1、第3讲利用导数研究函数的最(极)值基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1下列函数：yx3；yln(x)；yxex；yx.其中，既是奇函数又存在极值的是_(填序号)解析由题意可知，中的函数不是奇函数，中，函数yx3单调递增(无极值)，中的函数既为奇函数又存在极值答案2(2017海门中学适应性训练)已知函数f(x)x3ax23x9，若x3是函数f(x)的一个极值点，则实数a_.解析f(x)3x22ax3.依题意知，3是方程f(x)0的根所以3(3)22a(3)30，解得a5.经检验，a5时，f(x)在x3处取得极值答案53(2016北京卷改编)设函数f(x)则f(x)的最大值为_解析当x0
2、时，f(x)2x0；当x0时，f(x)3x233(x1)(x1)，当x0，f(x)是增函数，当1x0时，f(x)0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，若tab，则t的最大值为_解析f(x)12x22ax2b，则f(1)122a2b0，则ab6，又a0，b0，则tab29，当且仅当ab3时取等号答案95已知yf(x)是奇函数，当x(0,2)时，f(x)ln xax，当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，则a_.解析由题意知，当x(0,2)时，f(x)的最大值为1.令f(x)a0，得x，当0x0；当x时，f(x)0，即a23a180，a6或a0时，ex1，aex0，r0)(
3、1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；(2)若400，求f(x)在(0，)内的极值解(1)由题意可知xr，所求的定义域为(，r)(r，)f(x)，f(x).所以当xr时，f(x)0；当rx0.因此，f(x)的单调递减区间为(，r)，(r，)；f(x)的单调递增区间为(r，r)(2)由(1)的解答可知f(r)0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，)上单调递减因此，xr是f(x)的极大值点，所以f(x)在(0，)内的极大值为f(r)100，f(x)在(0，)内无极小值；综上，f(x)在(0，)内极大值为100，无极小值10(2017衡水中学二调)已知函数f(x)xln x，g(x)
4、(x2ax3)ex(a为实数)(1)当a5时，求函数yg(x)在x1处的切线方程；(2)求f(x)在区间t，t2(t0)上的最小值解(1)当a5时，g(x)(x25x3)ex，g(1)e.又g(x)(x23x2)ex，故切线的斜率为g(1)4e.所以切线方程为ye4e(x1)，即y4ex3e.(2)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：xf(x)0f(x)极小值当t时，在区间t，t2上f(x)为增函数，所以f(x)minf(t)tln t.当0t0，b0，d0；a0，b0，c0；a0，b0，d0；a0，b0，c0，d0，f(0)d0
5、.又x1，x2是函数f(x)的极值点，且f(x)3ax22bxc0，x1，x2是方程3ax22bxc0的两根由图象知，x10，x20因此b0.答案13(2017镇江期末)若函数f(x)2x32tx21存在唯一的零点，则实数t的取值范围为_解析因为f(x)2x32tx21存在唯一的零点，则f(x)在R上为单调函数或极小值大于0或极大值小于0，又因为f(x)6x24tx6x，且f(0)1，所以只能是f(x)的极小值小于0或在R上为单调函数当t0时，极小值为f(0)1；当t0时，f(x)在R上单调递减；当t0，即t，综上，t.答案14(2017苏北四市调研)如图，OA是南北方向的一条公路，OB是北偏
6、东45方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C.为方便游客观光，拟过曲线C上某点P分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米、40万元/百米建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则曲线C符合函数模型yx(1x9)，设 PMx，修建两条道路PM，PN的总造价为f(x)万元题中所涉及长度单位均为百米(1)求f(x)的解析式；(2)当x为多少时，总造价f(x)最低？并求出最低造价解(1)在题图所示的直角坐标系中，因为曲线C的方程为yx(1x9)，PMx，所以点P坐标为，直线OB的方程为xy0，则点P到直线xy0的距离为，又PM的造价为5万元/百米，PN的造价为40万元/百米则两条道路总造价为f(x)5x405(1x9)(2)因为f(x)5，所以f(x)5，令f(x)0，解得x4，列表如下：x(1,4)4(4,9)f(x)0f(x)极小值所以当x4时，函数f(x)有最小值，且最小值为f(4)530，即当x4时，总造价最低，最低造价为30万元(注：利用三次均值不等式得f(x)555330，当且仅当x4时，等号成立，同样也可).