1、32基本不等式与最大(小)值学 习 目 标核 心 素 养1会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题(重点)2会用基本不等式解决实际问题(重点、难点)1通过利用基本不等式求解最值问题，提升学生的逻辑素养2利用基本不等式解决实际问题，提升学生的数学建模素养不等式与最大(小)值阅读教材P90P91“例2”以上部分，完成下列问题当x，y都为正数时，下面的命题成立(1)若xys(和为定值)，则当xy时，积xy取得最大值；(2)若xyp(积为定值)，则当xy时，和xy取得最小值2思考：(1) 函数yx的最小值是2吗？提示不是，只有当x0时，才有x2，当x0时，没有最小值(2)设a0,2a取得最小值时，a的
2、值是什么？提示2a22，当且仅当2a，即a时，取得最小值1下列函数中，最小值为4的函数是()Ayx Bysin x(0x)Cyex4ex Dylog3xlogx81CA中x1时，y54，B中y4时，sin x2，D中x与1的关系不确定，选C2当x0时，x的最大值为 6因为x0，则的最小值为 8由已知点A在直线mxny10上所以2mn1，所以48利用基本不等式求最值【例1】(1)已知x2，则yx的最小值为 (2)若0x2，所以x20，所以yxx22226，当且仅当x2，即x4时，等号成立所以yx的最小值为6(2)因为0x0，所以yx(12x)2x(12x)2，当且仅当2x12x，即当x时，yma
3、x在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件.1(1)已知t0，则函数y的最小值为 (2)设00)的最小值是2(2)因为0x2，所以00，故(x)2，当且仅当2x82x，即x2时取等号，所以当x2时，(x)的最大值为2利用基本不等式解实际应用题【例2】如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm怎样确定
4、广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？解法一：设矩形广告牌的高为x cm，宽为y cm，则每栏的高和宽分别为(x20) cm，cm，其中x20，y25，则两栏面积之和为2(x20)18 000，由此得y25，所以广告牌的面积Sxyx25x，整理得S25(x20)18 500因为x200，所以S218 50024 500当且仅当25(x20)时等号成立，此时有(x20)214 400，解得x140，代入y25，得y175即当x140，y175时，S取得最小值24 500故当广告牌的高为140 cm，宽为175 cm时，可使矩形广告牌的面积最小法二：设矩形栏目的高为a cm，
5、宽为b cm，则ab9 000，其中a0，b0易知广告牌的高为(a20) cm，宽为(2b25)cm广告牌的面积S(a20)(2b25)2ab40b25a50018 50025a40b18 500224 500，当且仅当25a40b时等号成立，此时ba，代入ab9 000得a120，b75即当a120，b75时，S取得最小值24 500故当广告牌的高为140 cm，宽为175 cm时，可使矩形广告牌的面积最小在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：(1)先理解题意，设变量时一般把要求最值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；(3)在定义域内，求出函
6、数的最值；(4)写出正确答案.2(1)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为yx218x25(xN)，则当每台机器运转 年时，年平均利润最大，最大值是 万元(2)用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？(1)58每台机器运转x年的年平均利润为18，且x0，故1828，当且仅当x5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元(2)解设矩形菜园的长为x m、宽为y m，则2(xy)36，xy18，矩形菜园的面积为xy m2由9，可得xy81，当且仅
7、当xy，即xy9时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81 m2基本不等式的综合应用探究问题1(1)当x0时，有最大值，还是最小值？(2)当x0时，有最大值，还是最小值？提示(1)当x0时，x22，当x1时等号成立，即有最小值2(2)当x0时，因为x2，所以，故有最大值2(1)设a0，b0，(ab)的最小值是什么？(2)设a0，b0，且ab1，的最小值是什么？提示(1)(ab)332，当ba时等号成立；(2)由于ab1，所以(ab)23，当ba，即a1，b2时，的最小值为32【例3】(1)若对任意的x0，a恒成立，求a的取值范围(2)设a0，b0，若是3a与
8、3b的等比中项，求的最小值思路探究：(1)在中，分子、分母同时除以x，求得的最大值，可得a的范围(2)由条件求得a与b的关系式，可求的最小值解(1)设f(x)，x0，x2，f(x)，即f(x)max，a(2)由题意得，3a3b()2，即ab1，(ab)2224，当且仅当，即ab时，等号成立1(变条件)(1)在例3(2)中，若3是3a与3b的等比中项，求的最小值(2)在例3(2)中，把条件换为“和的等差中项是”，求2ab的最小值解(1)由3是3a与3b的等比中项，得3ab32，即ab2，故(ab)1，所以(ab)2，当ab1时等号成立(2)由于和的等差中项是，则1，故2ab(2ab)5529当a
9、b3时等号成立2(变条件)把例3(2)的条件换为“a0，b0，且abab1”，求ab的最小值解abab1，得b0，故0a1，故abaaa1a122222，当a1，即a1时等号成立最值法解答恒成立问题将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有：(1)f(x)a恒成立af(x)min.(2)f(x)a恒成立af(x)max.)1利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值2使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解3解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应
10、用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个正数的积为定值，它们的和一定能在两个数相等时取得最小值()(2)函数ysin x的最小值为2()(3)函数y的最小值为2()答案(1)(2)(3)提示(1)错误，这两个数可能不相等，如当x(0，)时，sin x与的积为定值，但sin x；(2)错误，sin x0时，函数不存在最小值(3)错误，因为只有，即x241，x23时才能取到最小值，但x23不成立，故(3)错2若x0，y0且xy18，则的最大值为()A9 B18C36 D81A9，当且仅当xy9时，等号成立3一批货物随17列货车从A市以v千米/时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要 小时8设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则t28(小时)，当且仅当，即v100时，等号成立，此时t8小时4求函数f(x)的最大值解当x0时，f(x)0，当x0时，f(x)，因为22，当x1时等号成立，所以f(x)综上得，f(x)的最大值是