1、2016-2017学年河北省邯郸市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1若复数z满足=，则z等于（）A7+iB7iC7+7iD7+7i2设集合A=x|（x+1）（4x）0，B=x|03，则AB等于（）A（0，4）B（4，9）C（1，4）D（1，9）3若tan=4sin420，则tan（60）的值为（）ABCD4已知Sn为数列an的前n项和，若a1=3且Sn+1=2Sn，则a4等于（）A6B12C16D245直线y=2b与双曲线=1（a0，b0）的左支、右支分别交于A、B两点，O为坐标原点，且AOB为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（）ABCD6
2、若函数f（x）=log0.2（5+4xx2）在区间（a1，a+1）上递减，且b=lg0.2，c=20.2，则（）AcbaBbcaCabcDbac7若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（mod m），例如10=2（mod 4），下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的中国剩余定理执行该程序框图，则输出的i等于（）A4B8C16D328如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A6B9C12D189设x，y满足约束条件若a2，9，则z=ax+y仅在点（，）处取得最大值的概率为（）ABCD10已知抛物线C：y2=2px（0p4）的焦点为F，点P为C上一动点，A（4，0），B（p， p
3、），且|PA|的最小值为，则|BF|等于（）A4BC5D11已知0，a0，f（x）=asinx+acosx，g（x）=2cos（ax+），h（x）=这3个函数在同一直角坐标系中的部分图象如图所示，则函数g（x）+h（x）的图象的一条对称轴方程可以为（）Ax=Bx=Cx=Dx=12已知函数f（x）=，若关于x的方程f（f（x）=a存在2个实数根，则a的取值范围为（）A24，0）B（，24）0，2）C（24，3）D（，240，2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（1）5的展开式中x2的系数为14随机掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数为m，已知向量=（m，1），=（2m，4），设
4、X=，则X的数学期望E（X）=15在公差大于1的等差数列an中，已知a12=64，a2+a3+a10=36，则数列|an|的前20项和为16已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的表面上，AB=AC=5，BC=8，AD底面ABC，G为ABC的重心，且直线DG与底面ABC所成角的正切值为，则球O的表面积为三、解答题（本大题共6小题，共70分）17在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知2sin2A+sin2B=sin2C（1）若b=2a=4，求ABC的面积；（2）求的最小值，并确定此时的值18已知某企业的近3年的前7个月的月利润（单位：百万元）如下面的折线图所示：（1）试问这3年的前
5、7个月中哪个月的月平均利润较高？（2）通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势；（3）试以第3年的前4个月的数据（如下表），用线性回归的拟合模式估测第3年8月份的利润月份x1234利润y（单位：百万元）4466相关公式： =， =x19已知数列an的前n项和Sn=n2+pn，且a2，a5，a10成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=，求数列bn的前n项和Tn20在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB平面ABCD，AB=AP=3，AD=PB=2，E为线段AB上一点，且AE：EB=7：2，点F，G，M分别为线段PA、PD、BC的中点（1）求证：PE平面ABCD；（
6、2）若平面EFG与直线CD交于点N，求二面角PMNA的余弦值21已知椭圆C： +=1（ab1）的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为，过椭圆C的右焦点作斜率为k（k0）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，线段AB的中点为P（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P垂直于AB的直线与x轴交于点D，且|DP|=，求k的值22已知函数f（x）=（ax2lnx）（xlnx）+1（aR）（1）若ax2lnx，求证：f（x）ax2lnx+1；（2）若x0（0，+），f（x0）=1+x0lnx0ln2x0，求a的最大值；（3）求证：当1x2时，f（x）ax（2ax）2016-2017学年河北省邯郸市高
7、三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1若复数z满足=，则z等于（）A7+iB7iC7+7iD7+7i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】根据复数的运算法则计算即可【解答】解： =，z=7+i，故选：A2设集合A=x|（x+1）（4x）0，B=x|03，则AB等于（）A（0，4）B（4，9）C（1，4）D（1，9）【考点】交集及其运算【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可【解答】解：由A中不等式变形得：（x+1）（x4）0，解得：1x4，即A=（1，4），由B中不等式解得：0x9，即B=（0，9），则
8、AB=（0，4），故选：A3若tan=4sin420，则tan（60）的值为（）ABCD【考点】三角函数的化简求值【分析】根据tan=4sin420，求解出tan的值，将tan（60）利用正切的和与差公式展开，即可得解【解答】解：由题意tan=4sin420，可得：tan=4sin60=2由tan（60）=故选C4已知Sn为数列an的前n项和，若a1=3且Sn+1=2Sn，则a4等于（）A6B12C16D24【考点】数列递推式【分析】根据题意，分析可得数列an的前n项和Sn为首项为3，公比为2的等比数列，由等比数列通项公式可得Sn=S1qn1=32n1，进而由a4=S4S3，计算可得答案【解答
9、】解：根据题意，数列an中，有a1=3即S1=3，又由Sn+1=2Sn，则数列an的前n项和Sn为首项为3，公比为2的等比数列；则Sn=S1qn1=32n1，则a4=S4S3=323322=2412=12；即a4=12；故选：B5直线y=2b与双曲线=1（a0，b0）的左支、右支分别交于A、B两点，O为坐标原点，且AOB为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】由等腰直角三角形的性质，求得A点坐标，代入双曲线方程，求得a和b的关系，由离心率公式即可求得双曲线的离心率【解答】解：由题意可知：直线y=2b与y轴交于C点，AOB为等腰直角三角形，则BAO=AB
10、O=45，则AC=2b，AOB为等腰直角三角形，A（2b，2b），将A代入双曲线=1，可得，b=a，e=，双曲线的离心率，故选：B6若函数f（x）=log0.2（5+4xx2）在区间（a1，a+1）上递减，且b=lg0.2，c=20.2，则（）AcbaBbcaCabcDbac【考点】复合函数的单调性【分析】利用复合函数的单调性求出函数f（x）=log0.2（5+4xx2）减区间，再由函数f（x）=log0.2（5+4xx2）在区间（a1，a+1）上递减求出a的范围，然后利用指数函数与对数函数的性质比较b，c与0和1的大小，则答案可求【解答】解：由5+4xx20，得1x5，又函数t=5+4xx2
11、的对称轴方程为x=2，复合函数f（x）=log0.2（5+4xx2）的减区间为（1，2），函数f（x）=log0.2（5+4xx2）在区间（a1，a+1）上递减，则0a1而b=lg0.20，c=20.21，bac故选：D7若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（mod m），例如10=2（mod 4），下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的中国剩余定理执行该程序框图，则输出的i等于（）A4B8C16D32【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行
12、，可得n=11，i=1i=2，n=13不满足条件“n=2（mod 3）“，i=4，n=17，满足条件“n=2（mod 3）“，不满足条件“n=1（mod 5）“，i=8，n=25，不满足条件“n=2（mod 3）“，i=16，n=41，满足条件“n=2（mod 3）“，满足条件“n=1（mod 5）”，退出循环，输出i的值为16故选：C8如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A6B9C12D18【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是两个三棱柱形成的组合体，进而可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是两个三棱柱形成的组合体
13、，下部的三棱柱，底面面积为：43=6，高为1，体积为：6；上部的三棱柱，底面面积为：23=3，高为1，体积为：3；故组合体的体积V=6+3=9，故选：B9设x，y满足约束条件若a2，9，则z=ax+y仅在点（，）处取得最大值的概率为（）ABCD【考点】简单线性规划【分析】画出约束条件的可行域，求出顶点坐标，利用z=ax+y仅在点（，）处取得最大值，利用斜率关系求解a的范围，然后求解概率【解答】解：如图所示，约束条件所表示的区域为图中阴影部分：其中A（1，0），B（，），C（1，4），依题意z=ax+y仅在点B（，）处取得最大值，可得a2，即，a2又a2，9，则z=ax+y仅在点（，）处取得最大
14、值的概率为： =故选：B10已知抛物线C：y2=2px（0p4）的焦点为F，点P为C上一动点，A（4，0），B（p， p），且|PA|的最小值为，则|BF|等于（）A4BC5D【考点】抛物线的简单性质【分析】设P点坐标，利用两点之间的距离公式及二次函数的性质，即可求得p的值，则B在抛物线上，根据抛物线的焦点弦公式，即可求得|BF|【解答】解：设P（x，y）（x0，y2=2px），则|PA|=，当x=4p时，|PA|取得最小值等于=，化简得（p4）2=1，又0p4，则p=3，由（p）2=2pp，点B在抛物线C上，故|BF|=p+=，故选：D11已知0，a0，f（x）=asinx+acosx，g（
15、x）=2cos（ax+），h（x）=这3个函数在同一直角坐标系中的部分图象如图所示，则函数g（x）+h（x）的图象的一条对称轴方程可以为（）Ax=Bx=Cx=Dx=【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】由函数图象可知，三函数的最大值均为2，可得：a=1，由图象可知，f（x）的周期为，可得=2，即可求出f（x）和g（x）解析式，因为h（x）=可求h（x），那么函数g（x）+h（x）化解可得对称轴方程从而得答案【解答】解：f（x）=asinx+acosx=2asin（x+），g（x）=2cos（ax+），又由函数图象可知，三函数的最大值均为2，可得：a=1，f（x）=2sin
16、（x+），g（x）=2cos（x+），由图象可知，f（x）的周期为，=2h（x）=2sin（x+），那么函数g（x）+h（x）=2cos（x+）+2sin（x+）=sin（x+）=2sin（x）令x=，（kZ）可得对称轴方程为x=，当k=2时，可得x=故选C12已知函数f（x）=，若关于x的方程f（f（x）=a存在2个实数根，则a的取值范围为（）A24，0）B（，24）0，2）C（24，3）D（，240，2【考点】根的存在性及根的个数判断；分段函数的应用【分析】画出函数f（x）=的图象，数形结合分类讨论，可得不同情况下方程f（f（x）=a根的个数，综合可得答案【解答】解：f（x）=的图象如下图
17、所示：令t=f（x），则t（，3，当a3时，方程f（f（x）=f（t）=a无实根，方程f（f（x）=a存在0个实数根，当2a3时，f（t）=a有1实根，t0，1，f（x）=t此时有1实根，故方程f（f（x）=a存在1个实数根，当0a2时，f（t）=a有1实根，t2，0），f（x）=t此时有2实根，故方程f（f（x）=a存在2个实数根，当24a0时，f（t）=a有2实根，t126，2），f（x）=t此时有2实根，t2（1，3，f（x）=t此时有1实根，故方程f（f（x）=a存在3个实数根，当a24时，f（t）=a有2实根，t1（，26），f（x）=t此时有2实根，t2（3，+），f（x）=t此时
18、无实根，故方程f（f（x）=a存在2个实数根，综上所述：a（，24）0，2），故选：B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（1）5的展开式中x2的系数为10【考点】二项式系数的性质【分析】（1）5的展开式中x2的项为C52（）3，计算即可【解答】解：（1）5的展开式中x2的项为C52（）3=10x2，故答案为：1014随机掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数为m，已知向量=（m，1），=（2m，4），设X=，则X的数学期望E（X）=4【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据平面向量的数量积运算求出X，再根据m的取值求出X的可能取值，得出对应的概率，写出X的分布列与数学期望【解答
19、】解：向量=（m，1），=（2m，4），=+=（2，3），X=2m3，又m=1，2，3，4，5，6；X=1，1，3，5，7，9；且P（X=1）=P（X=1）=P（X=3）=P（X=5）=P（X=7）=P（X=9）=；X的分布列为： X11 3 579P数学期望E（X）=（1+1+3+5+7+9）=415在公差大于1的等差数列an中，已知a12=64，a2+a3+a10=36，则数列|an|的前20项和为812【考点】等差数列的前n项和【分析】由等差数列通项公式列出方程组，求出a1=8，d=5，由此能求出数列|an|的前20项和【解答】解：在公差大于1的等差数列an中， =64，a2+a3+a1
20、0=36，由d1，解得a1=8，d=5，an=8+（n1）5=5n13，由an=5n130，得n，a2=8+5=30，a3=8+10=20，数列|an|的前20项和：S20=20（8）+2（83）=812故答案为：81216已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的表面上，AB=AC=5，BC=8，AD底面ABC，G为ABC的重心，且直线DG与底面ABC所成角的正切值为，则球O的表面积为【考点】球的体积和表面积【分析】求出ABC外接圆的直径，利用勾股定理求出球O的半径，即可求出球O的表面积【解答】解：由题意，AG=2，AD=1，cosBAC=，sinBAC=，ABC外接圆的直径为2r=，设球O的半
21、径为R，R=球O的表面积为，故答案为三、解答题（本大题共6小题，共70分）17在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知2sin2A+sin2B=sin2C（1）若b=2a=4，求ABC的面积；（2）求的最小值，并确定此时的值【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（1）2sin2A+sin2B=sin2C，由正弦定理可得2a2+b2=c2，b=2a=4，c=2，求出sinC，即可求ABC的面积；（2）利用基本不等式求的最小值，并确定此时的值【解答】解：（1）2sin2A+sin2B=sin2C，由正弦定理可得2a2+b2=c2，b=2a=4，c=2，cosC=，sinC=，ABC的面积
22、S=；（2）2a2+b2=c22ab，2，即的最小值为2，此时b=a，c=2a， =218已知某企业的近3年的前7个月的月利润（单位：百万元）如下面的折线图所示：（1）试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润较高？（2）通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势；（3）试以第3年的前4个月的数据（如下表），用线性回归的拟合模式估测第3年8月份的利润月份x1234利润y（单位：百万元）4466相关公式： =， =x【考点】线性回归方程【分析】（1）结合图象读出结论即可；（2）根据图象累加判断结论即可；（3）分别求出对应的系数，的值，代入回归方程即可【解答】解：（1）由折线图可知5月和6月的平
23、均利润最高（2）第1年前7个月的总利润为1+2+3+5+6+7+4=28（百万元），第2年前7个月的总利润为2+5+5+4+5+5+5=31（百万元），第3年前7个月的总利润为4+4+6+6+7+6+8=41百万元），所以这3年的前7个月的总利润呈上升趋势（3），14+24+36+46=54，当x=8时，（百万元），估计8月份的利润为940万元19已知数列an的前n项和Sn=n2+pn，且a2，a5，a10成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=，求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）根据数列的递推公式可得an=2n1+p，再根据a2，a5，a10成等
24、比数列，求出p的值，问题得以解决，（2）把（1）求出的an代入bn，再求出bn的表达式，然后由裂项相消法来求数列bn的前n项和Tn【解答】解：（1）当n2时，an=SnSn1=2n1+p，当n=1时，a1=S1=1+p，也满足，故an=2n1+p，a2，a5，a10成等比数列，（3+p）（19+p）=（9+p）2，p=6，an=2n+5，（2）由（1）可得bn=（）+1，Tn=n+（+）=n+=20在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB平面ABCD，AB=AP=3，AD=PB=2，E为线段AB上一点，且AE：EB=7：2，点F，G，M分别为线段PA、PD、BC的中点（1）求证：P
25、E平面ABCD；（2）若平面EFG与直线CD交于点N，求二面角PMNA的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（1）推导出PEAB，由此能证明PE平面ABCD（2）以E为坐标原点，EP、EB、EN分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角PMNA的余弦值【解答】证明：（1）在等腰APB中，则由余弦定理可得，PE2+BE2=4=PB2，PEAB平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCD=AB，PE平面ABCD解：（2）由已知可得ENAD，以E为坐标原点，EP、EB、EN分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则，从而，设平面PMN
26、的法向量为，则，即，令y=3，可得平面PMN的一个法向量为由（1）知平面AMN的一个法向量为，由图可知二面角PMNA的平面角为锐角，故二面角PMNA的余弦值为21已知椭圆C： +=1（ab1）的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为，过椭圆C的右焦点作斜率为k（k0）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，线段AB的中点为P（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P垂直于AB的直线与x轴交于点D，且|DP|=，求k的值【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）根据题意，在三角形中由勾股定理列出等式，根据已知的焦距大小，即可求得椭圆方程；（2）先设直线方程y=k（x1），联立椭圆方程求得P点坐标，根据
27、已知条件求出直线PD的方程，从而求得D点坐标，又|DP|=，根据两点间的距离公式，即可求得k的值【解答】解：（1）过短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为，设右焦点的坐标为（c，0），依题意知，2c=2，即c=1，又b1，解得：a=2，b=，椭圆C的方程为；（2）设过椭圆C的右焦点的直线l的方程为y=k（x1），（k0），设A（x1，y1），B（x2，y2），整理得：（4k2+3）x28k2x+4k212=0，由韦达定理得x1+x2=，x1x2=，y1+y2=k（x1+x2）2k=，P为线段AB的中点，则可得点P（，），又直线PD的斜率为，直线PD的方程为y+=（x），令y=0得，x=，又点D（
28、，0），丨PD丨=，化简得17k4+k218=0，解得：k2=1，故k=1或k=1，k的值122已知函数f（x）=（ax2lnx）（xlnx）+1（aR）（1）若ax2lnx，求证：f（x）ax2lnx+1；（2）若x0（0，+），f（x0）=1+x0lnx0ln2x0，求a的最大值；（3）求证：当1x2时，f（x）ax（2ax）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）设g（x）=xlnx（x0），通过求导结合单调性可知当x0时g（x）g（1）=1，进而代入f（x）解析式即得结论；（2）通过对f（x0）=1+x0lnx0ln2x0因式分解可知a=，设h（x）
29、=（x0），则问题转化为求函数h（x）的最大值问题，利用导数工具计算可得结论；（3）通过配方、变形、放缩可知f（x）1，利用当1x2时x2（4，1）继续放缩可知f（x）ax（2ax），通过反证法可排除等号成立情况【解答】（1）证明：设g（x）=xlnx（x0），则g（x）=1=，当0x1时，g（x）0，函数g（x）递减；当x1时，g（x）0，函数g（x）递增所以当x0时，g（x）g（1）=1ax2lnx，ax2lnx0，f（x）ax2lnx+1；（2）f（x0）=1+x0lnx0ln2x0，a2lnx0=0或x0lnx0=0（由（1）知不成立），即a=，设h（x）=（x0），则h（x）=当0x时，h（x）0，函数h（x）递增；当x时，h（x）0，函数h（x）递减；当x0时，h（x）=h（）=，a的最大值为；（3）证明：f（x）=（ax2lnx）（xlnx）+1=ln2x（x+ax2）lnx+ax3+1=+ax3+1=+1=+11，当1x2时，x2（4，1），11（ax1）2=ax（2ax），故f（x）ax（2ax），等号若成立，则，即lnx=x，由（1）知lnx=x不成立，故等号不成立，从而当1x2时，f（x）ax（2ax）2017年4月13日
