1、第二课时 利用导数研究函数的极值、最值【知识梳理】1.函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点:若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近 其他点的函数值_,f(a)=0,而且在点x=a附近的 左侧_,右侧_,则点a叫做函数的极 小值点,f(a)叫做函数的极小值.都小 f(x)0(2)函数的极大值与极大值点:若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近 其他点的函数值_,f(b)=0,而且在点x=b附近的 左侧_,右侧_,则点b叫做函数的极 大值点,f(b)叫做函数的极大值.都大 f(x)0 f(x)0;当x 时,y0,f(x)在 上是增函数,所以f
2、(x)min=f(0)=答案:xx11esin xcos xe(cos xsin x)220,20,2011e0 1.2212考向一 运用导数解决函数的极值问题【考情快递】命题方向命题视角已知函数求极值 给出函数,利用函数的单调性及极值的概念确定函数的极值,属较难题已知函数的极值求参数的值或范围给出函数的极值,利用导数及函数的单调性确定参数的值,属中档题【考题例析】命题方向1:已知函数求极值【典例1】(2015安徽高考)已知函数f(x)=(a0,r0).(1)求f(x)的定义域,并讨论f(x)的单调性.(2)若 =400,求f(x)在(0,+)内的极值.2ax(xr)ar【解题导引】(1)令分
3、母不等于0即可得函数的定义域,并结合导数讨论函数的单调性.(2)利用(1)中的结论,找出极值点从而求出极值.【规范解答】(1)由题意知x-r,所以定义域为(-,-r)(-r,+),f(x)=f(x)=所以当xr时,f(x)0,当-rx0.222axax(xr)x2rxr，22222a(x2rxr)ax(2x2r)(x2rxr)4a(rx)(xr)(xr)，因此,f(x)的单调递减区间是(-,-r),(r,+);f(x)的单调递增区间是(-r,r).(2)由(1)可知f(x)在(0,r)上单调递增,在(r,+)上单 调递减,因此,x=r是f(x)的极大值点,所以f(x)在(0,+)内的极大值为f
4、(r)=2ara100.(2r)4r命题方向2:已知函数的极值求参数的值或范围【典例2】(2016太原模拟)f(x)=x3+ax2+ax+1有两个极值点x1,x2且x1 求a的取值范围.2,323【解题导引】(1)利用f(x)=0有两个不等实根求解.(2)将x1,x2用a表示,把f(x1)+f(x2)转化为关于a的不等式求解.23【规范解答】(1)f(x)=2x2+2ax+a,由题意知f(x)有两个不同零点,=4a2-8a0,即a2或a2或a0,g(a)=a2-2a=a(a-2),当a2时,g(a)0,g(a)为增函数,g(a)g(2)=0,符合题意,当a0,g(a)为增函数,又g(-1)=0
5、,由g(a)0=g(-1),此时-1a0,综上,a的取值范围是(-1,0)(2,+).3214aa,33【技法感悟】1.利用导数研究函数极值问题的一般流程 2.已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.(2)验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.易错提醒:若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值.【题组通关】1.(2016滨州模拟)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),且函数y=(1
6、-x)f(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)【解析】选D.由题干图可知,当x3,此时f(x)0;当-2x1时,01-x3,此时f(x)0;当1x2时,-11-x0,此时f(x)2时,1-x0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.2.(2016青岛模拟)设f(x)是函数f(x)的导函数,y=f(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能 是()【解
7、析】选C.方法一:由y=f(x)的图象可以清晰地看出,当x(0,2)时,f(x)0,则f(x)为减函数,只有C项符合.方法二:在导函数f(x)的图象中,零点0的左侧函数值为正,右侧为负,由此可知原函数f(x)在x=0时取得极大值.又零点2的左侧为负,右侧为正,由此可知原函数f(x)在x=2时取得极小值,只有选项C符合.3.(2016成都模拟)已知函数f(x)=则函数f(x)的极小值为 .x53ln x44x2，【解析】因为f(x)=令f(x)=0,解得x=-1或x=5.因x=-1不在f(x)的定义域(0,+)内,故舍去.当x(0,5)时,f(x)0,故f(x)在(5,+)内为增函数.由此知函数
8、f(x)在x=5时取得极小值f(5)=-ln5.答案:-ln5 22x4x54x，4.(2016临沂模拟)设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f(x)满足f(1)=2a,f(2)=-b,其中常数a,bR.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程.(2)设g(x)=f(x)e-x,求函数g(x)的极值.【解析】(1)因为f(x)=3x2+2ax+b,所以f(1)=3+2a+b=2a,解得b=-3;f(2)=12+4a+b=-b,解得a=-.所以f(x)=x3-x2-3x+1,f(x)=3x2-3x-3,于是有f(1)=-,f(1)=-3,故曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的
9、切线方程为y-(-)=-3(x-1),即6x+2y-1=0.32325252(2)由(1)知g(x)=(3x2-3x-3)e-x,则g(x)=(-3x2+9x)e-x,令g(x)=0得x=0或x=3,于是函数g(x)在(-,0)上单调递减,在(0,3)上单调递增,在(3,+)上单调递减.所以函数g(x)在x=0处取得极小值g(0)=-3,在x=3处取得极大值g(3)=15e-3.考向二 运用导数解决函数的最值问题【典例3】(1)已知a,b为正实数,函数f(x)=ax3+bx+2x在0,1上的最大值为4,则函数f(x)在-1,0上的最小值为()33A.B.C.2 D.222(2)已知函数f(x)
10、=求函数f(x)在 上的最大值和最小值.1xkln xx，1ke，1,ee【解题导引】(1)先对函数f(x)求导,利用函数在0,1 上的最大值为4确定a,b之间的关系,然后利用f(x)在-1,0上的单调性及a,b之间的关系确定最小值.(2)先对函数f(x)求导,然后分k=0,k0进行分类 讨论确定函数的最值.【规范解答】(1)选A.因为函数f(x)=ax3+bx+2x,所以f(x)=3ax2+b+2xln2.又因为a,b为正实数,所以当0 x1时,3ax20,2xln20,则f(x)0,即f(x)在0,1上为增函数,所以f(1)最大且为a+b+2=4,即a+b=2.又当-1x0时,3ax20,
11、2xln20,即f(x)在-1,0上为增函数,所以f(-1)最小且为 所以函数f(x)在-1,0上的最小值为f(-1)=1ab2，122 3.2(2)因为f(x)=f(x)=若k=0,则f(x)=在 上恒有f(x)0,所以f(x)在 上单调递减.所以f(x)min=f(e)=f(x)max=若k0,f(x)=1xkln xx，22x(1x)kkx1.xxx 21x1,ee1,ee1 ee，1f()e 1.e 221k(x)kx1k.xx()若k0,由 得 则 所以 所以f(x)在 上单调递减.所以f(x)min=f(e)=f(x)max=综上,当 时,f(x)min=f(x)max=e-k-1
12、.1ke，1ek ，1x0k，21k(x)k0 x，1,ee1 e1kln ek 1ee，1f()ek1.e 1ke1k1e ，【母题变式】1.若典例(2)中的函数变为“f(x)=”,则函数 f(x)在 上的最大值如何?21ln xx21,ee【解析】由f(x)=则f(x)=因为当 xe时,令f(x)0得 x1;令f(x)0,得1xe,所以f(x)在 上单调递增,在1,e上单调递减,所以f(x)max=f(1)=21ln xx2，211xxxx，1e1e1,1e1.22.若把典例(2)中函数改为“f(x)=+alnx,aR”试 求解此函数在区间(0,e上的最小值.【解析】f(x)=x(0,+)
13、.当a=0时,在区间(0,e上f(x)=此时f(x)在区 间(0,e上单调递减,则f(x)在区间(0,e上的最小值为 f(e)=2x2ax2,x22,x2.e当 即a0时,在区间(0,e上f(x)0,此时f(x)在区间(0,e上单调递减,则f(x)在区间(0,e上的最小值为f(e)=20a ，2a,e 当 即 时,在区间(0,)上f(x)0,此时f(x)在区间 上单调递增;则f(x)在区间(0,e 上的最小值为 20ea，2ae2(0)a，2a2(,ea2(,ea22f()aaln.aa当 e,即0a 时,在区间(0,e上f(x)0,此时 f(x)在区间(0,e上单调递减,则f(x)在区间(0
14、,e上的 最小值为f(e)=综上所述,当a 时,f(x)在区间(0,e上的最小值为 当 时,f(x)在区间(0,e上的最小值为 2a2e2a.e 2e2a;e 2ae2aaln.a【规律方法】求函数f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a,b)内的极值.(2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b).(3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.【变式训练】(2016菏泽模拟)设f(x)=(1)若f(x)在(,+)上存在单调递增区间,求a的取值 范围.(2)当0a0,得a-,所以当a-时,f(x)在(,+)上存在单调递增区间
15、.211(x)2a24 ，23232929191923(2)令f(x)=0,得两根 所以f(x)在(-,x1),(x2,+)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增.当0a2时,有x11x24,所以f(x)在1,4上的最大值为f(x2).1211 8a11 8axx,22，又f(4)-f(1)=-+6a0,即f(4)f(1),所以f(x)在1,4上的最小值为f(4)=8a-得a=1,x2=2,从而f(x)在1,4上的最大值为f(2)=.272401633，103【加固训练】1.函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-,1)上有最小值,则函 数g(x)=在区间(1,+)上一定()A.有最小值 B.
16、有最大值 C.是减函数 D.是增函数 f xx【解析】选D.由函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-,1)上有最小值,可得a的取值范围为a0,所以g(x)为增函数.f(x)ax2axx，2a1x，2.若函数f(x)=(a0)在1,+)上的最大值为 则a的值为()2xxa33，3A.B.3 C.31 D.313【解析】选D.f(x)=令f(x)=0,得 或 (舍去),(1)若 1,即0a1时,在1,+)上f(x)1,即a1时,在 上f(x)0,在 上f(x)0,所以f(x)max=解得 不符合题意,综上知,a1a，)a)(，a3f(a)2a3，3a14，a31.3.(2016郑州模拟)已知函数
17、f(x)=(x-k)ex.(1)求f(x)的单调区间.(2)求f(x)在区间0,1上的最小值.【解析】(1)由f(x)=(x-k)ex,得f(x)=(x-k+1)ex,令f(x)=0,得x=k-1.f(x)与f(x)的变化情况如下:x(-,k-1)k-1(k-1,+)f(x)-0+f(x)单调递减-ek-1 单调递增 所以,f(x)的单调递减区间是(-,k-1);单调递增区间是(k-1,+).(2)当k-10,即k1时,函数f(x)在0,1上单调递增,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)=-k,当0k-11,即1k2时,由(1)知f(x)在0,k-1)上单调递减,在(k-1,1上单调递
18、增.所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k-1)=-ek-1.当k-11,即k2时,函数f(x)在0,1上单调递减,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)=(1-k)e.综上可知,当k1时,f(x)min=-k;当1k0,故f(x)在区间(-,-2)上为增函数;当x(-2,2)时,f(x)0,故f(x)在区间(2,+)上为增函数.由此可知f(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=16+c,f(x)在x=2处取得极小值f(2)=c-16.由题设条件知16+c=28,解得c=12.此时f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=-16+c=-4,因此f(x)在区间-3,3
19、上的最小值为-4.【规律方法】解决函数极值、最值问题的策略(1)求极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要讨论参数的大小.(2)求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过比较才能下结论.(3)函数在给定闭区间上存在极值,一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.【变式训练】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0,若x=时,y=f(x)有极值.(1)求a,b,c的值.(2)求y=f(x)在-3,1上的最大值和最小值.23【解析】(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f(x)=3x2+2ax+b.当x=1时,切线l的斜率
20、为3,可得2a+b=0,当x=时,y=f(x)有极值,则 可得4a+3b+4=0,232f()03，由,解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为1,所以f(1)=4.所以1+a+b+c=4,得c=5.(2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5,f(x)=3x2+4x-4.令f(x)=0,解得 当x变化时,f(x),f(x)的取值及变化情况如表所示:122x2x.3，x-3(-3,-2)-2 1 f(x)+0-0+f(x)8 单调递增 13 单调递减 单调递增 4 2(2,)3232(,1)3最小值为 最大值为13.9527，9527【加固训练】1.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在
21、x=2处取得极值,若m,n-1,1,则f(m)+f(n)的最小值是()A.-13 B.-15 C.10 D.15【解析】选A.求导得f(x)=-3x2+2ax,由函数f(x)在x=2处取得极值知f(2)=0,即-34+2a2=0,所以a=3.由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f(x)=-3x2+6x,易知f(x)在-1,0)上单调递减,在(0,1上单调递增,所以当m-1,1时,f(m)min=f(0)=-4.又因为f(x)=-3x2+6x的图象开口向下,且对称轴为x=1,所以当n-1,1时,f(n)min=f(-1)=-9.故f(m)+f(n)的最小值为-13.2.设函数f(x)=ax-l
22、n x,g(x)=ex-ax,其中a为正实数.(1)若x=0是函数g(x)的极值点,讨论函数f(x)的单调性.(2)若f(x)在(1,+)上无最小值,且g(x)在(1,+)上 是单调增函数,求a的取值范围;并由此判断曲线g(x)与 曲线y=ax2-ax在(1,+)上交点的个数.12【解析】(1)g(x)=ex-a,由g(0)=1-a=0得a=1.f(x)的定义域为(0,+),f(x)=函数f(x)在(1,+)上单调递增,在(0,1)上单调递减.11x，(2)由f(x)=若0a1则f(x)在(1,+)上有最小值f(a),当a1时,f(x)在(1,+)上单调递增无最小值.因为g(x)在(1,+)上是单调增函数,所以g(x)=ex-a0在(1,+)上恒成立,所以ae,综上所述a的取值范围为1,e.1ax1axx，g(x)=即 令 则h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增,极小值为h(2)=故两曲线没有公共点.21 axax2，x22eax，xx232ex22eh xh x.xx 2ee,2