1、第7讲 机械能守恒定律 功能关系 1.机械能守恒定律：(1)守恒条件。只有_做功。虽受其他力，但其他力_。重力或系统内弹簧弹力 不做功或做的总功为零(2)三种表达式。守恒的观点：_。转化的观点：_。转移的观点：_。Ek1+Ep1=Ek2+Ep2 Ep=-Ek EA增=EB减 2.几种常见的功能转化关系：(1)合力的功影响_，关系式为_。(2)重力的功影响_，关系式为_。(3)弹簧弹力的功影响_，关系式为_。(4)分子力的功影响_，关系式为_。动能 W合=Ek 重力势能 WG=-Ep 弹性势能 WH=-Ep 分子势能 W分=-Ep(5)电场力的功影响_，关系式为_。(6)滑动摩擦力的功影响_，关
2、系式为_。(7)除重力和弹力之外的其他力的功影响_，关系式为 _。(8)克服安培力的功影响_，关系式为_。电势能 W电=-Ep 内能 Ffl相对=E内 机械能 W其=E机 电能 W克安=E电 1.(多选)(2011新课标全国卷)一蹦极运动员身系弹性蹦极绳 从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离。假 定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是 ()A.运动员到达最低点前重力势能始终减小 B.蹦极绳张紧后的下落过程中，弹性力做负功，弹性势能增加 C.蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守 恒 D.蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关【解析】选A、B
3、、C。运动员在下落过程中，重力做正功，重力势能减小，故A正确。蹦极绳张紧后的下落过程中，弹性力向上，位移向下，弹性力做负功，弹性势能增加，故B正确。选取运动员、地球和蹦极绳为一系统，在蹦极过程中，只有重力和系统内弹力做功，这个系统的机械能守恒，故C正确。重力势能改变的表达式为Ep=mgh，由于h是绝对的，与选取的重力势能参考零点无关，故D错。2.(多选)(2013大纲版全国卷)如图，一固定斜面倾角为 30，一质量为m的小物块自斜面底端以一定的初速度，沿斜 面向上做匀减速运动，加速度的大小等于重力加速度的大小g。若物块上升的最大高度为H，则此过程中，物块的()A.动能损失了2mgH B.动能损失
4、了mgH C.机械能损失了mgH D.机械能损失了 1 mgH2【解析】选A、C。小物块向上做匀减速直线运动，合外力沿斜 面向下，由牛顿第二定律得F合=mg=ma，根据动能定理损失的 动能等于F合s=2mgH,A对,B错；小物块在向上运动过程 中，重力势能增加了mgH，而动能减少了2mgH，故机械能损失 了mgH，C对，D错。mgHsin303.(多选)(2013山东高考)如图 所示，楔形木块abc固定在水平 面上，粗糙斜面ab和光滑斜面bc 与水平面的夹角相同，顶角b处安装一定滑轮。质量分别为M、m(Mm)的滑块，通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行。两滑块由静止释放后，沿斜面做
5、匀加速运动。若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中()A.两滑块组成系统的机械能守恒 B.重力对M做的功等于M动能的增加 C.轻绳对m做的功等于m机械能的增加 D.两滑块组成系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功【解析】选C、D。对于M和m组成的系统，除了重力、轻绳弹力做功外，摩擦力对M做了功，系统机械能不守恒，选项A错误；对于M，合外力做的功等于其重力、轻绳拉力及摩擦力做功的代数和，根据动能定理可知，M动能的增加等于合外力做的功，选项B错误；对于m，只有其重力和轻绳拉力做了功，根据功能关系可知，除了重力之外的其他力对物体做的正功等于物体机械能的增加量，选项C正确；对于M和m组成的
6、系统，系统内轻绳上弹力做功的代数和等于零，只有两滑块的重力和M受到的摩擦力对系统做了功，根据功能关系得，M的摩擦力对系统做的功等于系统机械能的损失量，选项D正确。热点考向1 机械能守恒定律的应用【典例1】(2013芜湖一模)如图所示，质 量分别为2m和m的A、B两物体用不可伸长的 轻绳绕过轻质定滑轮相连，开始两物体处 于同一高度，绳处于绷紧状态，轻绳足够 长，不计一切摩擦。现将两物体由静止释 放，在A落地之前的运动中，下列说法中正确的是()A.A物体的机械能增大 B.A、B组成系统的重力势能增大 C.下落时间t过程中，A的机械能减少了 D.下落时间t时，B所受拉力的瞬时功率为 2 22 mg
7、t921 mg t3【解题探究】(1)分别以A、B为研究对象，由静止释放后：轻绳对A物体做_，A物体机械能_(选填“增加”或“减少”)。轻绳对B物体做_，B物体机械能_(选填“增加”或“减少”)。负功 减少 正功 增加(2)对于A、B组成的系统，由静止释放后：系统机械能_(选填“守恒”或“不守恒”)。整体加速度大小为 ，绳子的拉力为 。时间t内下落的高度为 ,此时A、B速度的大小为 。守恒 1 g34 mg321 gt61gt3【解析】选C。在A下降的过程中，拉力对A做负功，对B做正 功，A的机械能减小，B的机械能增大，A、B系统的机械能守 恒，所以A、B错误。释放后，A、B物体都做初速度为零
8、的匀 加速直线运动。由牛顿第二定律得2mg-mg=3ma，故加速度 t时间内A物体下降高度为 绳子拉力大小为 拉力对A物体所做负功为 A物体机械能减少 C对。下落时间t时，B物体的运动速度为 拉力功率大小为 D错。1ag3，21 gt,64 mg3。2 22 mg t,92 22 mg t,91 gt,324 mg t9，【总结提升】应用机械能守恒定律解题时的三点注意(1)注意研究对象的选取：研究对象的选取是解题的首要环节,有的问题选单个物体(实为一个物体与地球组成的系统)为研究对象机械能不守恒,但选此物体与其他几个物体组成的系统为研究对象,机械能却是守恒的。如该例题中，A或B机械能不守恒，但
9、A、B组成的系统机械能守恒。(2)注意研究过程的选取：有些问题研究对象的运动过程分几个阶段,有的阶段机械能守恒,而有的阶段机械能不守恒。因此，在应用机械能守恒定律解题时要注意过程的选取。(3)注意机械能守恒表达式的选取：守恒观点的表达式适用于单个或多个物体机械能守恒的问题，解题时必须选取参考平面。而后两种表达式都是从“转化”和“转移”的角度来反映机械能守恒的，不必选取参考平面。【变式训练】(多选)(2013长春二模)如图 所示，物体A的质量为M，圆环B的质量为m，通过轻绳连接在一起，跨过光滑的定滑轮，圆环套在光滑的竖直杆上，设杆足够长。开 始时连接圆环的绳处于水平，长度为l，现 从静止释放圆环
10、。不计定滑轮和空气的阻力，以下说法正确的是()A.当M=2m时，l越大，则圆环m下降的最大高度h越大 B.当M=2m时，l越大，则圆环m下降的最大高度h越小 C.当M=m时，且l确定，则圆环m下降过程中速度先增大后减小到零 D.当M=m时，且l确定，则圆环m下降过程中速度一直增大【解析】选A、D。由系统机械能守恒可得 mgh=当M=2m时，所 以A选项正确；当M=m时，对圆环受力分析 如图，可知 故圆环在下降 过程中系统的重力势能一直在减少，则系 统的动能一直在增加，所以D选项正确。22Mg(h)，ll4h3，lTmgFMg,cos【变式备选】如图所示，一玩滚轴溜冰的小孩(可视作质点)质量为m
11、=30 kg，他在左侧平台上滑行一段距离后做平抛运动，恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点进入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑，A、B为圆弧两端点，其连线水平。已知圆弧半径为R=1.0 m，对应圆心角为=106，平台与AB连线的高度差为h=0.8 m(计算中取g=10 m/s2，sin53=0.8，cos53=0.6)求：(1)小孩做平抛运动的初速度；(2)小孩运动到圆弧轨道最低点O时对轨道的压力。【解析】(1)由于小孩无碰撞进入圆弧轨道，即小孩落到A点时 速度方向沿A点切线方向，则 tan=又由 得t=0.4 s，而vy=gt=4 m/s，解得v0=3 m/s。yx0vgttan53vv，21hgt2
12、2hg(2)设小孩到最低点的速度为v3，由机械能守恒得 在最低点，根据牛顿第二定律，有 代入数据解得FN=1 290 N，由牛顿第三定律可知，小孩对轨道的压力为1 290 N。答案：(1)3 m/s (2)1 290 N 223011mvmvmghR 1 cos5322，23NvFmgm R，热点考向2 功能关系的综合应用【典例2】(12分)(2013南昌一模)某人通过定滑轮将一物体提升。第一次，此人竖直向下拉绳，如图甲所示，使物体匀速上升高度h，该过程人对物体做功为W1。第二次，此人以速度v匀速向左拉着绳运动，如图乙所示，使物体上升相同的高度，此时绳子与水平面夹角为，已知重力加速度为g。求第
13、二次人对物体做的功。【解题探究】(1)第一次拉升物体，动能_，重力势能_，故拉力做 的功等于_。(2)第二次拉升物体，当人的速度为v时，物体的速度大小也是 v吗？为什么？提示：物体的速度大小不是v。对人拉绳的末端速度分解如图 所示，此时物体的速度为v,故v=vcos。不变 增加 物体重力势能的增加量【解析】设物体的质量为m，第一次人做的功为 W1=mgh (3分)第二次物体升高h时的速度为 v=vcos (3分)第二次人对物体做的功为 (3分)解得 (3分)答案：221Wmghmv222121W vWWcos2gh2211W vWcos2gh【总结提升】解决功能关系问题应该注意的三个方面(1)
14、分清是什么力做功，并且分析该力做正功还是做负功；根据功能之间的对应关系，判定能的转化形式，确定能量之间的转化情况。(2)也可以根据能量之间的转化情况，确定是什么力做功，尤其可以方便计算变力做功的多少。(3)功能关系反映了做功和能量转化之间的对应关系，功是能量转化的量度和原因，在不同问题中的具体表现不同。【变式训练】(多选)(2013玉林一模)升降机底板上放有一质量为100 kg的物体，物体随升降机由静止开始竖直向上移动 5 m时速度达到4 m/s，则此过程中(g取10 m/s2)()A.升降机对物体做功5 800 J B.合外力对物体做功5 800 J C.物体的重力势能增加5 000 J D
15、.物体的机械能增加5 000 J【解析】选A、C。物体重力势能的增加量Ep=mgh=10010 5 J=5 000 J,故C正确。动能的增加量Ek=100 42 J=800 J,机械能的增加量E=Ep+Ek=5 800 J，故D 错误。由功能关系知，升降机对物体做功WF=E=5 800 J，故A正确。合外力对物体做功W合=Ek=800 J，故B错误。21 mv212热点考向3 机械能守恒定律与力学规律的综合应用【典例3】(14分)(2013南京一模)光滑水平面上有质量为M、高度为h的光滑斜面体A，斜面顶部有质量为m的小物体B，开始时都处于静止状态。从某时刻开始释放物体B，在B沿斜面下滑的同时斜
16、面体A沿水平方向向左做匀加速运动。经过时间t，斜面体水平移动s，小物体B刚好滑到底端。(1)求运动过程中斜面体A所受的合力FA；(2)分析小物体B做何种运动，并说明理由；(3)求小物体B到达斜面体A底端时的速度vB的大小。【解题探究】(1)斜面体A所受合力FA的求解：研究对象：_。物理学方程。a.s=。b.F合=_。光滑斜面体A 21 at2Ma(2)物体B运动性质的判断：物体B的运动性质：_。判断依据是什么？提示：物体A做匀加速直线运动，故B对A的作用力恒定，由牛 顿第三定律知，A对B的作用力是恒力，又由于B受到的重力也 是恒力，故B受到的合力是恒力，又由于B的初速度为零，故B 做匀加速直线
17、运动。匀加速直线运动(3)在求解小物体B到达斜面体A底端时的速度vB时如何选取研 究对象？请写出该过程机械能守恒的表达式。提示：选A、B组成的系统为研究对象，机械能守恒方程为 22AB11mghMvmv22。【解析】(1)对A，在匀加速运动过程中 (2分)由牛顿第二定律得 FA=Ma (2分)由得 (1分)(2)物体B做匀加速直线运动。因为A做匀加速运动，B对A的作 用力一定，由牛顿第三定律知，A对B的作用力也一定，B受到 的重力也是恒力，所以B受到的合力是恒力，又由于B的初速 度为零，故B做匀加速运动。(4分)21sat2A22MsFt(3)对A、B组成的系统，由机械能守恒定律得 (2分)(
18、2分)由得 (1分)答案：(1)(2)见解析(3)22AB11mghMvmv22A2svatt2B24Msv2ghmt22Mst224Ms2ghmt【拓展延伸】在该题中，(1)若斜面体A斜面的倾角为，则B对A作用力FBA的大小是多 少？提示：由第(1)问求得A所受的合力 对A进行受力分析如图 FBAsin=FA 由得 A22MsFtBA22MsFt sin(2)B的机械能减少了多少？提示：B的动能增加，重力势能减少，故B的机械能减少了EB减 222BA2112MsmghmvMv22t。【总结提升】解决机械能守恒综合题目的一般方法(1)对物体进行运动过程的分析，分析每一运动过程的运动规律。(2)
19、对物体进行每一过程中的受力分析，确定有哪些力做功，有哪些力不做功，哪一过程中满足机械能守恒定律的条件。(3)分析物体的运动状态，根据机械能守恒定律及有关的力学规律列方程求解。【变式训练】(多选)(2013钦州一模)如图所示，物体A、B通过细绳及轻质弹 簧连接在轻滑轮两侧，物体A、B的质量 分别为m、2m。开始时细绳伸直，用手 托着物体A使弹簧处于原长，且A与地面 的距离为h，物体B静止在地面上。放手后物体A下落，与地面即将接触时速度为v，此时物体B对地面恰好无压力。若在物体A下落的过程中，弹簧始终处在弹性限度内，则A接触地面前的瞬间()A.物体A的加速度大小为g，方向竖直向下 B.弹簧的弹性势
20、能等于 C.物体B有向上的加速度 D.弹簧对物体A拉力的瞬时功率大小为2mgv 21mghmv2【解析】选B、D。当A即将接触地面时，物体B对地面无压力，对B受力分析可知，细绳拉力等于轻弹簧弹力F=2mg，选项C错 误；然后对A受力分析可得：F-mg=ma，可得a=g,方向竖直向 上，选项A错误；A下落过程中，A与弹簧整体机械能守恒，可 得 弹簧的弹性势能 选项B正 确；拉力的瞬时功率为P=Fv=2mgv，选项D正确。2p1mghEmv,22p1Emghmv,21.(2013沈阳一模)如果一个物体在运动的过程中克服重力做了80 J的功，则()A.物体的重力势能一定增加80 J B.物体的机械能
21、一定增加80 J C.物体的动能一定减少80 J D.物体的机械能一定减少80 J【解析】选A。物体重力势能的改变量由重力做功决定，克服 重力做了80 J的功，即重力做了80 J的负功，重力势能增加 80 J，A正确。机械能的变化量由除重力之外的力做功决定，动能的变化量由合外力做功决定，由于本题除重力之外的力未 知，故B、C、D均错。2.(多选)(2013盐城一模)如图所示，离水平地面一定高处水平固定一内壁 光滑的圆筒，筒内固定一轻质弹簧，弹簧处于自然长度。现将一小球从地 面以某一初速度斜向上抛出，刚好能水平进入圆筒中，不计空气阻力。下列说法中正确的是()A.弹簧获得的最大弹性势能小于小球抛出
22、时的动能 B.小球从抛出到将弹簧压缩到最短的过程中小球的机械能守恒 C.小球抛出的初速度大小仅与圆筒离地面的高度有关 D.小球从抛出点运动到圆筒口的时间与小球抛出时的角度无关【解析】选A、D。小球从抛出到弹簧压缩到最短的过程中，只 有重力和弹力做功，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，即 所以EpEk0，故A对、B错。运用逆向思 维分析小球的斜上抛过程，即分析小球的平抛运动。设平抛时 的初速度为v1,则由机械能守恒得 故v0与 v1、h有关,C错。在竖直方向 t与h有关,D对。2k00p1EmvmghE,2221011mvmghmv,2221hgt,23.(2013西安一模)如图所示，用轻弹簧将质
23、 量均为m=1 kg的物块A和B连接起来，将它们固 定在空中，弹簧处于原长状态，A距地面的高 度h1=0.90 m。同时释放两物块，A与地面碰撞 后速度立即变为零，由于B压缩弹簧后被反弹，使A刚好能离开地面(但不继续上升)。若将B物 块换为质量为2m的物块C(图中未画出)，仍将它与A固定在空中且弹簧处于原长，从A距地面的高度为h2处同时释放，C压缩弹簧被反弹后，A也刚好能离开地面，已知弹簧的劲度系数k=100 N/m，求h2的大小。【解析】设A物块落地时，B物块的速度为v1,则有：设A刚好离地时，弹簧的形变量为x,对A物块有：mg=kx 从A落地后到A刚好离开地面的过程中，A、B及弹簧组成的系
24、统 机械能守恒，则有：换成C后，设A落地时，C的速度为v2，则有：2111 mvmgh221p1 mvmgxE2 2221 2mv2mgh2从A落地后到A刚好离开地面的过程中，A、C及弹簧组成的系统 机械能守恒，则有：联立解得：h2=0.5 m。答案：0.5 m 22p1 2mv2mgxE2 4.如图所示,将一质量为m=0.1 kg的小球自水平平台右端O点以初速度v0水平抛出,小球飞离平台后由A点沿切线落入竖直光滑圆轨道ABC,并沿轨道恰好通过最高点C,圆轨道ABC的形状为半径R=2.5 m的圆截去了左上角127的圆弧,CB为其竖直直径(sin53=0.8,cos53=0.6,重力加速度g取1
25、0 m/s2)。求:(1)小球经过C点的速度大小;(2)小球运动到轨道最低点B时小球对轨道的压力大小;(3)平台末端O点到A点的竖直高度H。【解析】(1)小球沿轨道恰好通过最高点C,仅由重力提供向心 力,即 解得vC=5 m/s。(2)从B点到C点,取B点为参考面,由机械能守恒定律得 在B点对小球受力分析,2Cvmgm,R22BC11mvmvmg 2R22由牛顿第二定律得 解得FN=6.0 N。据牛顿第三定律,小球对轨道的压力大小也为6.0 N。(3)从A点到B点,取B点为参考面,由机械能守恒定律得 解得 在A点进行速度的分解有vy=vAsin53 所以 答案:(1)5 m/s (2)6.0
26、N (3)3.36 m 2BNvFmgm,R22AB11mvmgR 1 cos53mv22 Av105 m/s2yvH3.36 m2g七 力学综合问题的规范求解【案例剖析】(18分)(2013牡丹江 一模)如图所示，x轴与水平传送带 重合，坐标原点O在传送带的左端，传送带长L=8 m，匀速运动的速度 v0=5 m/s。一质量m=1 kg 的小物块，轻轻放在传送带上xP=2 m的P点。小物块随传送带运动到Q点后冲上光滑斜面且刚 好到达N点(小物块到达N点后被收集，不再滑下)。若小物块 经过Q处无机械能损失，小物块与传送带间的动摩擦因数=0.5，重力加速度g=10 m/s2。求：(1)N点的纵坐标
27、；(2)小物块在传送带上运动产生的热量；(3)若将小物块轻轻放在传送带上的某些位置，最终均能沿光滑斜面越过纵坐标yM=0.5 m的M点，求这些位置的横坐标范围。【审题】抓住信息，准确推断 关键信息 信息挖掘 题 干 轻轻放在传送带上 小物块初速度为零 冲上光滑斜面且刚好到达N点 斜面上没有摩擦力,vN=0 小物块与传送带间的动摩擦因数=0.5 考虑小物块在传送带上的摩擦力 问 题 在传送带上运动产生的热量 该热量为摩擦生热 横坐标范围 可求刚好能越过M点的小物块的横坐标【破题】精准分析,无破不立(1)N点纵坐标yN的求解。小物块在传送带上是否一直加速，并说出判断依据：小物块 先做_，然后与传送
28、带一起做_；依据：小 物块加速到v0=5 m/s时运动的位移x=2.5 m(L-xP)=6 m。小物块在Q点的速度为v0=_。匀加速运动 匀速运动 20v2 g5 m/s 小物块冲上光滑斜面的过程中满足何种规律，请写出物理学 方程。提示：小物块冲上光滑斜面的过程中满足机械能守恒，物理学 方程为 20N1 mvmgy2。(2)摩擦生热的计算公式为Q=_。(3)使小物块能越过M点应具备什么条件？提示：应使小物块到达Q点时获得足够的动能，该动能由传送 带做功提供。mgx相对【解题】规范步骤，水到渠成(1)小物块在传送带上做匀加速运动的加速度a=g=5 m/s2。(1分)小物块与传送带共速时，所用时间
29、 (2分)运动的位移 (2分)0vt1 sa2P1xat2.5 mLx6 m2故小物块与传送带共速后以v0=5 m/s的速度匀速运动到Q，然 后冲上光滑斜面到达N点，由机械能守恒定律得 (2分)解得yN=1.25 m (1分)(2)小物块在传送带上相对传送带滑动的位移 x相对=v0t-x=2.5 m (2分)产生的热量Q=mgx相对=12.5 J (2分)20N1 mvmgy2(3)设在坐标为x1处轻轻将小物块放在传送带上，最终刚好能到达M点，由能量守恒得mg(L-x1)=mgyM (2分)代入数据解得x1=7 m (2分)故小物块在传送带上的位置横坐标范围0 x7 m (2分)答案：(1)1.25 m (2)12.5 J (3)0 x7 m【点题】突破瓶颈，稳拿满分(1)常见的思维障碍：在求小物块冲上斜面的初速度时，误认为小物块一直加速至 Q处，错误求出 在求摩擦生热时，误认为相对滑行的距离为L-xP=6 m，这样 求忽视了相对静止的一段距离。(2)因解答不规范导致失分：将Q=mgx相对写成Q=mg(L-xP)，书写不规范而失分。坐标范围写成x7 m或0 x7，不够准确而失分。0Pv2a Lx2 15 m/s。A组 B组