1、2015-2016学年河北省邢台一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求1下列推理过程属于演绎推理的为（）A老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验B由1=12，1+3=22，1+3+5=32，得出1+3+5+（2n1）=n2C由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线（四面体每一个顶点与对面重心的连线）交于一点D通项公式形如an=cqn（cq0）的数列an为等比数列，则数列2n为等比数列2若复数z满足z（1i）=|1i|+i，则z的共轭复数为
2、（）ABCD3已知是纯虚数（其中i是虚数单位），若0，2），则=（）ABCD4设f（x）=，则f（x）dx的值为（）A +B +3C +D +35设函数f（x）=x3+x2+tan，其中0，则导数f（1）的取值范围是（）A2，2B，C，2D，26观察数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，的特点，问第100项为（）A10B14C13D1007已知a是常数，函数的导函数y=f（x）的图象如图所示，则函数g（x）=|ax2|的图象可能是（）ABCD8二次函数f（x）的图象经过点（0，），且f（x）=x1，则不等式f（10x）0的解集为（）A（3，1）B（lg3，0）C（，1）D（，0）9设曲线
3、y=xn+1（nN+）在点（1，1）处的切线与x轴的交点横坐标为xn，则log2015x1+log2015x2+log2015x3+log2015x2014的值为（）Alog20152014B1C1+log20152014D110已知|x|1，|y|1，下列各式成立的是（）A|x+y|+|xy|2Bx2+y21Cx+y1Dxy+1x+y11若实数a，b，c，d满足（b+a23lna）2+（cd+2）2=0，则（ac）2+（bd）2的最小值为（）AB8CD212设函数f（x）在R上存在导数f（x），在（0，+）上f（x）sin2x，且xR，有f（x）+f（x）=2sin2x，则以下大小关系一定不
4、正确的是（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上13已知函数f（x）=e2xax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线垂直于直线x+2y1=0，则a的值为_14观察下列等式：=1，+=1，+=1，由以上等式推测到一个一般结论为：_15在ABC中，D为BC的中点，则，将命题类比到三棱锥中去得到一个类比的命题为_16若以曲线y=f（x）任意一点M（x，y）为切点作切线l，曲线上总存在异于M的点N（x1 y1），以点N为切点作切线l1，且ll1，则称曲线y=f（x）具有“可平行性”下列曲线具有可平行性的编号为_（写出所有满足条件的
5、函数的编号）y=x3x y=x+y=sinxy=（x2）2+lnx三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17m为何实数时，复数z=（2+i）m23（i+1）m2（1i）满足下列要求：（1）z是纯虚数；（2）z在复平面内对应的点在第二象限；（3）z在复平面内对应的点在直线xy5=0上18已知函数f（x）=ax+（a1）（1）证明：函数f（x）在（1，+）上为增函数；（2）用反证法证明f（x）=0没有负数根19若函数f（x）=ax3bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若方程f（x）=k有3个不同的根，求实数k的取值范
6、围20某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x（0x1），那么月平均销售量减少的百分率为x2记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y（元）（）写出y与x的函数关系式；（）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大21已知数列an的前n项和且an0，nN+（1）求a1，a2，a3的值，并猜想an的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想的正确性22已知函数f（x）=x22x+alnx（aR）（）当a=2时，求
7、函数f（x）在（1，f（1）处的切线方程；（）当a0时，求函数f（x）的单调区间；（）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1x2），不等式f（x1）mx2恒成立，求实数m的取值范围2015-2016学年河北省邢台一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求1下列推理过程属于演绎推理的为（）A老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验B由1=12，1+3=22，1+3+5=32，得出1+3+5+（2n1）=n2C由三角形的三条中线交于
8、一点联想到四面体四条中线（四面体每一个顶点与对面重心的连线）交于一点D通项公式形如an=cqn（cq0）的数列an为等比数列，则数列2n为等比数列【考点】进行简单的演绎推理【分析】根据类比推理的定义及特征，可以判断出A，C为类比推理，根据归纳推理的定义及特征，可以判断出B为归纳推理，根据演绎推理的定义及特征，可以判断出D为演绎推理【解答】解：老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，故A中推理为类比推理；由1=12，1+3=22，1+3+5=32，得出1+3+5+（2n1）=n2，是由特殊到一般故B中推理为归纳推理；由三角形性质得到四面体的性质有相似之处，故C中推理为类比推理；由通项公式形如an=
9、cqn（cq0）的数列an为等比数列（大前提），数列2n满足这种形式（小前提），则数列2n为等比数列（结论）可得D中推理为演绎推理2若复数z满足z（1i）=|1i|+i，则z的共轭复数为（）ABCD【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】由z（1i）=|1i|+i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则z的共轭复数可求【解答】解：由z（1i）=|1i|+i，得=，则z的共轭复数为：故选：A3已知是纯虚数（其中i是虚数单位），若0，2），则=（）ABCD【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】由题意可知，实部为0，虚部不为0，根据0，2），求得的值【解答】解：因为是纯虚数（其中i是虚
10、数单位），所以，sin21=0且，0，2），故选A4设f（x）=，则f（x）dx的值为（）A +B +3C +D +3【考点】定积分【分析】根据定积分性质可得f（x）dx=+，然后根据定积分可得【解答】解：根据定积分性质可得f（x）dx=+，根据定积分的几何意义，是以原点为圆心，以1为半径圆面积的，=，f（x）dx=+（），=+，故答案选：A5设函数f（x）=x3+x2+tan，其中0，则导数f（1）的取值范围是（）A2，2B，C，2D，2【考点】导数的运算【分析】利用基本求导公式先求出f（x），然后令x=1，求出f（1）的表达式，从而转化为三角函数求值域问题，求解即可【解答】解：f（x）=s
11、inx2+cosx，f（1）=sin+cos=2sin（+）0，+，sin（+），12sin（+），2故选D6观察数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，的特点，问第100项为（）A10B14C13D100【考点】数列的概念及简单表示法【分析】根据数列项的值，寻找规律即可得到结论【解答】解：设nN*，则数字n共有n个所以由100，即n（n+1）200，又因为nN*，所以n=13，到第13个13时共有=91项，从第92项开始为14，故第100项为14故选：B7已知a是常数，函数的导函数y=f（x）的图象如图所示，则函数g（x）=|ax2|的图象可能是（）ABCD【考点】指数函数的图象变换【分
12、析】求出原函数的导函数，由导函数的图象得到a1，然后利用指数函数的图象平移得答案【解答】解：，f（x）=x2+（1a）xa，由函数y=f（x）的图象可知，a1，则函数g（x）=|ax2|的图象是把函数y=ax向下平移2个单位，然后取绝对值得到，如图故可能是D故选：D8二次函数f（x）的图象经过点（0，），且f（x）=x1，则不等式f（10x）0的解集为（）A（3，1）B（lg3，0）C（，1）D（，0）【考点】导数的运算；二次函数的性质【分析】先求出函数f（x）的表达式，解不等式求出x的范围即可【解答】解：f（x）=x1，f（x）=x2x+c，将（0，）代入得：c=，f（x）=x2x+，令f（
13、x）0，解得：3x1，310x1，解得：x0，故选：D9设曲线y=xn+1（nN+）在点（1，1）处的切线与x轴的交点横坐标为xn，则log2015x1+log2015x2+log2015x3+log2015x2014的值为（）Alog20152014B1C1+log20152014D1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】要求log2015x1+log2015x2+log2015x2014，需求x1x2x2014的值，只须求出切线与x轴的交点的横坐标即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决【解答】解：对y=xn+1（nN*）求导，
14、得y=（n+1）xn，令x=1得在点（1，1）处的切线的斜率k=n+1，在点（1，1）处的切线方程为y1=k（xn1）=（n+1）（xn1），不妨设y=0，可得xn=，则x1x2x3xn=，从而log2015x1+log2015x2+log2015x2014=log2015（x1x2x2014）=log2015=1故选：D10已知|x|1，|y|1，下列各式成立的是（）A|x+y|+|xy|2Bx2+y21Cx+y1Dxy+1x+y【考点】不等关系与不等式【分析】根据题意，依次分析选项；对于A，令x=y=0，可得A错误；对于B，令x=y=，可得B错误；对于C，令x=y=，可得C错误；对于D，用
15、做差法，可得D正确；即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项；对于A，令x=y=0，可得|x+y|+|xy|=02，A错误；对于B，令x=y=，可得x2+y2=1，B错误；对于C，令x=y=，可得x+y=1，C错误；对于D，xy+1（x+y）=xyx+1y=x（y1）（y1）=（x1）（y1），又由|x|1，|y|1，可得x1，y1，即（x1）与（y1）都小于0，则（x1）（y1）0，故xy+1（x+y）0，即D正确；故选D11若实数a，b，c，d满足（b+a23lna）2+（cd+2）2=0，则（ac）2+（bd）2的最小值为（）AB8CD2【考点】函数的最值及其几何意义【分析】化简得b
16、=（a23lna），d=c+2；从而得（ac）2+（bd）2=（ac）2+（3lnaa2（c+2）2表示了点（a，3lnaa2）与点（c，c+2）的距离的平方；作函数图象，利用数形结合求解【解答】解：（b+a23lna）2+（cd+2）2=0，b=（a23lna），d=c+2；（ac）2+（bd）2=（ac）2+（3lnaa2（c+2）2，其表示了点（a，3lnaa2）与点（c，c+2）的距离的平方；作函数y=3lnxx2与函数y=x+2的图象如下，（3lnxx2）=2x=；故令=1得，x=1；故切点为（1，1）；结合图象可知，切点到直线y=x+2的距离为=2；故（ac）2+（bd）2的最小值
17、为8；故选：B12设函数f（x）在R上存在导数f（x），在（0，+）上f（x）sin2x，且xR，有f（x）+f（x）=2sin2x，则以下大小关系一定不正确的是（）ABCD【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算【分析】构造函数g（x）=f（x）sin2x，由g（x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数利用导数可得函数g（x）在R上是减函数，结合函数的单调性解不等式即可【解答】解：令g（x）=f（x）sin2x，f（x）+f（x）=2sin2x，g（x）+g（x）=f（x）+f（x）2sin2x=2sin2x2sin2x=0，即g（x）=g（x），函数g（x）为奇函数在（0，+）上f
18、（x）sin2x，在（0，+）上g（x）=f（x）sin2x（x）0，故函数g（x）在（0，+）上是减函数，故函数g（x）在（，0）上也是减函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数，即g（）g（）；即f（）f（）0；即有f（）f（），所以B不成立，故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上13已知函数f（x）=e2xax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线垂直于直线x+2y1=0，则a的值为4【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】令x=0，先求出A的坐标，然后求出函数的导数，根据直线垂直的关系建立方程关系进行求解
19、即可【解答】解：当x=0时，y=1，即A（0，1），x+2y1=0的斜率k=，若y=f（x）在点A处的切线垂直于直线x+2y1=0，则切线斜率k=2，即f（0）=2，f（x）=2e2xa，f（0）=2a=2，则a=4故答案为：4；14观察下列等式：=1，+=1，+=1，由以上等式推测到一个一般结论为：+=1（nN*）【考点】归纳推理【分析】由已知中的三个式子，我们分析等式左边每一个累加项的变化趋势，可以归纳出其通项为，分析等式右边的式子，发现每一个式了均为两项差的形式，且被减数均为1，减数为，由此即可得到结论【解答】解：由已知中的等式，=1，+=1，+=1，我们可以推断：对于nN*，+=1故答
20、案为：+=1（nN*）15在ABC中，D为BC的中点，则，将命题类比到三棱锥中去得到一个类比的命题为在四面体ABCD中，G为BCD的重心，则有【考点】类比推理【分析】由条件根据类比推理，由“ABC”类比“四面体ABCD”，“中点”类比“重心”，从而得到一个类比的命题【解答】解：由“ABC”类比“四面体ABCD”，“中点”类比“重心”有，由类比可得在四面体ABCD中，G为BCD的重心，则有，故答案为：在四面体ABCD中，G为BCD的重心，则有16若以曲线y=f（x）任意一点M（x，y）为切点作切线l，曲线上总存在异于M的点N（x1 y1），以点N为切点作切线l1，且ll1，则称曲线y=f（x）具
21、有“可平行性”下列曲线具有可平行性的编号为（写出所有满足条件的函数的编号）y=x3x y=x+y=sinxy=（x2）2+lnx【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】根据导数的几何意义，将定义转化为：“方程y=a（a是导数值）至少有两个根”，利用：y=1时，x的取值唯一判断不符合；对于和分别求出导数列出方程化简后判断；对于求出导数化简后，再由=0时解唯一判断不符合【解答】解：由题意得，曲线具有可平行性的条件是：方程y=a（a是导数值）至少有两个根，由y=3x21知，当y=1时，x的取值唯一，只有0，不符合题意；由y=1=a（x0且a1），即=1a，此方程有两不同的个根，符合题意；由y=
22、cosx和三角函数的周期性知，cosx=a（1a1）的解有无穷多个，符合题意；由y=2x4+（x0），令2x4+=a，则有2x2（4+a）x+1=0，当=0时解唯一，不符合题意，故答案为：三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17m为何实数时，复数z=（2+i）m23（i+1）m2（1i）满足下列要求：（1）z是纯虚数；（2）z在复平面内对应的点在第二象限；（3）z在复平面内对应的点在直线xy5=0上【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】（1）利用复数的实部为0，虚部不为0，求解即可（2）利用复数的对应点在第二象限列出不等式组求解即可（3）复数的对应点的坐标代入直线方程求
23、解即可【解答】解：z=（2+i）m23（i+1）m2（1i）=2m2+m2i3mi3m2+2i=（2m23m2）+（m23m+2）i（1）由，得m=，即m=时，z是纯虚数（2）由，得，即时，z在复平面内对应的点在第二象限（3）由（2m23m2）（m23m+2）5=0，得m=3，即m=3时，z在复平面内对应的点在直线xy5=0上18已知函数f（x）=ax+（a1）（1）证明：函数f（x）在（1，+）上为增函数；（2）用反证法证明f（x）=0没有负数根【考点】反证法与放缩法；函数单调性的判断与证明【分析】（1）由于函数f（x）=ax+1，而函数 y=ax（a1）和函数y=在（1，+）上都为增函数，
24、可得函数f（x）在（1，+）上为增函数（2）假设f（x）=0有负数根为x=x00，则有+1= 分当x0（1，0）时、当x0（，1）两种情况，分别根据和+1 的范围，可得根本不可能成立，综上可得假设不成立，命题得证【解答】解：（1）由于函数f（x）=ax+（a1）=ax+1，而函数 y=ax（a1）和函数y=在（1，+）上都为增函数，故函数f（x）在（1，+）上为增函数（2）假设f（x）=0有负数根为x=x0，且x00，则有f（x0）=0，故有+1= 由于函数y=ax+1在R上是增函数，且a0+1=2， +12由于函数y= 在（1，+）上是减函数，当x0（1，0）时， =3，3，根本不可能成立，
25、故矛盾由于由于函数y= 在（，1）上是减函数，当x0（，1）时，0，而， +11，根本不可能成立，故矛盾综上可得，根本不可能成立，故假设不成立，故f（x）=0没有负数根19若函数f（x）=ax3bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若方程f（x）=k有3个不同的根，求实数k的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）根据f（2）=，f（2）=0列方程解出a，b得出f（x）的解析式，利用导数的几何意义求出切线方程；（2）求出f（x）的极大值和极小值，则k介于f（x）的极大值与极小值之间【解
26、答】解：（1）f（x）=3ax2b，由题意得，解得f（x）=x24，y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为：，即9x+3y10=0（2）由（1）可得f（x）=x24，令f（x）=0，得x=2或x=2当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：x（，2）2（2，2）2（2，+）f（x）+00+f（x）当x=2时，f（x）有极大值，当x=2，时，f（x）有极小值，所以函数的图象大致如图所示若f（x）=k有3个不同的根，所以k20某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如
27、果产品的销售价提高的百分率为x（0x1），那么月平均销售量减少的百分率为x2记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y（元）（）写出y与x的函数关系式；（）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大【考点】函数的表示方法；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（I）由题易知每件产品的销售价为20（1+x），则月平均销售量为a（1x2）件，利润则是二者的积去掉成本即可（II）由（1）可知，利润函数是一元三次函数关系，可以对其求导解出其最值【解答】解：（I）改进工艺后，每件产品的销售价为20（1+x），月平均销售量为a（1x2）件，则月平均利润y=a（1x2）20
28、（1+x）15，y与x的函数关系式为y=5a（1+4xx24x3）故函数关系式为：y=5a（1+4xx24x3）（0x1）（II）由y=5a（42x12x2）=0得或（舍）当时 y0；时 y0，函数y=5a（1+4xx24x3）（0x1）在取得最大值故改进工艺后，产品的销售价为=30元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大21已知数列an的前n项和且an0，nN+（1）求a1，a2，a3的值，并猜想an的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想的正确性【考点】数列递推式；数学归纳法【分析】（1）由，a10，知同理，猜想（2）n=1时，假设n=k时，猜想正确，即，由数学归纳法证明n=k+1时，
29、也成立故对nN+，都有【解答】解：（1）n=1时，a12+2a12=0，又a10，同理，得，猜想（2）证明：n=1时，假设n=k时，猜想正确，即，又ak+1=Sk+1Sk=，即n=k+1时，也成立对nN+，都有22已知函数f（x）=x22x+alnx（aR）（）当a=2时，求函数f（x）在（1，f（1）处的切线方程；（）当a0时，求函数f（x）的单调区间；（）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1x2），不等式f（x1）mx2恒成立，求实数m的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）求当a=2时，函数的导数，求得切线
30、的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（）求出f（x）的导数，令f（x）=0，得2x22x+a=0，对判别式讨论，即当时，当时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；（）函数f（x）在（0，+）上有两个极值点，由（）可得，不等式f（x1）mx2恒成立即为m，求得=1x1+2x1lnx1，令h（x）=1x+2xlnx（0x），求出导数，判断单调性，即可得到h（x）的范围，即可求得m的范围【解答】解：（）当a=2时，f（x）=x22x+2lnx，则f（1）=1，f（1）=2，所以切线方程为y+1=2（x1），即为y=2x3（）（x0），令f（x）=0，得2x22x+a=0，（1）当
31、=48a0，即时，f（x）0，函数f（x）在（0，+）上单调递增；（2）当=48a0且a0，即时，由2x22x+a=0，得，由f（x）0，得或；由f（x）0，得综上，当时，f（x）的单调递增区间是（0，+）；当时，f（x）的单调递增区间是，；单调递减区间是（）函数f（x）在（0，+）上有两个极值点，由（）可得，由f（x）=0，得2x22x+a=0，则x1+x2=1，由，可得，=1x1+2x1lnx1，令h（x）=1x+2xlnx（0x），h（x）=1+2lnx，由0x，则1x1，（x1）21，41，又2lnx0，则h（x）0，即h（x）在（0，）递减，即有h（x）h（）=ln2，即ln2，即有实数m的取值范围为（，ln22016年10月5日