1、2021年河南省郑州市高考数学第三次质量预测试卷（理科）（三模）一、选择题（每小题5分，共60分.）1已知集合Ax|x2+x20），Bx|3x1，则ARB（）Ax|x0Bx|x2Cx|2x0Dx|0x121748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式eixcosx+isinx，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据此公式可知，设复数z，根据欧拉公式可知，表示的复数的虚部为（）ABiCDi3若直线yx+b是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）不可能是（）Af（x）exBf（x）x4Cf（x）sinxDf（x）4函数f（x）ln|x|
2、+的图象大致为（）ABCD5已知等差数列an的公差不为零，且a32a1a7，Sn为其前n项和，则（）ABCDn（n1）6已知函数f（x）exex，af（30.2），bf（0.30.2），cf（log0.23），则a，b，c的大小关系为（）AcbaBbacCbcaDcab7若x，y满足条件，当且仅当x5，y6时，zaxy取最小值，则实数a的取值范围是（）A（1，）B（，1）C（1，）D（，1）（，+）8已知数列an的通项公式是anf（），其中f（x）sin（x+）（0，|）的部分图象如图所示，Sn为数列an的前n项和，则S2021的值为（）A1B0CD9已知等腰直角ABC的斜边BC4，沿斜边的高
3、线AD将ABC折起，使二面角BADC为，则四面体ABCD的外接球的体积为（）ABCD10已知A，B是椭圆1（ab0）长轴的两个端点，P、Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2（k1k20）若椭圆的离心率为，则|k1|+|k2|的最小值为（）A1BCD11在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E平面AA1B1B，点F是线段AA1的中点，若D1ECF，则EBC的面积最小值为（）ABCD12已知函数f（x）满足f（x）f（3x），当x，1）时，f（x）ln3x，若在区间，9）内，函数g（x）f（x）ax右四个不同零点，则实数a的取值范围是（）ABCD二、填空题：
4、本大题共4小题，每小题5分，共20分13在矩形ABCD中，其中AB3，AD1，AB上的点E满足+2，F为AD上任意一点，则 14展开式中的a与b指数相同的项的表达式为 15已知双曲线C：1（a0，b0）右顶点、右焦点为A、F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点Q，直线QF与C的一个交点为B，且4，则双曲线离心率e为 161967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章英国的海岸线有多长？标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支分形几何，分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象
5、的工具下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为a，在线段AB上取两个点C，D，使得ACDBAB，CD为一边在线段AB的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的线段EC、ED作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为Sn，若存在最大的正整数a，使得对任意的正整数n，都有Sn2021，则a 三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共6
6、0分17如图，在ABC中，AB9，cosB，点D在BC边上，AD7，ADB为锐角（）求BD；（）若BADDAC，求sinC的值及CD的长18如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB2，ADCD1，E是PB的中点（）求证：平面EAC平面PBC；（）若PC1，直线PA与平面EAC所成角的正弦值为，求二面角PACE的余弦值19手机芯片是一种硅板上集合多种电子元器件实现某种特定功能的电路模块，是电子设备中最重要的部分，承担着运输和存储的功能某公司研发了一种新型手机芯片，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件手机芯片，计其性能指数并绘制频率分布直方
7、图（如图1）：产品的性能指数在50，70）的称为A类芯片，在70，90）的称为B类芯片，在90，110的称为C类芯片，以这100件芯片的性能指数位于各区间的频率估计芯片的性能指数位于该区间的概率（）在该流水线上任意抽取3件手机芯片，求C类芯片不少于2件的概率；（）该公司为了解年营销费用x（单位万元）对年销售量y（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用x，和年销售量yi（i1，2，3，4，5）数据做了初步处理，得到的散点图如图2所示（）利用散点图判断，ya+bx和ycxd（其中c，d为大于0的常数）哪一个更适合作为年营销费用和年销售量的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）；（）对数据
8、作出如下处理：令uilnxi，vilnyi，得到相关统计量的值如表：15072555001575016255682.4根据（）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程；（）由所求的回归方程估计，当年营销费用为100万元时，年销量y（万件）的预报值（参考数据：e3.430）参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（un，vn）其回归方程v+u中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：；20已知抛物线C：x24y和圆E：x2+（y+1）21，过抛物线上一点P（x0，y0），作圆E的两条切线，分别与x轴交于A、B两点（）若切线PB与抛物线C也相切，求直线PB的斜率；（）若y02，求PAB
9、面积的最小值21已知函数f（x）xlnxax+1（）求f（x）的最小值；（）证明：对任意的x（0，+），ex（lnx+）（ex+x）+0恒成立（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为cos（），曲线C的极坐标方程为2（1+3sin2）4（）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；（）已知点A（1，0），若直线l与曲C线交于P，Q两点，PQ中点为M，求的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+1|2x4|（）在平面直
10、角坐标系中画出函数f（x）的图象；（）若对xR，f（x）t恒成立，t的最小值为m，且正实数a，b，c满足a+2b+3cm，求的最小值参考答案一、选择题（共12小题）.1已知集合Ax|x2+x20），Bx|3x1，则ARB（）Ax|x0Bx|x2Cx|2x0Dx|0x1解：Ax|x2+x20x|2x1，Bx|3x1x|x0，RBx|x0，ARBx|0x1故选：D21748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式eixcosx+isinx，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据此公式可知，设复数z，根据欧拉公式可知，表示的复数的虚部为（）AB
11、iCDi解：eixcosx+isinx，复数z，i，所以复数的虚部为：故选：C3若直线yx+b是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）不可能是（）Af（x）exBf（x）x4Cf（x）sinxDf（x）解：直线yx+b的斜率为k，由f（x）ex的导数为f（x）ex，而ex，解得xln2，故A满足题意；由f（x）x4的导数为f（x）4x3，而4x3，解得x，故B满足题意；由f（x）sinx的导数为f（x）cosx，而cosx有解，故C满足题意；由f（x）的导数为f（x），即有切线的斜率小于0，故D不满足题意故选：D4函数f（x）ln|x|+的图象大致为（）ABCD解：函数的定义域为x|x0，
12、f（x）ln|x|+ln|x|+f（x），则f（x）是偶函数，排除B，f（1）ln1+110，排除A，f（2）ln2+0，排除C，故选：D5已知等差数列an的公差不为零，且a32a1a7，Sn为其前n项和，则（）ABCDn（n1）解：设等差数列an的公差为d0，a32a1a7，a1（a1+6d），化为：a12d，Snna1+a1，则，故选：A6已知函数f（x）exex，af（30.2），bf（0.30.2），cf（log0.23），则a，b，c的大小关系为（）AcbaBbacCbcaDcab解：根据题意，函数f（x）exex，其导数为f（x）ex+ex，则有f（x）0恒成立，则f（x）在R上为
13、增函数，又由log0.230.30.230.2，则有cba；故选：A7若x，y满足条件，当且仅当x5，y6时，zaxy取最小值，则实数a的取值范围是（）A（1，）B（，1）C（1，）D（，1）（，+）解：作出不等式组对应的平面区域如图：其中C（5，6），3x5y+150的斜率kAC，yx+11的斜率kBC1由zaxy得yaxz，要使在C（5，6）处取得最小值，则直线在C（5，6）处的截距最大，当a0时，yz，此时满足条件，当a0时，要满足条件，则满足0akAC，当a0时，要满足条件，则满足kBCa0，即1a0，综上1a，故选：C8已知数列an的通项公式是anf（），其中f（x）sin（x+）（
14、0，|）的部分图象如图所示，Sn为数列an的前n项和，则S2021的值为（）A1B0CD解：由f（x）的图像可得，即有T，可得2，又f（）sin（2+）1，可得+2k+，kZ，即有2k+，kZ，由于|，可得k0，则f（x）sin（2x+），anf（）sin ，因为a1+a2+a3+a4+a5+a6+0+（）+（）+0+0，所以S2021336（a1+a2+a3+a4+a5+a6）+a1+a2+a3+a4+a50故选：D9已知等腰直角ABC的斜边BC4，沿斜边的高线AD将ABC折起，使二面角BADC为，则四面体ABCD的外接球的体积为（）ABCD解：如图，由题意，BCD是等边三角形，边长为2，则
15、BCD外接圆的半径为，设BCD的外心为G，四面体ABCD的外接球的球心为O，连接OG，则OG平面BCD，且OGAD1四面体ABCD的外接球的半径R则四面体ABCD的外接球的体积V故选：B10已知A，B是椭圆1（ab0）长轴的两个端点，P、Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2（k1k20）若椭圆的离心率为，则|k1|+|k2|的最小值为（）A1BCD解：设P（t，s），Q（t，s），t0，a，s0，b，A（a，0），B（a，0），k1，k2，|k1|+|k2|+|22，当且仅当，即t0时等号成立A，B是椭圆1（ab0）长轴的两个端点，P，Q是椭圆上关于x轴对称的两点
16、，P（t，s），Q（t，s），即sb，|k1|+|k2|的最小值为，椭圆的离心率为，即，得ab，|k1|+|k2|的最小值为故选：B11在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E平面AA1B1B，点F是线段AA1的中点，若D1ECF，则EBC的面积最小值为（）ABCD解：如图：取AB中点G，可知RtBAFRtB1BG，得ABFBB1G，B1GB+ABFB1GB+BB1G90，BFGB1，又B1GBC，B1G平面BFC，B1G平面CF，又D1ECF，CF平面B1D1G，当点E在直线B1G上时，D1ECF，BC2，则ABC面积为EBBC，当EBC的面积取得最小值时，线段CE的长度为点B到直
17、线B1G的距离，线段CE长度的最小值为，此时EBC面积为EBBC故选：B12已知函数f（x）满足f（x）f（3x），当x，1）时，f（x）ln3x，若在区间，9）内，函数g（x）f（x）ax右四个不同零点，则实数a的取值范围是（）ABCD解：当x，1）时，f（x）ln3x，f（x）f（3x），f（x）f（x），x1，3）时，f（x）f（x）ln，故f（x），函数g（x）f（x）ax右四个不同零点，即yf（x）和yax的图像有4个不同交点，可得直线yax在图中两条虚线之间，如图示：其中一条虚线是OA，A（9，ln3），则KOA，其中一条OB是过原点与f（x）ln相切的直线，设切点B为（x0，ln
18、），f（x）（ln），KOB，又KOB，解得：x03e，KOB，a，故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13在矩形ABCD中，其中AB3，AD1，AB上的点E满足+2，F为AD上任意一点，则3解：在矩形ABCD中，其中AB3，AD1，AB上的点E满足+2，E是AB的一个3等分点，F为AD上任意一点，所以|cos（EBF）|3故答案为：314展开式中的a与b指数相同的项的表达式为84a解：展开式的通项公式为Tr+1CC，令6，解得r3，所以展开式中的a与b指数相同的项的表达式为C84a，故答案为：84a15已知双曲线C：1（a0，b0）右顶点、右焦点为A、F，过点A的直线l与
19、C的一条渐近线交于点Q，直线QF与C的一个交点为B，且4，则双曲线离心率e为解：易知A（a，0），F（c，0），一条渐近线为，则，不妨设Q在第一象限，则，即点Q的坐标为（a，b），设B（x，y），则，由得，解得，点B的坐标为（4c3a，3b），又点B在椭圆上，故，化简可得（4e3）210，解得，又e1，于是故答案为：161967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章英国的海岸线有多长？标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支分形几何，分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的
20、工具下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为a，在线段AB上取两个点C，D，使得ACDBAB，CD为一边在线段AB的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的线段EC、ED作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为Sn，若存在最大的正整数a，使得对任意的正整数n，都有Sn2021，则a1010解：当n2时，则S1a，s2S1+a2（1+）a，当n3时，则S3s2+2（a）2（1+）a2a（1+）a，同理得当n4时，则S4（1+）a，Sn（1+.+）a1+a2a2021，
21、2a2021，a的最大整数值为1010故答案为：1010三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17如图，在ABC中，AB9，cosB，点D在BC边上，AD7，ADB为锐角（）求BD；（）若BADDAC，求sinC的值及CD的长解：（1）ABD中，由余弦定理得AD2AB2+BD22ABBDcosB，所以4981+BD22，解得BD8或BD4，当BD4时，cosADB，此时ADB，不符合题意，舍去，当BD8时，cosADB，此时ADB，符合题意，（2
22、）BAD中，cosBAD，所以sinBAD，又sinADB，所以sinCsin（ADBCAD）sin（ADBBAD），ACD中，由正弦定理得，所以CD18如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB2，ADCD1，E是PB的中点（）求证：平面EAC平面PBC；（）若PC1，直线PA与平面EAC所成角的正弦值为，求二面角PACE的余弦值解：（）证明：PC平面ABCD，AC平面ABCD，ACPC，又AB2，ADCD1，AC2+BC2AB2，则ACBC，又BCPCC，AC平面PBC，AC平面EAC，平面EAC平面PBC；（）以C为原点，建立如图所示的
23、空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，1，0），设P（0，0，a）（a1），则，设平面EAC的一个法向量为，则，则可取，设直线PA与平面EAC所成角为，则，a45a2+40，解得a2或a1（舍去），则，取，则，故平面PAC的一个法向量为，又二面角PACE的平面角为锐角，二面角PACE的余弦值为19手机芯片是一种硅板上集合多种电子元器件实现某种特定功能的电路模块，是电子设备中最重要的部分，承担着运输和存储的功能某公司研发了一种新型手机芯片，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件手机芯片，计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）：产品的性能指数在50，70）的称为A类芯
24、片，在70，90）的称为B类芯片，在90，110的称为C类芯片，以这100件芯片的性能指数位于各区间的频率估计芯片的性能指数位于该区间的概率（）在该流水线上任意抽取3件手机芯片，求C类芯片不少于2件的概率；（）该公司为了解年营销费用x（单位万元）对年销售量y（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用x，和年销售量yi（i1，2，3，4，5）数据做了初步处理，得到的散点图如图2所示（）利用散点图判断，ya+bx和ycxd（其中c，d为大于0的常数）哪一个更适合作为年营销费用和年销售量的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）；（）对数据作出如下处理：令uilnxi，vilnyi，得到相关统
25、计量的值如表：15072555001575016255682.4根据（）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程；（）由所求的回归方程估计，当年营销费用为100万元时，年销量y（万件）的预报值（参考数据：e3.430）参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（un，vn）其回归方程v+u中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：；解：（）由频率分布直方图可知，A，B，C三类芯片的频率分别为0.15，0.45，0.4，故取出C类芯片的概率为，设“抽出C类芯片不少于2件”为事件A，则P（A）；（）（i）由散点图的形状可知，ycxd（其中c，d为大于0的常数）更适合作为年营销费用和年销售
26、量的回归方程类型；（ii）将ycxd两边同时取自然对数，则有lnylnc+dlnx，令ulnx，vlny，则有vlnc+du，因为，则，则lnc，所以，即，因为e3.430，故y关于x的回归方程为；（iii）当x100时，所以当年营销费用为100万元时，年销量y（万件）的预报值为300万件20已知抛物线C：x24y和圆E：x2+（y+1）21，过抛物线上一点P（x0，y0），作圆E的两条切线，分别与x轴交于A、B两点（）若切线PB与抛物线C也相切，求直线PB的斜率；（）若y02，求PAB面积的最小值解：（）设切线PB的方程为ykx+m，代入抛物线方程得，x24kx4m0由相切条件可得，16k2
27、+16m0，即k2+m0，由直线与圆相切，可得，即k2m2+2m，m2+3m0，解得m3或m0（舍去），则k23，即k；（）设切线方程为yy0（kxx0），即kxy+y0kx00，圆心到直线的距离d，整理得设PA、PB的斜率分别为k1，k2，则，令y0，得，|AB|令f（y），y2，则f（y）0，则f（y）在2，+）上单调递增，f（y）minf（2）4即SPAB的最小值为221已知函数f（x）xlnxax+1（）求f（x）的最小值；（）证明：对任意的x（0，+），ex（lnx+）（ex+x）+0恒成立解：（）由题意可得f（x）的定义域是（0，+），f（x）1+lnxa，令f（x）0，解得：0x
28、ea1，令f（x）0，解得：xea1，则f（x）在（0，ea1）递减，在（ea1，+）递增，故f（x）minf（ea1）1ea1；（）证明：要证ex（lnx+）（ex+x）+0成立，即证ex（xlnx+1）x（ex+x）+4ex20，即证ex（xlnxx+1）x2+4ex20，即证xlnxx+1，设g（x）xlnxx+1，由（）可知g（x）ming（1）0，设h（x）（x0），则h（x）（x0），由h（x）0，解得：0x2，由h（x）0，解得：x2，故h（x）在（0，2）递增，在（2，+）递减，故h（x）maxh（2）0，g（x）与h（x）的最值不同时取得，g（x）h（x），即xlnxx+1，
29、故当x0时，不等式ex（lnx+）（ex+x）+0恒成立（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为cos（），曲线C的极坐标方程为2（1+3sin2）4（）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；（）已知点A（1，0），若直线l与曲C线交于P，Q两点，PQ中点为M，求的值解：（1）直线的极坐标方程为cos（），整理得cossin10，根据，转换为直角坐标方程为xy10曲线C的极坐标方程为2（1+3sin2）4根据，转换为直角坐标方程为（2）把直线方程xy10转换为参数方程为（t为参数），代入直角坐标方程为得到，点P和Q对应的参数为t1和t2，所以，点M对应的参数为故选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+1|2x4|（）在平面直角坐标系中画出函数f（x）的图象；（）若对xR，f（x）t恒成立，t的最小值为m，且正实数a，b，c满足a+2b+3cm，求的最小值解：（），图象如图所示，（）由（）知，f（x）max3，则t3，故m3，即a+2b+3c3，由柯西不等式有，的最小值为3，当且仅当a+cb+c1时等号成立