1、第一章 集合与常用逻辑用语1.4.1 充分条件与必要条件 教学设计一、教学目标1. 理解充分条件、必要条件的意义；2. 会判断充分条件、必要条件.二、教学重难点1. 教学重点充分条件、必要条件的概念及判断方法.2. 教学难点必要条件的理解和判断.三、教学过程（一）新课导入在初中的时候我们学习过命题，会判断一个命题的条件和结论，并能判断其真假.下面我们来复习一下（老师引导学生回答）：两个面积相等的三角形全等，它的条件是三角形的面积相等；结论是三角形全等；这个命题是假的.下面我们来看一下课本P17中的思考，并依次说出它们的条件，结论及真假.要求：学生自由发言，教师引导学生进一步探究.（二）探索新知
2、探究：充分条件、必要条件1. 前提（要牢记）：p是条件，q是结论.2. 命题“若p，则q”为真命题，记作；“若p，则q”为假命题，记作.3. 充分条件、必要条件： 若，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件.4. 由刚才的讨论，我们已经知道命题（1）（4）是真命题，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件；（2）（3）是假命题，所以p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.例1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？（1） 若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；（2） 若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；（3） 若四边形为菱形，则这个四边形的对角线
3、互相垂直；（4） 若,则；（5） 若，则；（6） 若x，y为无理数，则xy为无理数.解：（1）这是一条平行四边形的判定定理，所以p是q的充分条件.（2）这是一条相似三角形的判定定理，所以p是q的充分条件.（3）这是一条菱形的性质定理，所以p是q的充分条件.（4）由于，但，所以p不是q的充分条件.（5）由等式的性质知，所以p是q的充分条件.（6）为无理数，但为有理数，所以p不是q的充分条件.那同学们在想一下，q是p的什么条件？（1）必要条件； （2）必要条件； （3）必要条件；（4）不必要条件； （5）必要条件； （6）不必要条件.思考1例1中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件
4、，即“四边形的两组对角分别相等”.这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗？答：不唯一.初中的时候我们还学过其它的平行四边形的判定定理，也就是判断四边形是平行四边形的其它条件：若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形；若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形；若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形.所以，“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的充分条件.因此，一般来说，对给定结论q，使得q成立的条件p是不唯一的.一般地，数学中的每一条判定定理都给出了
5、相应数学结论成立的一个充分条件.例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；（4）若，则；（5）若，则；（6）若为无理数，则为无理数.解：（1）这是平行四边形的一条性质定理，所以q是p的必要条件.（2）这是三角形相似的一条性质定理，所以q是p的必要条件.（3）如图1.4-1，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形，所以，q不是p的必要条件. （4）显然，所以，q是p的必要条件.（5）由于，但，所以，q不
6、是p的必要条件.（6）由于为无理数，但不全是无理数，所以q不是p的必要条件.一般地，要判断“若p，则q”形式的命题中q是否为p的必要条件，只需判断是否有“”，即“若p，则q”是否为真命题.说明：（1），q是p的必要条件（p是q的充分条件）；（2），q不是p的必要条件（p不是q的充分条件）.思考2例2中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“这个四边形的两组对角分别相等”.这样的必要条件是唯一的吗？如果不唯一，你能给出“四边形是平行四边形”的几个其他必要条件吗？答：不唯一.例如，下列命题都是真命题：若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等；若四边形是平行四边形，则这
7、个四边形的一组对边平行且相等；若四边形是平行四边形，则这个四边形的两条对角线互相平分.这表明，“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的必要条件.因此，一般来说，给定条件p，由p可以推出的结论q是不唯一的.一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.规律总结：1. 在命题“若p，则q”中，要判断p是否为q的充分条件，关键是判断“若p，则q”的真假，即或.2. 在命题“若p，则q”中判断q是否为p的必要条件，实质上仍是判断“若p，则q”的真假，即或.（三）课堂练习1. 下列“若p，则q”形式的命题
8、中，哪些命题中的p是q的充分条件？（1）若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB；（2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等；（3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方.解：（1）线段垂直平分线的性质，p是q的充分条件；（2）三角形的两边及一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等，p不是q的充分条件；（3）相似三角形的性质，p是q的充分条件.2. 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？（1）若直线l与O有且仅有一个交点，则l为O的一条切线；（2）若x是无理数，则x2也是无理数.解：（1）这是圆的切线定义，所以q是p的必要条件；（2）由于是无理数，但不是无理数，所以q不是p的必要条件.3. 如图，直线a与b被直线l所截，分别得了1，2，3和4.请根据这些信息，写出几个“ab”的充分条件和必要条件. 解：“ab”的充分条件：1=2，1=4，13=180；“ab”的必要条件：1=2，1=4，1+3=180.（四）小结作业小结：1.本节课我们主要学习了哪些内容？2.充分条件和必要条件是如何判断的？作业：四、板书设计1.4.1充分条件与必要条件1. “若p，则q”的形式2. 充分条件和必要条件的定义3. 充分条件和必要条件的判定方法
