1、3.1.1方程的根与函数的零点教学设计教学内容解析方程的根与函数的零点是人教A版必修一第三章函数的应用第一节的内容.必修一共分为三章，第一章介绍了函数的概念及性质，第二章引入了指、对、幂三种基本初等函数.本章是函数应用问题，主要分为两个层面：（1）数学学科内部应用，如方程的根与函数的零点的关系，可以通过函数方程思想，及数形结合思想，获得函数的零点的具体取值或零点所在的区间.零点存在性定理的引入，为一些超越方程的近似解提供了求解方案.（2）生活中的应用.通过建立函数模型来解决相应问题，使之前一、二章所学内容与生活紧密联系起来，感受数学在生活中的重要性.本节课根据学生已经掌握的函数的内容，从初中二
2、次方程与二次函数关系的具体学习，过渡到了高中一般方程与其相应函数关系的抽象研究，得出了函数零点的概念.进一步，通过对函数零点所在区间的判断，引入了零点存在性定理，是一节概念课.本节课不仅揭示了方程与函数之间的本质联系，并且以“函数与方程”为理论基础，为“二分法求方程的近似解”做了铺垫，起到了承前启后的作用.二、教学目标设置1知识与技能：（1）理解函数零点的定义；（2）掌握零点存在区间的判断方法.2. 过程与方法：（1）由特殊的一元二次方程的根与相应二次函数的关系，推广到一般方程与函数的关系；（2）由特殊函数的零点所在区间的判断推广到一般情况；（3）由学生自主探究得到零点存在区间的判断方法.3.
3、 情感、态度、价值观：（1）在学习的过程中，体会函数方程思想及数形结合思想的应用；（2）感受学习、探索、发现的乐趣.教学重点：函数零点与方程根之间的联系，初步形成利用函数方程思想处理问题的意识.教学难点：理解函数零点存在的判定条件.三、学生学情分析：通过前面的学习，学生已经了解了函数的概念、性质，以及一些基本初等函数的模型，可以熟练做出函数图象，具备一定的看图识图能力，这为本节课提供了一定的知识基础.但是针对高一学生，他们的思维习惯、动手作图能力以及观察、归纳、转化等能力都还不强，在本节课的学习上还是会遇到一些困难.尤其是在本节的难点：零点存在性定理的学习上，由于零点存在性定理是高等数学下放的
4、一个内容，它的证明需要用到数学分析中的连续函数的有关概念、区间套定理和局部保号定理，高中学生没有这个知识基础，因此高中学生学习这个知识只能通过一些特殊函数去探究.在探究过程中要突破三个关节点：一是在解决给定具体方程根的存在性问题时，很难想到将这个问题转化为借助对应函数的图象和性质来判断.二是如何想得到：当函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线时，连接两个端点的曲线经过轴（次数不限），即曲线与轴一定有公共点（个数不限），可以用来表示.三是对定理条件中图象连续不断以及对定理条件“充分而不必要性”的认识都有一定的难度.为此，在教学中要从具体函数和几何直观入手，给学生搭建脚手架，让学生从特殊到一般，从
5、具体到抽象，同时利用反例促成对定理本质的理解，突破学习难点.所以在本节课的教学设计中，注重了从具体的、简单的知识出发，经过逐层推广，自主探究，获得了一般性的结论的过程.四、教学策略分析1.教学方法的选定在教学中，这节课采用以导学案教学，体现以学生为主体的教学方法.在教学手段上，充分利用了多媒体及实物投影，发挥了教师的主导作用，充分调动学生学习的主动性，让学生真正成为教学活动的主体.在零点概念的教学上，我充分利用了 “由特殊到一般”的教学方法，以具体的二次方程与相应二次函数的关系为载体，引出了函数与方程的关系，并将其进行了推广.而在零点存在性定理的教学中，我主要采用了“启发探究讨论”的模式，找到
6、问题讨论的切入点后，将学生分成小组充分进行讨论，在思维上通过学生之间的质疑，产生火花，进而生成了定理的内容.这样的讲解，自然且易于理解.2.突破重、难点的策略对于函数零点概念的引入，学生从解决熟悉的问题的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系，为新知识提供“停靠点”.把函数零点的概念作为解决课堂探究问题的过程性知识，可以让学生的探究更自主，思维活动更充分.探究函数零点存在性定理是本课的难点.为突破这一难点，本节先利用例1（4）的变式引出定理的必要性，即不是所有的函数都可以直接求出零点，所以我们有必要掌握零点存在区间的判断方法.而通过例1（4）的解决方法，由特殊到一般，过渡到对于一般的函数
7、，若在开区间内一定存在零点，应满足什么条件？学生很容易找到切入点，即讨论端点函数值的符号.之后通过分组讨论获得定理，这个过程体现了定理的合理性.这样的引入，会让学生感觉更加的自然，由此产生的讨论，使定理的生成过程更加的水到渠成.五、教学过程教学活动教师活动学生活动设计意图一创设情境，提出问题以短版形式讲述解方程的历史，而后出示引例：这样的超越方程的根应如何求解？给出具体的三个一元二次方程及相应的二次函数填表.提出问题：方程的根与函数的图象有什么联系？通过追问，引导学生准确回答二者的关系.继续追问：上述结论是否可以推广到一般的一元二次方程与二次函数关系上？再次追问：上述结论是否可以推广到一般方程
8、与函数的关系上？学生积极思考，认真填表，利用实物投影分享结果.回答出方程的根与函数图象和x轴交点的横坐标相等.学生思考，类比，归纳.通过对数学史的了解增加民族自豪感，激发学生的求知欲.体会方程的根与函数图象的联系，为零点概念的引出做好铺垫.由特殊到一般，感受零点产生的过程，使零点不再抽象，而是更加具体形象，便于零点概念的理解.二、概念引入1.总结零点概念，提问：零点是点么？ 2.概括零点的意义3.零点求法：（1）代数法（2）几何法 理解、归纳三、概念应用给出4 个例题，其中前3个为代数解法，最后一个为几何解法. 独立完成，并于台前展式.其中（4）题共有两种求解思路.通过例题的设置，加深零点求法
9、，求解过程体现了函数方程思想及数形结合思想.四、自主探究提出问题：函数的零点已直接求出，但是不是所有的函数零点都可以在不借助信息技术的条件下，准确求出？追问：的零点取值情况怎样？学生思考、质疑.师生共同探究，发现不可直接获得其零点. 引导：像这样的函数，我们不能直接获得其零点，所以我们更加观注其零点所在区间.例如在1，1上是否存在零点，只从解析式出发，如何判断？ 推广：对于函数，若在开区间内一定存在零点，应满足什么条件？巡视指导，适时点拨组织展示，评价追问 学生思考，分析可利用的条件，计算出端点函数值，判断其符号，结合图象连续，得到图象必穿过x轴的结论.学生分小组讨论：探究1：（1）（2）（3
10、）探究2：在（2）的条件下，存在零点的个数唯一么？怎样可使零点唯一？零点个数最少有几个，最多有几个？探究3：(2)的结论可逆么？各小组积极参与，并派代表到前面总结，在讨论过程中，不断的质疑，产生思维的火花，使学生成为课堂的主体.通过具体问题的探究，为零点存在性定理讨论的引出进行了铺垫. 由特殊到一般，学生很容易找到问题讨论的切入点：即利用端点函数值的符号进行分类，使得问题的引入更加自然.通过以上学生们的讨论，使得零点存在性定理的生成水到渠成.五、定理应用例2 判断函数的零点个数.变式：函数的零点所在区间为（ B ）(A) (B) (C) (D) 学生积极思考，独立完成，并利用实物投影讲解答题过
11、程.六、反思总结引导学生回顾整个探究过程，生成数学知识：一个概念、一种关系和一个定理.数学思想方法反思探究过程中，归纳蕴含的数学思想方法一、数学知识方面1.函数零点的概念（1）定义：对于函数，使方程的实数叫做函数的零点（zero point）.（2）方程有实数根函数图象与轴有交点函数有零点2.零点存在性定理如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间上存在零点，即存在，使得，这个就是的根.二、数学思想方法方面函数与方程思想数形结合思想反思核心任务的解决过程，归纳提升知识、方法.学生亲身经历核心任务的解决过程，体验所蕴含的思想方法，生成一个概念、一种关系和一个定理，符合学生的认知规律.3.1.1 方程的根与函数的零点一、函数零点的概念1.定义2.方程有实数根函数图象与轴有交点函数有零点3.零点的求法：代数法、几何法数形结合思想、函数与方程思想二、零点存在性定理三、例题解析例1（4）例2六、板书设计
