1、武汉市2013届高中毕业生五月模拟考试文科数学一、选择题1若集合，则集合中元素的个数为A5 B4 C3 D22将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为3已知向量，则向量A与向量平行 B与向量平行 C与向量平行 D与向量平行4若，则“”是“复数为纯虚数”的A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件5已知双曲线的焦距为10，点在的渐近线上，则的方程为A B C D6已知等差数列的前项和为，则数列的前100项和为A B C D7函数的单调递增区间为A BC D8在数列中，已知等于的个位数字，则的值为A1 B3 C7 D99下图是
2、用模拟方法估计圆周率的程序框图,表示估计结果,则图中空白框内应填入( )A. B. C. D. 10设定义在上的函数是最小正周期为的偶函数,是的导函数,当 时,;当且时 ,则函数在上的零点个数为A .2 B .4 C.5 D. 8 二、填空题11设函数，则 。12若满足约束条件，则的最小值为 。13从边长为1的正方形的中心和顶点之五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为的概率为 。14椭圆(ab0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_.15“无字证明”(proofs without words),
3、就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现.请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系,写出该图所验证的一个三角恒等变换公式:_. 图甲 图乙16如图,正方体的棱长为1,分别为线段上的点,则三棱锥的体积为_.17若存在实数使成立,则实数的取值范围是_.三、解答题18在中，三内角、所对的边分别是、，已知。, （1）求和的值； （2）求的值。.19某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:单阶(元)89销量(件)908483807568(I)求回归直线方程,其中;(II)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(I)中的关系,且该产品的成本是4
4、元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)20如图,在四棱锥中,底面是矩形,.(I)求异面直线与所成角的正切值;(II)证明平面平面;(III)求直线与平面所成角的正弦值.21已知aR,函数,(其中e为自然对数的底数).(1)判断函数f(x)在上的单调性;(2)是否存在实数,使曲线在点处的切线与轴垂直? 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.(3)若实数满足,求证:.22已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足.(1)求曲线C的方程;(2)动点Q(x0,y0)(-2x02)在曲线C上,曲线C在点Q处的切线为l向
5、:是否存在定点P(0,t)(t0),使得l与PA,PB都不相交,交点分别为D,E,且QAB与PDE的面积之比是常数?若存在,求t的值.若不存在,说明理由.参考答案一、选择题1C2B3C4B5A6A7D8A9解析:点落在单位圆内或圆上,随机产生1000个数,故选D. 10【答案】B 【解析】由当x(0,) 且x时 ,知 又时,0f(x)1,在R上的函数f(x)是最小正周期为2的偶函数,在同一坐标系中作出和草图像如下,由图知y=f(x)-sinx在-2,2 上的零点个数为4个. 【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题. 114 12 13 14 15 16【解析】因为点在线
6、段上,所以,又因为点在线段上,所以点到平面的距离为1,即,所以. 【答案】 17 1819【考点定点】本题主要考查回归分析,一元一次函数等基础知识,考查运算能力、应用意识、转化与化归思想、特殊与一般思想. 解:(1) ,回归直线方程为: (2)设工厂获利润为元,依题意: 当单价定为时,工厂获利最大. 20解:(1)如图在四棱锥中,因为底面是矩形,所以,且,又因为,故或其补角是异面直线与所成的角. 在中,所以异面直线与所成角的正切值为2. (2)证明:由于底面是矩形,故,又由于,因此平面,而平面,所以平面平面. (3)在平面内,过点作交直线于点,连接.由于平面平面,由此得为直线与平面所成的角.
7、在中,可得 在中, 由平面,得平面,因此 在中,在中, 所以直线与平面所成角的正弦值为. 21解(1), 若,则,在上单调递增; 若,当时,函数在区间上单调递减, 当时,函数在区间上单调递增, 若,则,函数在区间上单调递减 (2)解:, , 由(1)易知,当时,在上的最小值:,即时, 又, 曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解. 而,即方程无实数解.故不存在 (3)证明: ,由(2)知,令得 故原不等式成立。22【解析】 解:(1)依题意可得, , 由已知得,化简得曲线C的方程: (2)假设存在点P(0,t)(t0)满足条件,则直线PA的方程是,直线PB的方程是,曲线C在点Q处的切线l的
8、方程为它与y轴的交点为,由于,因此 当时, ,存在,使得,即l与直线PA平行,故当时不符合题意 当时,所以l 与直线PA,PB一定相交,分别联立方程组, 解得D,E的横坐标分别是 则,又, 有,又 于是 对任意,要使QAB与PDE的面积之比是常数,只需t满足, 解得t=-1,此时QAB与PDE的面积之比为2,故存在t=-1,使QAB与PDE的面积之比是常数2. 【点评】本题以平面向量为载体,考查抛物线的方程,直线与抛物线的位置关系以及分类讨论的数学思想. 高考中,解析几何解答题一般有三大方向的考查.一、考查椭圆的标准方程,离心率等基本性质,直线与椭圆的位置关系引申出的相关弦长问题,定点,定值,探讨性问题等;二、考查抛物线的标准方程,准线等基本性质,直线与抛物线的位置关系引申出的相关弦长问题,中点坐标公式,定点,定值,探讨性问题等;三、椭圆,双曲线,抛物线综合起来考查.一般椭圆与抛物线结合考查的可能性较大,因为它们都是考纲要求理解的内容.