1、11.1 随机事件的概率最新考纲 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别；2.了解两个互斥事件的概率加法公式 1概率和频率(2)对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小，并把这个称为随机事件A的概率，记作P(A)频率常数2事件的关系与运算 3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：(2)必然事件的概率P(E)(3)不可能事件的概率P(F)_ 0P(A)110(4)概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥，则P(AB)_(5)对立事件的概率 若
2、事件A与事件B互为对立事件，则P(A)_【知识拓展】互斥事件与对立事件的区别与联系 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件 P(A)P(B)1P(B)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)事件发生频率与概率是相同的()(2)随机事件和随机试验是一回事()(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值()(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生()(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件()(6
3、)“方程x22x80有两个实根”是不可能事件()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)1总数为 10 万张的彩票，中奖率是11 000，下列说法中正确的是()A买 1 张一定不中奖B买 1 000 张一定有一张中奖C买 2 000 张一定中奖D买 2 000 张不一定中奖【解析】由题意知，彩票中奖属于随机事件，故买1张也可能中奖，买2 000张也可能不中奖【答案】D 2(教材改编)将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是()A必然事件 B随机事件 C不可能事件D无法确定【解析】抛掷10次硬币正面向上的次数可能为010，都有可能发生，正面向上5次是随机事件【答案】B 3袋中装有
4、3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则 恰有1个白球和全是白球；至少有1个白球和全是黑球；至少有1个白球和至少有2个白球；至少有1个白球和至少有1个黑球 在上述事件中，是对立事件的为()AB CD【解析】至少有1个白球和全是黑球不同时发生，而且两者定有一个发生 故中两事件互为对立事件【答案】B 4给出下列三个命题，其中正确的命题有_个有一大批产品，已知次品率为 10%，从中任取 100 件，必有 10 件是次品；做 7 次抛硬币的试验，结果 3 次出现正面，因此正面出现的概率是37；随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率【答案】0【解析】错，不一定是 10 件次品；错，37是频率而非概率
5、；错，频率不等于概率，这是两个不同的概念 题型一 随机事件的关系【例1】某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件(1)A与C；(2)B与E；(3)B与C；(4)C与E.【解析】(1)由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件由于事件B不发生可导致事件E
6、一定发生，且事件E不发生会导致事件B一定发生，故B与E还是对立事件(3)事件B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”，事件C“至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件(4)由(3)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C的一种可能，即事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不是互斥事件【思维升华】对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试
7、验结果，从而判定所给事件的关系 跟踪训练1 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从110各10张)中，任取一张，判断下列给出的每对事件，互斥事件为_，对立事件为_“抽出红桃”与“抽出黑桃”；“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”【解析】是互斥事件 理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件 是互斥事件，且是对立事件 理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件 不是互斥事件 理由是：从4
8、0张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10.因此，二者不是互斥事件，当然也不可能是对立事件【答案】题型二 随机事件的频率与概率【例2】(2015北京)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买.商品 顾客人数 甲 乙 丙 丁 100 217 200 300 85 98 (1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？【思维
9、点拨】(1)从表中找出同时购买乙和丙的顾客人数，除以1 000即可；(2)从表中找出在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的顾客人数，除以1 000即可；(3)分别计算购买了甲商品的顾客中同时购买乙、丙、丁三种商品中其中一种的人数所占的比例，并比较大小【解析】(1)从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中有 200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为 2001 0000.2.(2)从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中，有 100 位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有 200 位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了 2 种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时
10、购买 3 种商品的概率可以估计为1002001 0000.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 2001 0000.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为1002003001 0000.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 1001 0000.1，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大【思维升华】频率是个不确定的数，在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性大小，但无法从根本上刻画事件发生的可能性大小但从大量重复试验中发现，随着试验次数的增多，事件发生的频率就会稳定于某一固定的值，该值就是概率 跟踪训练2(2015湖南)某商场举行有奖促销活动，顾客购
11、买一定金额的商品后即可抽奖抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率你认为正确吗？请说明理由【解析】(1)所有可能的摸出结果是 A1，a1，A1，a2，A1，b1，A1，b2，A2，a1，A2，a2，A2，b1，A2，b2，B，a1，B，a2，B，b1，B，b2(2)不正确理由如下：由(1)知，所有可能的摸出结果共 12 种，其中摸出的 2 个球都是红球的结果为A
12、1，a1，A1，a2，A2，a1，A2，a2，共4 种，所以中奖的概率为 41213，不中奖的概率为 1132313，故这种说法不正确题型三 互斥事件、对立事件的概率【例3】某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率【思维点拨】事件 A、B、C 两两互斥【解析】(1)P(A)11 000，P(B)101 000 1100，P(C)501 000
13、120.故事件 A，B，C 的概率分别为11 000，1100，120.(2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖设“1 张奖券中奖”这个事件为 M，则 MABC.A、B、C 两两互斥，P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C)110501 000 611 000.故 1 张奖券的中奖概率为 611 000.(3)设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N，则事件 N 为“1 张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，P(N)1P(AB)111 000 1100 9891 000.故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 9891 000.【思维升华】求复杂的互斥事件的概率一般有
14、两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)1P(A)求解当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法 跟踪训练3 国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中710环的概率如下表所示：求该射击队员射击一次：(1)射中9环或10环的概率；(2)命中不足8环的概率 命中环数 10环 9环 8环 7环 概率 0.32 0.28 0.18 0.12【解析】记事件“射击一次，命中k环”为Ak(kN，k10)，则事件Ak彼此互斥(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事
15、件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得 P(A)P(A9)P(A10)0.280.320.60.(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，则B表示事件“射击一次，命中不足8环”又BA8A9A10，由互斥事件概率的加法公式得 P(B)P(A8)P(A9)P(A10)0.180.280.320.78.故P(B)1P(B)10.780.22.因此，射击一次，命中不足8环的概率为0.22.思想与方法系列17 用正难则反思想求互斥事件的概率【典例】(12分)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所
16、示：一次购物量 1至 4件 5至 8件 9至 12件 13至 16件 17件 及以上 顾客数(人)x 30 25 y 10 结算时间(分钟/人)1 1.5 2 2.5 3 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)【思维点拨】若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解【规范解答】(1)由已知得 25y1055，x3045，所以 x15，y20.(2 分)该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的
17、100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为 1151.5302252.5203101001.9(分钟)(6 分)(2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”，A1，A2 分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为 2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为 3 分钟”，将频率视为概率得 P(A1)2010015，P(A2)10100 110.(9 分)P(A)1P(A1)P(A2)115 110 710.(11 分)故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为710.(1
18、2 分)【温馨提醒】(1)要准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征含义(2)正确判定事件间的关系，善于将A转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式【易错提示】(1)对统计表的信息不理解，错求x，y难以用样本平均数估计总体(2)不能正确地把事件A转化为几个互斥事件的和或对立事件，导致计算错误 方法与技巧 1对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)2从集合角度理解互斥事件和对立事件 从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集 失误与防范 1正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件 2需准确理解题意，特别留心“至多”“至少”“不少于”等语句的含义