1、2015-2016学年河南省平顶山市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知复数z=2i，则z的值为（）A5BC3D2观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，则a10+b10=（）A28B76C123D1993ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，b=，则c=（）AB2CD14根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（）x345678y4.02.50.50.52.03.0Aa0，b0Ba0，b0Ca0，b0Da0，b05已知双曲线=1（a0）的离心率为2，则实数a=（
2、）A2BCD16已知数列an的前n项和Sn满足：Sn+Sm=Sn+m，且a1=1，那么a10=（）A1B9C10D557命题“对任意xR，都有x20”的否定为（）A对任意xR，都有x20B不存在xR，都有x20C存在x0R，使得x020D存在x0R，使得x0208若变量x，y满足约束条件，则2x+y的最大值是（）A2B4C7D89已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若|AF|=x0，则x0等于（）A1B2C4D810下列选项中，使不等式xx2成立的x的取值范围是（）A（，1）B（1，0）C（0，1）D（1，+）11通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，
3、得到如下的列联表： 男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由算得，P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是（）A在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”12设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，cR），若x=1为函数y=f（x）ex的一个极值点，则下列图象不可能为y=f（x）的图象是（）ABCD二、填空题（共4小
4、题，每小题5分，满分20分）13i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1=23i，则z2=14曲线y=5ex+3在点（0，2）处的切线方程为15观察下列不等式：，照此规律，第五个不等式为16已知函数f（x）=x2+ax+b（a，bR）的值域为0，+），若关于x的不等式f（x）c的解集为（m，m+6），则实数c的值为三、解答题（共4小题，满分48分）17四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积18已知等比数列an中，a1=，公比q=（）Sn为an的前n项和，证明：Sn=（）设bn=log3a1+l
5、og3a2+log3an，求数列bn的通项公式19设椭圆E： +=1的焦点在x轴上（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1PF1Q证明：当a变化时，点P在定直线x+y=1上20已知函数f（x）=2lnx+，m0（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（2）讨论函数g（x）=f（x）x的单调性；（3）若m1，证明：对于任意ba0，1选做题：从2123三个题目中选取一个作答，只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分。选修41：几何证明选讲（共1小题，满分10分
6、）21如图，平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于F点，求ADF与AFE的面积之比SADF：SAFE选修44：坐标系与参数方程22已知曲线C的参数方程为（t为参数），C在点（1，1）处的切线为l以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程选修45：不等式选讲23求不等式|x+2|x|1的解集选做题：从2426三个题目中选取一个作答，只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分。选修41：几何证明选讲（共1小题，满分12分）24如图，O为等腰三角形ABC内一点，O与ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分
7、别相切于E，F两点（1）证明：EFBC；（2）若AG等于O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积选修44：坐标系与参数方程25在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（）求C2的方程；（）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|选修45：不等式选讲26设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若abcd，则+；（2）+是|ab|cd|的充要条件2015-2016学年河南省平顶山市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、
8、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知复数z=2i，则z的值为（）A5BC3D【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】由z求出，然后直接利用复数代数形式的乘法运算求解【解答】解：由z=2i，得z=（2i）（2+i）=4i2=5故选：A2观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，则a10+b10=（）A28B76C123D199【考点】归纳推理【分析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，所求值为数列中的第十项根据数列的递推规律求解【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项
9、的和，所求值为数列中的第十项继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，第十项为123，即a10+b10=123，故选C3ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，b=，则c=（）AB2CD1【考点】正弦定理；二倍角的正弦【分析】利用正弦定理列出关系式，将B=2A，a，b的值代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，整理求出cosA的值，再由a，b及cosA的值，利用余弦定理即可求出c的值【解答】解：B=2A，a=1，b=，由正弦定理=得： =，cosA=，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，即1=3+c23c，解得：c=2或c=1（经检验
10、不合题意，舍去），则c=2故选B4根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（）x345678y4.02.50.50.52.03.0Aa0，b0Ba0，b0Ca0，b0Da0，b0【考点】线性回归方程【分析】通过样本数据表，容易判断回归方程中，b、a的符号【解答】解：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以b0，且回归方程经过（3，4）与（4，3.5）附近，所以a0故选：B5已知双曲线=1（a0）的离心率为2，则实数a=（）A2BCD1【考点】双曲线的简单性质【分析】由双曲线方程找出a，b，c，代入离心率，从而求出a【解答】解：由题意，e=2，解得，a=1故选D6已知数
11、列an的前n项和Sn满足：Sn+Sm=Sn+m，且a1=1，那么a10=（）A1B9C10D55【考点】等比数列的前n项和；数列的求和【分析】根据题意，用赋值法，令n=1，m=9可得：s1+s9=s10，即s10s9=s1=a1=1，进而由数列的前n项和的性质，可得答案【解答】解：根据题意，在sn+sm=sn+m中，令n=1，m=9可得：s1+s9=s10，即s10s9=s1=a1=1，根据数列的性质，有a10=s10s9，即a10=1，故选A7命题“对任意xR，都有x20”的否定为（）A对任意xR，都有x20B不存在xR，都有x20C存在x0R，使得x020D存在x0R，使得x020【考点】
12、命题的否定；全称命题【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意xR，都有x20”的否定为存在x0R，使得x020故选D8若变量x，y满足约束条件，则2x+y的最大值是（）A2B4C7D8【考点】简单线性规划【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值【解答】解：满足约束条件的可行域如下图中阴影部分所示：目标函数Z=2x+y，ZO=0，ZA=4，ZB=7，ZC=4，故2x+y的最大值是7，故选：C9已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（
13、x0，y0）是C上一点，若|AF|=x0，则x0等于（）A1B2C4D8【考点】抛物线的简单性质【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出【解答】解：抛物线C：y2=x的焦点为F（，0）A（x0，y0）是C上一点，|AF|=x0，x0=x0+，解得x0=1故选：A10下列选项中，使不等式xx2成立的x的取值范围是（）A（，1）B（1，0）C（0，1）D（1，+）【考点】其他不等式的解法【分析】通过x=，2验证不等式是否成立，排除选项B、C、D即可得到正确选项【解答】解：利用特殊值排除选项，不妨令x=时，代入xx2，得到，显然不成立，选项B不正确；当x=时，代入xx2，得到，显然不正确，排除
14、C；当x=2时，代入xx2，得到，显然不正确，排除D故选A11通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由算得，P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是（）A在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【考点】独立性检验的应用【分析】题目的条件中已经给
15、出这组数据的观测值，我们只要把所给的观测值同节选的观测值表进行比较，发现它大于6.635，得到有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”【解答】解：由题意算得，7.86.635，有0.01=1%的机会错误，即有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”故选：C12设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，cR），若x=1为函数y=f（x）ex的一个极值点，则下列图象不可能为y=f（x）的图象是（）ABCD【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象与图象变化【分析】先求出函数f（x）ex的导函数，利用x=1为函数f（x）ex的一个极值点可得a，b，c之间的关系，再代入函数f（x）=a
16、x2+bx+c，对答案分别代入验证，看哪个答案不成立即可【解答】解：由y=f（x）ex=ex（ax2+bx+c）y=f（x）ex+exf（x）=exax2+（b+2a）x+b+c，由x=1为函数f（x）ex的一个极值点可得，1是方程ax2+（b+2a）x+b+c=0的一个根，所以有a（b+2a）+b+c=0c=a法一：所以函数f（x）=ax2+bx+a，对称轴为x=，且f（1）=2ab，f（0）=a对于A，由图得a0，f（0）0，f（1）=0，不矛盾，对于B，由图得a0，f（0）0，f（1）=0，不矛盾，对于C，由图得a0，f（0）0，x=0b0f（1）0，不矛盾，对于D，由图得a0，f（0）
17、0，x=1b2af（1）0与原图中f（1）0矛盾，D不对法二：所以函数f（x）=ax2+bx+a，由此得函数相应方程的两根之积为1，对照四个选项发现，D不成立故选：D二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1=23i，则z2=2+3i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数对应的点的坐标，求出对称点的坐标，即可得到复数z2【解答】解：设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，复数z1，z2的实部相反，虚部相反，z1=23i，所以z2=2+3i故答案为：2+3i14曲线y=5ex+3在点（0，2）处的切线
18、方程为5x+y+2=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】利用导数的几何意义可得切线的斜率即可【解答】解：y=5ex，y|x=0=5因此所求的切线方程为：y+2=5x，即5x+y+2=0故答案为：5x+y+2=015观察下列不等式：，照此规律，第五个不等式为1+【考点】归纳推理【分析】由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性：左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方，右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，得出第n个不等式，即可得到通式，再令n=5，即可得出第五个不等式【解答】解：由已知中的不等式1+，1+，得出左边
19、式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，故可以归纳出第n个不等式是 1+，（n2），所以第五个不等式为1+故答案为：1+16已知函数f（x）=x2+ax+b（a，bR）的值域为0，+），若关于x的不等式f（x）c的解集为（m，m+6），则实数c的值为9【考点】一元二次不等式的应用【分析】根据函数的值域求出a与b的关系，然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m，m+6，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可【解答】解：函数f（x）=x2+ax+b（a，bR）的值域为0，+），f（x）
20、=x2+ax+b=0只有一个根，即=a24b=0则b=不等式f（x）c的解集为（m，m+6），即为x2+ax+c解集为（m，m+6），则x2+ax+c=0的两个根为m，m+6|m+6m|=6解得c=9故答案为：9三、解答题（共4小题，满分48分）17四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）在三角形BCD中，利用余弦定理列出关系式，将BC，CD，以及cosC的值代入表示出BD2，在三角形ABD中，利用余弦定理列出关系式，将AB，DA以及cosA的值代入表示出BD2，两者相等求出cosC
21、的值，确定出C的度数，进而求出BD的长；（2）由C的度数求出A的度数，利用三角形面积公式求出三角形ABD与三角形BCD面积，之和即为四边形ABCD面积【解答】解：（1）在BCD中，BC=3，CD=2，由余弦定理得：BD2=BC2+CD22BCCDcosC=1312cosC，在ABD中，AB=1，DA=2，A+C=，由余弦定理得：BD2=AB2+AD22ABADcosA=54cosA=5+4cosC，由得：cosC=，则C=60，BD=；（2）cosC=，cosA=，sinC=sinA=，则S=ABDAsinA+BCCDsinC=12+32=218已知等比数列an中，a1=，公比q=（）Sn为a
22、n的前n项和，证明：Sn=（）设bn=log3a1+log3a2+log3an，求数列bn的通项公式【考点】等比数列的前n项和【分析】（I）根据数列an是等比数列，a1=，公比q=，求出通项公式an和前n项和Sn，然后经过运算即可证明（II）根据数列an的通项公式和对数函数运算性质求出数列bn的通项公式【解答】证明：（I）数列an为等比数列，a1=，q=an=，Sn=又=SnSn=（II）an=bn=log3a1+log3a2+log3an=log33+（2log33）+（nlog33）=（1+2+n）=数列bn的通项公式为：bn=19设椭圆E： +=1的焦点在x轴上（1）若椭圆E的焦距为1，
23、求椭圆E的方程；（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1PF1Q证明：当a变化时，点P在定直线x+y=1上【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）利用椭圆的标准方程和几何性质即可得出，解出即可；（2）设P（x0，y0），F1（c，0），F2（c，0），其中利用斜率的计算公式和点斜式即可得出直线F1P的斜率，直线F2P的方程为斜率，利用，与椭圆的方程联立，然后判断点P在定直线x+y=1上【解答】解：（1）依题意，即，所以椭圆E的方程为（2）设P（x0，y0），F1（c，0），F2（c，0），其中因为直线F2P交y轴于点Q，所以
24、x0c，故直线F1P的斜率，直线F2P的斜率，直线F2P的方程为，Q点的坐标为所以直线F1Q的斜率为，由于 F1PF1Q，所以，化简得因为 P为椭圆E上第一象限内的点，将上式代入，得，且x0+y0=1，所以点P在定直线x+y=1上20已知函数f（x）=2lnx+，m0（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（2）讨论函数g（x）=f（x）x的单调性；（3）若m1，证明：对于任意ba0，1【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】（1）求解，利用导数判断即可；（2），求解导数，利用不等式求解即可（3）分类讨论0m1时，当时，g（x）0；当时，g（x）0；
25、当时，g（x）0；当m1时，g（x）=f（x）x在（0，+）上单调递减，即可的出结论【解答】解：（1）当m=e时，当时，f（x）0；时，f（x）=0；当时，f（x）0所以，时，f（x）取得最小值（2），1m12时，g（x）03，g（x）=f（x）x4在（0，+）5单调递减（3）证明：0m1时，1m0，当时，g（x）0；当时，g（x）0；当时，g（x）0即0m1时，g（x）=f（x）x在和上单调递减，在上单调递增由（2）知，当m1时，g（x）=f（x）x在（0，+）上单调递减，所以，当m1时，对任意ba0，f（b）bf（a）a，即对任意ba0，选做题：从2123三个题目中选取一个作答，只能做所选
26、定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分。选修41：几何证明选讲（共1小题，满分10分）21如图，平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于F点，求ADF与AFE的面积之比SADF：SAFE【考点】相似三角形的性质【分析】通过ABCD是平行四边形，推出，利用AFECFD，求出然后求解 SADF：SAFE【解答】（21甲）解：因为ABCD是平行四边形，所以ABDC，AB=DC，且又AFE=CFD，故AFECFD，因为ADF与AFE的高相等，所以 SADF：SAFE=DF：FE=3：1选修44：坐标系与参数方程22已知曲线C的参数方程为（t为参数），C在点（1，1）处的切
27、线为l以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】化参数方程与普通方程，求出圆的圆心与半径，求出切线的斜率，然后求解切线方程，转化为极坐标方程【解答】解：因为曲线C的参数方程为（t为参数），所以其普通方程为x2+y2=2，即曲线C为以原点为圆心，为半径的圆由于点（1，1）在圆上，且该圆过（1，1）点的半径的斜率为1，所以切线l的斜率为1，其普通方程为x+y2=0，化为极坐标方程为cos+sin=2，即选修45：不等式选讲23求不等式|x+2|x|1的解集【考点】绝对值不等式的解法【分析】通过讨论x的范围，去掉绝对值
28、号，求出不等式的解集即可【解答】解：当x2时，原不等式可以化为：（x+2）（x）1，即21，所以x2当2x0时，原不等式可以化为（x+2）（x）1，即x，所以2x当x0时，原不等式可以化为（x+2）x1，即21，此时无解故原不等式的解集为x|x选做题：从2426三个题目中选取一个作答，只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分。选修41：几何证明选讲（共1小题，满分12分）24如图，O为等腰三角形ABC内一点，O与ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点（1）证明：EFBC；（2）若AG等于O的半径，且AE=MN=2，求四边形EB
29、CF的面积【考点】相似三角形的判定【分析】（1）通过AD是CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OEAE，利用SABCSAEF计算即可【解答】（1）证明：ABC为等腰三角形，ADBC，AD是CAB的角平分线，又圆O分别与AB、AC相切于点E、F，AE=AF，ADEF，EFBC；（2）解：由（1）知AE=AF，ADEF，AD是EF的垂直平分线，又EF为圆O的弦，O在AD上，连结OE、OM，则OEAE，由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，OAE=30，ABC与AEF都是等边三角形，AE=2，AO=
30、4，OE=2，OM=OE=2，DM=MN=，OD=1，AD=5，AB=，四边形EBCF的面积为=选修44：坐标系与参数方程25在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（）求C2的方程；（）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|【考点】简单曲线的极坐标方程；轨迹方程【分析】（I）先设出点P的坐标，然后根据点P满足的条件代入曲线C1的方程即可求出曲线C2的方程；（II）根据（I）将求出曲线C1的极坐标方程，分别求出射线=与C1的交点A的极径为1，以及射线=
31、与C2的交点B的极径为2，最后根据|AB|=|21|求出所求【解答】解：（I）设P（x，y），则由条件知M（，）由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为（为参数）（）曲线C1的极坐标方程为=4sin，曲线C2的极坐标方程为=8sin射线=与C1的交点A的极径为1=4sin，射线=与C2的交点B的极径为2=8sin所以|AB|=|21|=选修45：不等式选讲26设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若abcd，则+；（2）+是|ab|cd|的充要条件【考点】不等式的证明；必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+
32、b=c+d，abcd，即可得证；（2）从两方面证，若+，证得|ab|cd|，若|ab|cd|，证得+，注意运用不等式的性质，即可得证【解答】证明：（1）由于（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，abcd，则，即有（+）2（+）2，则+；（2）若+，则（+）2（+）2，即为a+b+2c+d+2，由a+b=c+d，则abcd，于是（ab）2=（a+b）24ab，（cd）2=（c+d）24cd，即有（ab）2（cd）2，即为|ab|cd|；若|ab|cd|，则（ab）2（cd）2，即有（a+b）24ab（c+d）24cd，由a+b=c+d，则abcd，则有（+）2（+）2综上可得， +是|ab|cd|的充要条件2016年8月27日