1、22从函数观点看一元二次方程最新课程标准1.理解函数零点的概念2能根据“两个二次”之间的关系研究函数的零点学科核心素养通过二次函数图象会求二次函数的零点及一元二次方程根的相关问题(数学抽象、数学运算)教材要点要点一二次函数的零点一般地，一元二次方程ax2bxc0(a0)的根就是二次函数yax2bxc (a0)当函数值取零时_的值，即二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点的_，也称为二次函数yax2bxc (a0)的零点状元随笔函数的零点不是点，而是一个实数，是函数的图象与x轴的交点的横坐标；也是函数值为零时实数x的值，也是函数相应的方程相异的实数根要点二当a0时，一元二次方程ax2b
2、xc0的根、二次函数yax2bxc的图象、二次函数yax2bxc的零点之间的关系如下表所示：判别式b24ac000)的根有两个相异的实数根x1，x2(x1x2)有两个相等的实数根x1x2b2a没有实数根二次函数yax2bxc(a0)的图象二次函数yax2bxc(a0)的零点有两个零点_有一个零点_无零点基础自测1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)a0时二次函数yax2bxc有两个零点()(2)如果二次函数yax2bxc与x轴没有交点，则此二次函数没有零点()2函数yx24x4在区间4，1上()A没有零点B有无数个零点C有两个零点D有一个零点3函数yx26x8的零点是()A2，4B2，
3、4C1，2D不存在4函数yx22axa21(aR)的零点的个数为_题型1求函数的零点例1求下列函数的零点(1)y2x23x2；(2)yax2x1.方法归纳(1)求函数的零点就是解相应的方程，相应方程互异的实根就是函数的零点(2)函数的图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点(3)求含有参数的函数yax2bxc的零点分类讨论的步骤：若二次项系数中含有参数，则讨论二次项系数是否为零；若二次项系数不是零，讨论对应方程的根的判别式的符号，判定方程是否有实数根若可以因式分解，则一定存在零点若二次项系数不是零，且相应方程有实数根，讨论相应方程的实数根是否相等跟踪训练1求下列函数的零点(1)yx23x2；(2)
4、y2x24.题型2求二次函数的表达式例2已知关于x的函数yax2bxc(a0)满足条件：对称轴为x1；y的最大值为15；ax2bxc0的两根立方和为17.求函数表达式方法归纳二次函数解析式的求法，注意两根式的设法，常见还有一般式，顶点式，要熟练掌握二次函数的相关性质跟踪训练2已知二次函数yax2bxc，当x12时，y的最小值为494，且方程ax2bxc0的两根之差为7，求此二次函数的解析式题型3二次函数零点与方程的根的转化例3已知二次函数yx22(m1)x(m27)的图象与x轴有两个不同的交点(1)求m的取值范围；(2)若二次函数的图象与x轴的两个交点为A，B，且点B的坐标为(3，0)，求出点
5、A的坐标、二次函数图象的对称轴和顶点坐标方法归纳(1)二次函数图象与x轴交点的横坐标、二次不等式解集的端点值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式(2)二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体有关二次函数的问题，利用数形结合的方法，密切联系其图象是探求解题思路的有效方法跟踪训练3已知二次函数yx24x2k.(1)若二次函数yx24x2k有零点，求实数k的取值范围；(2)如果k是满足(1)的最大整数，且二次函数yx24x2k的零点是二次函数yx22mx3m1的一个零点，求m的值及二次函数yx22mx3m1
6、的另一个零点课堂十分钟1函数y3x2x2的零点为()A1，23B1, 23C2，13D2, 132已知二次函数yx2bxc的图象经过(1，0)，(2，5)两点，则二次函数的解析式为()Ayx22x3Byx22x3Cyx22x3Dyx22x63关于x的一元二次方程x23x20的两根为x1，x2则x1x2x1x2的值为()A5B1C1D54若二次函数yax22x3(a0)没有零点，则实数a的取值范围为_5.已知二次函数的图象经过点A(1，6)，B(1，2)，C(2，3)，求该二次函数的解析式22从函数观点看一元二次方程要点一实数x横坐标要点二x1，2bb24ac2axb2a基础自测1答案：(1)(
7、2)2解析：当x24x40时，即(x2)20，x2.24，1，2是函数yx24x4在区间4，1上的一个零点答案：D3解析：令yx26x80(x2)(x4)0，解得x2或4，所以函数yx26x8的零点是2，4.答案：B4解析：由x22axa210得4a24(a21)8a240，所以函数零点的个数为2.答案：2题型探究课堂解透例1解析：(1)由2x23x20解得x12，x212，所以函数y3x22x1的零点为2和12.(2)()当a0时，yx1，由x10得x1，所以函数的零点为1.()当a0时，由ax2x10得14a，当0，即a0，即a14时，由ax2x10得x1，211+4a2a，函数有两个零点
8、1+1+4a2a和11+4a2a.综上：当a0时，函数的零点为1；当a14时，函数的零点为2；当a14时，函数有两个零点1+1+4a2a和11+4a2a；当a14时，相应方程无实数根，函数无零点跟踪训练1解析：(1)由x23x2(x1)(x2)0，解得二次方程x23x20的两个实数根分别为x11，x22，所以二次函数yx23x2的零点分别为1，2.(2)解得二次方程2x240的两个实数根分别为x12，x22，所以二次函数y2x24的零点分别为2，2.例2解析：根据条件设二次函数的表达式为ya(x1)215ax22axa15(a0)，即yax2ax14a494，设其两个零点为x1，x2，则x1x
9、21，x1x214494a，依题意|x1x2|7，两边平方并化简得(x1x2)24x1x249，所以12414494a49a49，解得a1.所以二次函数解析式为yx122494.例3解析：(1)二次函数yx22(m1)x(m27)的图象与x轴有两个不同的交点，方程x22(m1)x(m27)0有两个不相等的实数根4(m1)24(m27)8m320，m4.(2)二次函数yx22(m1)x(m27)经过点B(3，0)，96(m1)m270，m26m80，解得m2或m4.由(1)知m4，m2.二次函数的解析式为yx22x3.令y0，得x22x30，解得x11，x23，点A的坐标为(1，0)又yx22x
10、3(x1)24，顶点坐标为(1，4)，对称轴为直线x1.跟踪训练3解析：(1)由题意得0，所以168k0，解得k2.(2)由(1)可知k2，所以方程x24x2k0的根x1x22，二次函数yx24x2k的零点是2，二次函数yx22mx3m1的一个零点是2，方程x22mx3m10的一个根为2，44m3m10，解得m3，x26x80，解得x2或x4，所以二次函数yx22mx3m1的另一个零点为4.课堂十分钟1解析：解方程3x2x20，得x11，x223，所以1，23是函数y3x2x2的零点答案：B2解析：(1)把点(1，0)，(2，5)代入yx2bxc，得1+b+c=04+2b+c=5，解得b=2c=3，所以这个二次函数的解析式为：yx22x3.答案：A3解析：因为关于x的一元二次方程x23x20的两根为x1，x2，则x1x23，x1x22，则x1x2x1x23(2)5.答案：D4解析：由题意，方程ax22x30(a0)没有实数根，所以412a13.答案：13，+5解析：设二次函数解析式为yax2bxc，a0，二次函数的图象经过点A(1，6)，B(1，2)，C(2，3)，abc6，abc2，4a2bc3, 解得：a1，b2，c5，该二次函数的解析式是：yx22x5.
