1、6.3 等比数列及其前n项和最新考纲 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及前n项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系 1等比数列的定义 如果一个数列_，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，通常用字母表示 2等比数列的通项公式 设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项an_ 从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)公比qa1qn13等比中项 若，那么G叫做a与b的等比中项 4等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(n，mN*)(2)若an为等比数列，且klmn
2、(k，l，m，nN*)，则_ G2ab(ab0)qnmakalaman5等比数列的前 n 项和公式等比数列an的公比为 q(q0)，其前 n 项和为 Sn，当 q1 时，Snna1；当 q1 时，Sna1（1qn）1qa1anq1q.6等比数列前 n 项和的性质公比不为1 的等比数列an的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2nSn，S3nS2n 仍成等比数列，其公比为qn【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列()(2)G为a，b的等比中项G2ab.()(3)如果an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等
3、比数列()(4)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列()(5)等比数列an的首项为 a，公比为1，前 n 项和为 Sn，则S2n0，S2n1a.()(6)1bb2b3b4b51b51b.()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)1(2015全国卷)已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7()A21 B42 C63D84【解析】利用等比数列的通项公式求解 a13，a1a3a521，33q23q421.1q2q47.解得q22或q23(舍去)a3a5a7q2(a1a3a5)22142.故选B.【答案】B 2已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a
4、10等于()A7B5 C5D7【解析】方法一：由题意得a4a7a1q3a1q62，a5a6a1q4a1q5a21q98，q32，a11或q312，a18，a1a10a1(1q9)7.方法二：由a4a72，a5a6a4a78，解得a42，a74或a44，a72.q32，a11或q312，a18，a1a10a1(1q9)7.【答案】D3(2014江苏)在各项均为正数的等比数列an中，若a21，a8a62a4，则a6的值是_【解析】因为a8a2q6，a6a2q4，a4a2q2，所以由a8a62a4得a2q6a2q42a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2q220，解得q22，a
5、6a2q41224.【答案】4 4(2015安徽)已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和等于_【解析】利用等比数列的通项公式及前n项和公式求解 设等比数列的公比为q，则有a1a1q39，a21q38，解得a11，q2或a18，q12.又an为递增数列，a11，q2，Sn12n12 2n1.【答案】2n1题型一 等比数列基本量的运算【例 1】(1)设an是由正数组成的等比数列，Sn 为其前 n 项和已知 a2a41，S37，则 S5 等于()A.152 B.314C.334D.172(2)(2015广东)若三个正数 a，b，c 成等比数列，其中 a52 6，c
6、52 6，则 b_【解析】(1)显然公比 q1，由题意得a1qa1q31，a1（1q3）1q7，解得a14，q12或a19q13(舍去)，S5a1（1q5）1q41 125112314.(2)利用等比中项公式求解a，b，c 成等比数列，b2ac(52 6)(52 6)1.又 b0，b1.【答案】(1)B(2)1【思维升华】等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解 跟踪训练 1(1)已知正项数列an为等比数列，且 5a2 是 a4 与3a3 的等差中项，若 a22，则该数列的前 5 项的和为()A.3
7、312B31C.314D以上都不正确(2)(2014天津)设an是首项为 a1，公差为1 的等差数列，Sn 为其前 n 项和若 S1，S2，S4 成等比数列，则 a1 的值为_【解析】(1)设an的公比为 q，q0.由已知得 a43a325a2，即 a2q23a2q10a2，q23q100，解得 q2 或 q5(舍去)，又 a22，则 a11，所以 S5a1（1q5）1q1（125）1231.(2)因为等差数列an的前 n 项和为 Snna1n（n1）2d，所以 S1，S2，S4 分别为 a1，2a11，4a16.因为 S1，S2，S4 成等比数列，所以(2a11)2a1(4a16)，解方程得
8、 a112.【答案】(1)B(2)12题型二 等比数列的性质及应用【例 2】(1)在等比数列an中，各项均为正值，且 a6a10a3a541，a4a85，则 a4a8_(2)等比数列an的首项 a11，前 n 项和为 Sn，若S10S5 3132，则公比 q_【解析】(1)由 a6a10a3a541 及 a6a10a28，a3a5a24，得 a24a2841.因为 a4a85，所以(a4a8)2a242a4a8a28412551.又 an0，所以 a4a8 51.(2)由S10S5 3132，a11 知公比 q1，则可得S10S5S5 132.由等比数列前 n 项和的性质知 S5，S10S5，
9、S15S10 成等比数列，且公比为 q5，故 q5 132，q12.【答案】(1)51(2)12【思维升华】(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的运用 跟踪训练 2(1)设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S6S312，则 S9S3_(2)在等比数列an中，若 a1a2a3a41，a13a14a15a168，则a41a42a43a44_(3)设数列an、bn都是正项等比数列，Sn、Tn
10、分别为数列lg an与lg bn的前 n 项和，且SnTnn2n1，则 logb5a5_【解析】(1)由等比数列的性质：S3，S6S3，S9S6 仍成等比数列，于是(S6S3)2S3(S9S6)，将 S612S3 代入得S9S334.(2)方法一：a1a2a3a4a1a1qa1q2a1q3 a41q61，a13a14a15a16a1q12a1q13a1q14a1q15 a41q548，：a41q54a41q6q488q162，又 a41a42a43a44a1q40a1q41a1q42a1q43a41q166a41q6q160(a41q6)(q16)1012101 024.方法二：由性质可知，依
11、次 4 项的积为等比数列，设公比为p，设 T1a1a2a3a41，T4a13a14a15a168，T4T1p31p38p2.T11a41a42a43a44T1p102101 024.(3)由题意知S9T9lg（a1a2a9）lg（b1b2b9）lg a95lg b95lg a5lg b5logb5a5 919.【答案】(1)34(2)1 024(3)919题型三 等比数列的判定与证明【例 3】(2015广东)设数列an的前 n 项和为 Sn，nN*.已知 a11，a232，a354，且当 n2 时，4Sn25Sn8Sn1Sn1.(1)求 a4 的值；(2)证明：an112an 为等比数列；(3
12、)求数列an的通项公式【思维点拨】(1)令n2，代入条件等式中求a4；(2)将前n项和转化为通项形式后利用等比数列的定义证明；(3)得出(2)的通项公式并进一步转化构造得an的通项公式【解析】(1)当 n2 时，4S45S28S3S1，即 413254a4 5132 813254 1，解得 a478.(2)证明：由 4Sn25Sn8Sn1Sn1(n2)，得 4Sn24Sn1SnSn14Sn14Sn(n2)，即 4an2an4an1(n2)4a3a1454164a2，4an2an4an1，an212an1an112an4an22an14an12an 4an1an2an14an12an 2an1a
13、n2（2an1an）12，数列an112an 是以 a212a11 为首项，12为公比的等比数列(3)由(2)知，an112an12n1，即 an112n1 an12n4.数列an12n 是以a1122 为首项，4 为公差的等差数列，an12n24(n1)4n2，即 an(2n1)12n1，数列an的通项公式为 an(2n1)12n1.【思维升华】(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可(2)利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证 跟踪训练3 设数列an的前n项和为Sn，已知a
14、11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式【解析】(1)证明：由a11及Sn14an2，有a1a2S24a12.a25，b1a22a13.又Sn14an2，Sn4an12，得 an14an4an1，an12an2(an2an1)bnan12an，bn2bn1，故bn是首项 b13，公比为 2 的等比数列(2)由(1)知 bnan12an32n1，an12n1an2n34，故an2n 是首项为12，公差为34的等差数列 an2n12(n1)343n14，得 an(3n1)2n2.思想与方法系列 8分类讨论思想在等比数列中的应用【典例】(1
15、3 分)(2015湖南常德模拟)已知 f(x)的图象过点(1，1)，且对任意 xR，都有 f(x1)f(x)3，数列an满足 a11，an13n，n为正奇数，f（an），n为正偶数.(1)求 f(n)(nN*)的表达式和数列an的通项公式；(2)设 bn3nan，求数列bn的前 n 项和 Sn.【解析】(1)由已知得f(1)1，f(n1)f(n)3，f(n)13(n1)3n2，(2分)n为正偶数时，ana(n1)13n1，(3分)n为正奇数且n3时，ana(n1)1f(an1)3an1233n223n12，又n1时，a11也适合上式(5分)an3n12，n为正奇数，3n1，n为正偶数.(6 分
16、)(2)bnn3n6n，n为正奇数，n3n，n为正偶数，(7 分)当 n 为正偶数时，Sn(13161)232(33363)(n1)3n16(n1)n3n(131232333(n1)3n1n3n)613(n1)An6n2n2 An32n2，(8 分)其中，An131232333(n1)3n1n3n，3An132233334(n1)3nn3n1，两式相减，得2An3132333nn3n1 12n 3n132，Ann214 3n134，当 n 为正偶数时，Snn214 3n132n234.(10 分)当 n 为正奇数且 n3 时，SnSn1bnn12 14 3n32(n1)234n3n6nn214
17、 3n132n23n34，又 n1 时，S13 也适合上式，当 n 为正奇数时，Snn214 3n132n23n34.(12 分)Snn214 3n132n234，n为正偶数，n214 3n132n23n34，n为正奇数.(13 分)【温馨提醒】(1)分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有：已知Sn与an的关系，要分n1，n2两种情况 等比数列中遇到求和问题要分公比q1，q1讨论 项数的奇、偶数讨论 等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨论(2)数列与函数有密切的联系，证明与数列有关的不等式，一般是求数列中的最大项或最小项，可以利用图象或者数列的增减性求解，同时注意数列的增
18、减性与函数单调性的区别 方法与技巧1已知等比数列an(1)数列can(c0)，|an|，a2n，1an 也是等比数列(2)a1ana2an1amanm1.2判断数列为等比数列的方法(1)定义法：an1an q(q 是不等于 0 的常数，nN*)数列an是等比数列；也可用 anan1q(q 是不等于 0 的常数，nN*，n2)数列an是等比数列二者的本质是相同的，其区别只是 n 的初始值不同(2)等比中项法：a2n1anan2(anan1an20，nN*)数列an是等比数列3解题中要注意选用等比数列的性质，减少运算量失误与防范 1注意等比数列中的分类讨论 2由an1qan(q0)，并不能断言an是等比数列，还要验证a10.
