1、简单几何体的外接球与内切球问题简单几何体外接球与内切球问题是立体几何中的难点，也是历年高考重要的考点，重在考查直观想象和逻辑推理两个数学核心素养简单几何体的外接球问题(2020栖霞模拟)已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，ADBC，ABCDAD2，BCPA4，PA平面ABCD，则球O的体积为()AB C16D16A解析：取BC的中点E，连接AE，DE，BD因为ADBC且ADBCECBE，所以四边形ADCE，四边形ADEB均为平行四边形，所以AECD，ABDE.又CDABBC，所以AEDEBEEC，所以E为四边形ABCD的外接圆圆心已知O为外接球的球心，连接OA，
2、OE，由球的性质可知OE平面ABCD，作OFPA，垂足为F，所以四边形AEOF为矩形，OFAE2.设AFx，OPOAR，则4(4x)24x2，解得x2，所以R2，所以球O的体积VR3.1设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点， ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A12B18 C24D54B解析：设ABC的边长为a，则SABCaasin 609，解得a6(负值舍去)ABC的外接圆半径r满足2r，得r2，球心到平面ABC的距离为2.所以点D到平面ABC的最大距离为246，所以三棱锥D-ABC体积的最大值为9618.故选B2.(2020石家庄3月质检)如图
3、，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PB底面ABCD，O为对角线AC与BD的交点若PB1，APB，则三棱锥P-AOB的外接球的体积是_解析：因为底面ABCD为菱形，O为对角线AC与BD的交点，所以BDAC又PB底面ABCD，所以PBAC因为BDPBB，所以AC平面PBD，所以ACPO，所以三角形PAO为直角三角形又PBA是直角三角形，所以公共斜边PA的中点即为球心因为PB1，APB，所以PA22R(R为三棱锥P-AOB外接球的半径)，所以R1，故三棱锥P-AOB的外接球的体积是13.简单几何体的内切球问题在一个圆锥内有一个半径为R的半球，其底面与圆锥的底面重合，且与圆锥的侧面相切若该圆锥体积的最小值为，则R()A1B C2D2B解析：几何体的轴截面如图所示设圆锥的底面圆心为O，半径为r，高为h，则OAh，rhR，解得r2.又圆锥体积Vr2hhR2，令f (h)R2(hR)，则f (h)R2.由f (h)0，得hR；由f (h)0，得Rh3，所以当球与三棱柱的上、下底面相切时，体积最大，所以最大球的直径2R3，则R，此时球的体积VR3.故选B2将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为()AB CD2A解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，则2r3，所以r1，所以h2.设内切球的半径为R，则，所以R，所以VR3.故选A
