1、成都外国语学校2015届11月理科数学试题 满分150分，考试时间120 分钟。注意事项：1答题前，考生务必先认真按要求填写、填涂本人姓名、学号、班级在答题卡的相应位置上；2答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3答题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上；4所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效；5考试结束后将答题卡交回，不得折叠、损毁答题卡。一、选择题（本大题10个小题，每题5分，共50分,请将答案涂在答题卷上）1.已知为虚数单位，若为纯虚数，则复数的模等于（） A B C
2、D 【知识点】复数的有关概念；复数运算. L4【答案】【解析】D 解析：由是纯虚数得，所以=，所以z的模等于，故选D.【思路点拨】由为纯虚数得，所以z=，所以z的模等于.2.如图所示的程序框图的输入值，则输出值的取值范围为（ ）A B C D【知识点】对程序框图描述意义的理解. L1【答案】【解析】B 解析：由程序框图可知，输出的y值是函数在时的值域，所以输出值的取值范围为，故选B.【思路点拨】由框图得其描述的意义，从而得到输出值的取值范围.3.某几何体正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，且图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图中两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ）A B6
3、C4D 【知识点】几何体的三视图；几何体的结构. G1 G2 【答案】【解析】A解析：由三视图可知此几何体是正方体，挖去一个以正方体上底面为底面，正方体的中心为顶点的四棱锥，所以其体积为，故选A.【思路点拨】由三视图得该几何体的结构，从而求得该几何体的体积.【题文】4.下列命题正确的个数是（ ）“在三角形中，若,则”的逆命题是真命题；命题或，命题则是的必要不充分条件；“”的否定是“”；若随机变量，则A1 B2 C3 D4【知识点】命题及其关系；充分条件；必要条件；含量词的命题的否定；抽样方法. A2 A3 I1【答案】【解析】C解析：分A、B是锐角且，和A是钝角且讨论两种情况，得命题正确；利用
4、“若p则q”的逆否命题中，条件与结论的关系判定正确；“”的否定是“”，所以不正确；显然按随机变量的分布列可知正确.故选C.【思路点拨】利用命题及其关系，充分条、，必要条件的意义，含量词的命题的否定方法，各种抽样方法的意义及其适用的总体特征，逐一分析各命题的正误即可.【题文】5.已知等比数列的前n项和为，且，则（ ）A B C D【知识点】等比数列. D3 【答案】【解析】D解析：由，得，所以，故选D.【思路点拨】根据等比数列的通项公式，前n项和公式求解.【题文】6.若函数的图像向右平移个单位后与原函数的图像关于轴对称，则的最小正值是 （ ）AB1C2D3【知识点】平移变换；函数的图与性质. C
5、4【答案】【解析】D 解析：函数的图像向右平移个单位得，这时图像关于x轴对称，所以，所以的最小正值是3.故选D.【思路点拨】根据平移变换法则得平移后的函数解析式，再由平移后的对称性得关于的方程，进而得到的最小正值.【题文】7.若正实数，满足，则的最大值是( )A2 B3 C4 D5【知识点】基本不等式.E6【答案】【解析】C解析：由，可得，当且仅当时取等号，所以的最大值为4.【思路点拨】本题可两次利用不等式即可求出结果.【题文】8.某校周四下午第三、四两节是选修课时间,现有甲、乙、丙、丁四位教师可开课。已知甲、乙教师各自最多可以开设两节课,丙、丁教师各自最多可以开设一节课.现要求第三、四两节课
6、中每节课恰有两位教师开课(不必考虑教师所开课的班级和内容),则不同的开课方案共有（）种。A、20 B、19C、16D、15【知识点】排列组合.J2【答案】【解析】B解析：枚举可得，有下列的开课方案：（1）第五节：甲，乙，第六节：甲，乙；（2）第五节：甲，乙，第六节：甲，丙（丁）；（两种）（3）第五节：甲，乙，第六节：乙，丙（丁）；（两种）（4）第五节：甲，丙（丁），第六节：甲，乙；（两种）（5）第五节：乙，丙（丁），第六节：甲，乙；（两种）（6）第五节：甲，乙，第六节：丙，丁；（7）第五节：甲，丙，第六节：甲，丁；（8）第五节：甲，丙，第六节：乙，丁；（9）第五节：乙，丙，第六节：甲，丁；（1
7、0）第五节：乙，丙，第六节：乙，丁；（11）第五节：甲，丁，第六节：甲，丙；（12）第五节：甲，丁，第六节：乙，丙；（13）第五节：乙，丁，第六节：甲，丙；（14）第五节：乙，丁，第六节：乙，丙；（15）第五节：丙，丁，第六节：甲，乙；综上所述，一共有19种开课方案故选B【思路点拨】利用枚举法，即可得出结论【典例剖析】本题考查排列组合知识，考查枚举法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题【题文】9.定义在上的函数,是它的导函数,且恒有成立,则（）A B C D【知识点】导数的运算.B1【答案】【解析】D解析：因为x（0，），所以sinx0，cosx0由f（x）f（x）tanx，得f（x）cos
8、xf（x）sinx即f（x）sinxf（x）cosx0令g（x）=x（0，），则所以函数g（x）=在x（0，）上为增函数，则，即，所以，即故选D【思路点拨】把给出的等式变形得到f（x）sinxf（x）cosx0，由此联想构造辅助函数g（x）=，由其导函数的符号得到其在（0，）上为增函数，则，整理后即可得到答案【题文】10.已知R上的连续函数g(x)满足：当时，恒成立(为函数的导函数)；对任意的都有，又函数满足：对任意的，都有成立。当时，。若关于的不等式对恒成立,则的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、或【知识点】函数的单调性；奇偶性；周期性；不等式恒成立问题. B3 B4 E8【答案】【解析
9、】D解析：由得函数是R 上的偶函数，的增函数；是周期为，且当时，的函数.所以命题为关于的不等式：，对恒成立.而在上最大值为，所以或.故选D.【思路点拨】根据已知条件确定函数g(x)的奇偶性单调性，及函数f(x)的周期性，由此把命题关于的不等式对恒成立，转化为，对恒成立.所以只需求在上最大值，利用导数求得此最大值为2，所以或.【题文】二填空题（本大题5个小题，每题5分，共25分，请把答案填在答题卷上）【题文】11.已知函数，则的解集为 【知识点】解对数不等式. E1 B7 【答案】【解析】 解析：.【思路点拨】根据对数函数的单调性求解.【题文】12.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项
10、为 【知识点】二项式定理.J3【答案】【解析】40解析：令则有，得，所以二项式为所以其常数项为所以答案为40.【思路点拨】由二项式定理可直接求出结果.【题文】13在直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，若其终边经过点，且，定义：，称“”为“的正余弦函数”，若，则_ .【知识点】三角函数中的新概念问题. C1 【答案】【解析】 解析：因为，所以. 所以终边在直线y=x上，所以，当时，；当时，.综上得.【思路点拨】根据题设中的新定义，得终边在直线y=x上，讨论与两种情况得的值.【题文】14.如图，四边形是边长为1的正方形，延长至，使得。动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方
11、向运动一周回到点，.则的取值范围为_【知识点】平面向量基本定理；向量的坐标运算；不等式的性质. F2 E1【答案】【解析】 解析：建立如图所示的坐标系，则B(1，0),E(-2，1),所以.当P时，；当时，；当时，；当时, .综上得的取值范围为.【思路点拨】建立如图所示的坐标系，则B(1，0),E(-2，1),所以，然后对点P在四个边上的位置进行讨论即可得出结论.【题文】15.在实数集R中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”.类似的，我们在平面向量集上也可以定义一个称“序”的关系，记为“”.定义如下：对于任意两个向量，“”当且仅当“”或“”。按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：
12、若，则；若，则；若，则对于任意；对于任意向量，若，则。其中真命题的序号为_【知识点】平面向量的应用；命题真假的判断；简单的合情推理. F4 A2【答案】【解析】 解析：的横坐标10，的横坐标0=0，且纵坐标10,.是真命题；由向量中“序”的定义可得，具有传递性.故是真命题；，设，则，成立.故是真命题；取，有，但，不满足，故是假命题. 真命题的序号为.【思路点拨】根据平面向量集中“序”关系的定义，逐一分析各命题的真假即可.【题文】三解答题（本大题6个小题，共75分，请把答案填在答题卷上）【题文】16（12分）集合，若命题，命题，且是必要不充分条件，求实数的取值范围。【知识点】两角和与差的三角函数
13、；二次函数在某一区间上的值域；充分条件；必要条件. C5 B5 A2【答案】【解析】 解析： -5分故 -6分在为减函数，故，-8分又命题，命题，是必要不充分条件，故-10分且，从而 -12分【思路点拨】先化简集合A、B，由是必要不充分条件得，从而得关于m的不等式组求解.【题文】17.（12分）如图，海上有两个小岛相距10，船O将保持观望A岛和B岛所成的视角为，现从船O上派下一只小艇沿方向驶至处进行作业，且设。（1）用分别表示和，并求出的取值范围；（2）晚上小艇在处发出一道强烈的光线照射A岛，B岛至光线的距离为，求BD的最大值【知识点】解三角形.C8【答案】【解析】(1) (2) BD的最大值
14、为10解析：（1）在中，由余弦定理得， 又，所以 ， 1分在中，由余弦定理得， ， 3分 +得，-得，即， 4分 又，所以，即， 又，即， 所以 6分 （2）易知，故， 8分 又，设， 所以， 9分 又 10分则在上是增函数， 所以的最大值为，即BD的最大值为10 12分（利用单调性定义证明在上是增函数，同样给满分；如果直接说出 上是增函数，【思路点拨】根据三角形边与角的关系，利用余弦定理和等面积法可求出结果【题文】18（12分）在四棱锥中， ，点是线段上的一点，且，（1）证明：面面； （2）求直线与平面所成角的正弦值【知识点】面面垂直的判定；线面角的求法. G5 G11【答案】【解析】(1)
15、略(2) 解析：（1）由，得，又因为，且，所以面， 4分且面所以，面面。 6分（2）过点作，连结，因为，且，所以平面，又由平面，所以平面平面，平面平面，过点作，即有平面，所以为直线与平面所成角 9分在四棱锥中，设，则，从而，即直线与平面所成角的正弦值为【思路点拨】（1）要证面面垂直，只需证其中一个平面内的直线垂直于另一平面，对于本题，只需证明PMAB，可由ABPPBM证明PMAB；（2）过点作，连结，证明平面平面，过点作，则为直线与平面所成角在四棱锥中，设，则，从而.【题文】19（12分）某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮
16、的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试。学生甲三轮考试通过的概率分别为，且各轮考核通过与否相互独立。（1）求甲通过该高校自主招生考试的概率；（2）若学生甲每通过一轮考核，则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金。记学生甲得到教育基金的金额为，求的分布列和数学期望。【知识点】概率；分布列与数学期望.K1,K6【答案】【解析】（1）（2）的分布列为数学期望为-解析：（1）设“学生甲通过该高校自主招生考试”为事件A，则P(A)所以学生甲通过该高校自主招生考试的概率为-4分（2）的可能取值为0元，1000元，2000元，3000元-5分，-9分所以，的分布列为数学期望
17、为-12分【思路点拨】由题意可求出变量取各值时的概率，再列出分布列，根据公式求出数学期望即可.【题文】20.（13分）已知数列中,且点在直线上。(1)求数列的通项公式；(2)若函数求函数的最小值；(3)设表示数列的前项和.试问:是否存在关于的整式,使得对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在,试说明理由。【知识点】已知递推公式求通项；求数列的最小值； 数列综合. D1 D5【答案】【解析】 (1) (2) (3) 略解析： （1）点在直线x-y-1=0上，即，且=1数列是以1为首项1为公差的等差数列.，=1也满足，（2）由（1）知，则，是的增函数，函数的最小值
18、是；（3），即，.故存在关于n的整式使等式对于一切不小于2 的自然数n恒成立. 法二：先由n=2,n=3的情况，猜想出g(n)=n，再用数学归纳法证明.【思路点拨】（1）由已知得，数列是以1为首项1为公差的等差数列，所以；（2）判断是的增函数即可得结论；（3）构造新的递推式，然后用累加法求得结论.【题文】21. （14分）设函数,.（1）求的极大值；（2）求证：（3）当方程有唯一解时，试探究函数与的图象在其公共点处是否存在公切线，若存在.研究的值的个数；若不存在，请说明理由.【知识点】导数.B11【答案】【解析】(1) (2) (3)略解析：（1）由得 从而在单调递增,在单调递减. 4分（2）证明： 6分分别令 ， 9分（3）解：由（1）的结论：方程有唯一解 函数假设的图象在其公共点处存在公切线， 由得：，即： 又函数的定义域为：当时， 函数与的图象在其公共点处不存在公切线；当时，令即： 即：下面研究方程在解的个数令： 在递减，递增； 且且当； 当在有两个零点方程在解的个数为2综上：当时，函数与的图象在其公共点处不存在公切线；当时，符合题意的的值有2个 【思路点拨】利用导数研究函数的最值，再根据导数证明函数的单调性来证明不等式，构造函数说明结论.