=x+ay（a0）仅在点（2，2）处取得最大值，则a的取值范围为三解答题（本大题共5小题，共72分.解答写出文字说明证明过程或演算步骤，把解答写在答题卷中相应的位置上）18已知向量=（sinx，sinx），=（cosx，sinx），其中（1）若|=2，求x的值；（2）设函数f（x）=，求f（x）的值域19已知关于x的不等式ax23x+20的解集为x|x1或xb（1）求a，b； （2）解关于x的不等式ax2（ac+b）x+bc0 （cR）20在ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知a=csinB+bcosC（1）求A+C的值；（2）若b=，求ABC面
5、积的最大值21已知函数f（x）=x2+a|x1|，a为常数（1）当a=2时，求函数f（x）在0，2上的最小值和最大值；（2）若函数f（x）在0，+）上单调递增，求实数a的取值范围22设数列an的前n项和为Sn，且a1=1，nan+1=2Sn，nN*（1）求a2，a3，a4；（2）求数列an的通项公式；（3）若数列bn满足：b1=，试证明：当nN*时，必有；bn12014-2015学年浙江省宁波市慈溪市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案写在答题卷中相应的位置上）1已知，且si
6、n=，则tan=（） A B C D 考点： 同角三角函数基本关系的运用专题： 三角函数的求值分析： 首先根据三角函数的恒等变换关系式sin2+cos2=1，求出cos，进一步利用角的范围和求出结果解答： 解：已知sin=，根据sin2+cos2=1解得：由于：所以：则故选：B点评： 本题考查的知识要点：同角三角函数的恒等式的应用，三角函数的求值问题2设全集U=R，A=，B=1，2，3，4，则BUA=（） A 4 B 3，4 C 2，3，4 D 1，2，3，4考点： 交、并、补集的混合运算专题： 集合分析： 由已知中A=，B=1，2，3，4，进而结合集合交集，并集，补集的定义，代入运算后，可得
7、答案解答： 解：A=，UA=，又B=1，2，3，4，BUA=3，4，故选：B点评： 本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集及其运算，难度不大，属于基础题3已知a，bR，且ab，则（） A a2b2 B C lg（ab）0 D 考点： 不等式的基本性质专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析： 利用不等式的基本性质，可判断A，B，根据对数函数的图象和性质，可判断C，根据指数函数的图象和性质，可判断D解答： 解：当0ab时，a2b2，故A不成立；当a0b时，故B不成立；当0ab1时，lg（ab）0，故C不成立，当ab时，恒成立，故D正确，故选：D点评： 本题考查的知识点是不等式的基本性质
8、，指数函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，难度中档4在ABC中，设三边AB，BC，CA的中点分别为E，F，D，则=（） A B C D 考点： 向量的加法及其几何意义专题： 平面向量及应用分析： 根据向量加法的平行四边形法则即可求出，所以解答： 解：如图，；故选A点评： 考查向量加法的平行四边形法则及中线向量，以及向量的加法运算5在一次射击训练中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题p是“甲射中目标”，q是“乙射中目标”，则命题“至少有一位运动员没有射中目标”可表示为（） A pq B （p）（q） C （p）（q） D p（q）考点： 复合命题的真假专题： 简易逻辑分析： “至少一位运动员
9、没有射中目标”就是指“甲没射中目标，或乙没有射中目标”，而p为：甲没射中目标，q为：乙没射中目标，所以便将命题“至少一位运动员没射中目标”表示为：（p）（q）解答： 解：命题p：甲没射中目标，q：乙没射中目标；“至少有一位运动员没有射中目标”就是“甲没射中目标，或乙没射中目标”；所以可表示为（p）（q）故选B点评： 考查p，q，以及pq的概念，并理解（p）（q）为真时，p，q中至少一个为真6函数y=x2lg的图象（） A 关于x轴对称 B 关于原点对称 C 关于直线y=x对称 D 关于y轴对称考点： 函数的图象专题： 函数的性质及应用分析： 先判断出函数为奇函数，再根据奇函数的图象的性质得到答
10、案解答： 解：f（x）=x2lg，其定义域为（，2）（2，+），f（x）=x2lg=x2lg=f（x），函数为奇函数，函数的图象关于原点对称，故选：B点评： 本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题7将函数y=sin（2x+）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个关于y轴对称的图象，则的一个可能取值为（） A B C D 考点： 函数y=Asin（x+）的图象变换专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析： 首先对函数进行平移变换，再利用对称性求解解答： 解：函数y=sin（2x+）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到：由于函数图象关于y轴对称，所以（kZ）当k=0时，=故选：C点评： 本题考
11、查的知识要点：三角函数的平移变换问题，函数的对称问题，诱导公式的灵活应用8设函数f（x）的零点为x1，g（x）=4x+2x2的零点为x2，若|x1x2|0.25，则f（x）可以是（） A f（x）=（x1）2 B f（x）=ex1 C D f（x）=4x1考点： 函数零点的判定定理专题： 计算题；函数的性质及应用分析： 首先确定选项A、B、C、D中的零点为x1，从而利用二分法可求得x2（，），从而得到答案解答： 解：选项A：x1=1，选项B：x1=0，选项C：x1=或，选项D：x1=；g（1）=4+220，g（0）=120，g（）=2+120，g（）=20，则x2（，），故选D点评： 本题考查
12、了函数的零点的求法及二分法求函数的零点的近似，属于基础题9已知an为等比数列，且a4+a7=2，a5a6=8，则a1+a10=（） A 5 B 5 C 7 D 7考点： 等比数列的性质专题： 计算题；等差数列与等比数列分析： 由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可解答： 解：a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=8a4=4，a7=2或a4=2，a7=4当a4=4，a7=2时，q3=，a1=8，a10=1，a1+a10=7当a4=2，a7=4时，q3=2，则a10=8，a1=1a1+a10=7综上可得
13、，a1+a10=7故选D点评： 本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力10已知函数f（x）=若三个正实数x1，x2，x3互不相等，且满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1x2x3的取值范围是（） A （20，24） B （10，12） C （5，6） D （1，10）考点： 分段函数的应用专题： 数形结合；函数的性质及应用分析： 画出函数的图象，根据f（x1）=f（x2）=f（x3），不妨不妨设x1x2x3，求出x1x2x3的范围即可解答： 解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设x1x2x3，则lgx1=lgx2=x3+6（0，1）x1x2=1，0x3+61
14、则x1x2x3=x3（10，12）故选：B点评： 本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力二填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分把答案填在答卷中相应的位置）11log3的值等于考点： 对数的运算性质专题： 函数的性质及应用分析： 利用对数的运算法则即可得出解答： 解：原式=故答案为：点评： 本题考查了对数的运算法则，属于基础题12函数的最小正周期为考点： 三角函数的周期性及其求法专题： 三角函数的图像与性质分析： 利用正弦函数的周期公式即可求得答案解答： 解：数，其最小正周期T=，故答案为：点评： 本题考查正弦函数的周期及其求法，属于基础题13若函数f（x）是
15、幂函数，且满足f（4）=3f（2），则的值等于考点： 幂函数的概念、解析式、定义域、值域专题： 函数的性质及应用分析： 先设f（x）=xa代入题设，求出a的值，求出函数关系式把代入函数关系式即可解答： 解：设f（x）=xa，又f（4）=3f（2），4a=32a，解得：a=log23，f（）=故答案为：点评： 本题主要考查幂函数的性质属基础题14若函数f（x）满足：，则f（x）=考点： 函数解析式的求解及常用方法；函数的值专题： 函数的性质及应用分析： 直接利用替换表达式中的x，得到方程，然后求解f（x）即可解答： 解：函数f（x）满足：，替换表达式中的x，得到：，两个方程消去f（），可得f（x
16、）=故答案为：点评： 本题考查函数 解析式的求法，基本知识的考查15在ABC中，“sinAsinB”是“AB”充要条件的条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 计算题分析： 由正弦定理知 =，由sinAsinB，知ab，所以AB，反之亦然，故可得结论解答： 解：若sinAsinB成立，由正弦定理 =2R，所以ab，所以AB反之，若AB成立，所以ab，因为a=2RsinA，b=2RsinB，所以sinAsinB，所以sinAsinB是AB的充要条件故答案为：充要条件点评： 本题以三角形为载体，考查四种条件，解题的关键是正确运用正弦定理及变形属于基础题16已知非零实数满足等式：16+
17、=16sincos，则=考点： 二倍角的正弦专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析： 原式可化简为sin2=2+，由|2|+|2=1可知sin2=1故可求得解答： 解：16+=16sincos16+=8sin2sin2=2+|2|+|2=1sin2=1=故答案为：点评： 本题主要考察了二倍角的正弦公式的应用，三角函数的基本性质，不等式的解法，属于基础题17已知变数x，y满足约束条件，目标函数z=x+ay（a0）仅在点（2，2）处取得最大值，则a的取值范围为考点： 简单线性规划专题： 不等式的解法及应用分析： 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求
18、出a的取值范围解答： 解：作出不等式对应的平面区域，当a=0时，z=x，即x=z，此时不成立由z=x+ay得y=x+，要使目标函数z=x+ay（a0）仅在点（2，2）处取得最大值，则阴影部分区域在直线y=x+的下方，即目标函数的斜率k=，满足kkAC，即3，a0，a，即a的取值范围为，故答案为：点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法根据条件目标函数z=x+y仅在点P（2，2）处取得最大值，确定直线的位置是解决本题的关键三解答题（本大题共5小题，共72分.解答写出文字说明证明过程或演算步骤，把解答写在答题卷中相应的位置上）18已知向量=（sinx，sinx）
19、，=（cosx，sinx），其中（1）若|=2，求x的值；（2）设函数f（x）=，求f（x）的值域考点： 平面向量数量积的运算专题： 计算题；函数的性质及应用；平面向量及应用分析： （1）由向量的平方即为模的平方，结合两角差的正弦公式，即可得到x；（2）运用向量的数量积的坐标公式和二倍角公式、两角差的正弦公式，再由正弦函数的值域即可得到所求的最值解答： 解：（1）因为向量=（sinx，sinx），=（cosx，sinx），所以=（sinxcosx，0），即|2=（sinxcosx）2=4，所以，即，因为，所以；（2）因为f（x）=sinxcosx+sin2x=sin2x+=，由于，则，所以当即
20、时，f（x）max=1，当即时，所以f（x）的值域为点评： 本题考查平面向量的运用，考查向量的数量积的坐标公式和性质，考查二倍角公式和两角差的正弦公式，以及正弦函数的值域，属于中档题19已知关于x的不等式ax23x+20的解集为x|x1或xb（1）求a，b； （2）解关于x的不等式ax2（ac+b）x+bc0 （cR）考点： 一元二次不等式的解法专题： 计算题；不等式的解法及应用分析： （1）由一元二次不等式与一元二次方程的关系，可得1和b是相应方程的两个实数根，由根与系数的关系建立关于a、b的方程组，解之即可得到实数a、b的值（2）由（1），得所求不等式即x2（c+2）x+2c0，再讨论实数
21、c与2的大小关系，即可得到不等式在各种情况下的解集，得到本题答案解答： 解：（1）根据题意，得方程ax23x+2=0的两个根为1和b，由根与系数的关系，得，解之得a=1，b=2； （2）由（1）得关于x的不等式ax2（ac+b）x+bc0，即x2（c+2）x+2c0，因式分解，得（xc）（x2）0当c=2时，原不等式的解集为；当c2时，原不等式的解集为（c，2）；当c2时，原不等式的解集为（2，c）点评： 本题给出关于x的一元二次不等式解集，求参数a、b的值，着重考查了一元二次不等式的解法、一元二次不等式与一元二次方程的关系等知识，属于基础题20在ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，
22、c，已知a=csinB+bcosC（1）求A+C的值；（2）若b=，求ABC面积的最大值考点： 正弦定理专题： 解三角形分析： （1）已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，求出tanB的值，确定出B的度数，即可求出A+C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，把b，cosB的值代入并利用基本不等式求出ac的最大值，即可确定出三角形面积的最大值解答： 解：（1）由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，在ABC中，sinA=sin（B+C）=sin（B+C），sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcos
23、C，cosBsinC=sinCsinB，C（0，），sinC0，cosB=sinB，即tanB=1，B（0，），B=，即A+C=；（2）由余弦定理得到：b2=a2+c22accosB，即2=a2+c2ac，2+ac=a2+c22ac，即ac=2+，当且仅当a=c，即a=c=时取“=”，SABC=acsinB=ac，ABC面积的最大值为点评： 此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键21已知函数f（x）=x2+a|x1|，a为常数（1）当a=2时，求函数f（x）在0，2上的最小值和最大值；（2）若函数f（x）在0，+）上单调递增，求实数a的取值范围考点：
24、函数的最值及其几何意义；函数单调性的性质专题： 函数的性质及应用分析： （1）去掉绝对值符号，化为分段函数，配方利用二次函数求最值；（2）去掉绝对值符号，化为分段函数，配方利用二次函数的单调性，使函数在两段上都递增，且x1时的最小值大于x1时的最大值解答： 解：（1）当a=2时，=所以当x1，2时，f（x）max=6，f（x）min=1当x0，1时，f（x）max=2，f（x）min=1所以f（x）在0，2上的最大值为6，最小值为1 （2）因为=而f（x）在0，+）上单调递增所以当x1时，f（x）必单调递增，得即a2当0x1时，f（x）亦必单调递增，得即a0且11+aa11a+a恒成立，故所求
25、实数a的取值范围为2，0点评： 本题主要考查函数的性质，特别是二次函数的单调性与求最值的方法，研究分段函数时要两段上统筹兼顾，属于中档题22设数列an的前n项和为Sn，且a1=1，nan+1=2Sn，nN*（1）求a2，a3，a4；（2）求数列an的通项公式；（3）若数列bn满足：b1=，试证明：当nN*时，必有；bn1考点： 数列与不等式的综合；数列递推式专题： 等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法分析： （1）由递推公式逐个求得即可；（2）利用公式法可得nan+1（n1）an=2（SnSn1）=2an即nan+1=（n+1）an，再利用累乘法即可求得数列的通项公式；（3）先证得数
26、列bn是正项单调递增数列，再由所以，即，再有裂项相消法求得，即bn1（n2），故命题得证解答： 解：（1）由n=1，2，（3分）别代入递推式即可得a2=2，a3=3，a4=4（3分）（2）因为nan+1=2Sn，（n1）an=2Sn1，所以nan+1（n1）an=2（SnSn1）=2an即nan+1=（n+1）an，所以，（7分）（3）由（2）得所以bn是正项单调递增数列，（8分）当nN*时，（9分）所以，即（11分）由得，当n2时，所以即（13分）所以=（14分）所以，即bn1（n2）又当n=1，（15分）故当nN*时，bn1点评： 本题主要考查递推公式求数列的通项公式，考查学生分析问题、解决问题的能力及运算求解能力，逻辑性强，属于难题
