1、6.2 等差数列及其前n项和最新考纲 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系 1等差数列的定义 如果一个数列_，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母 表示 从第2项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数公差d【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2
2、.()(3)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()(5)数列an满足an1ann，则数列an是等差数列()(6)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)1(2014福建)等差数列an的前n项和为Sn，若a12，S312，则a6等于()A8 B10 C12D14【答案】C【解析】由题意知 a12，由 S33a1322 d12，解得 d2，所以 a6a15d25212，故选 C.2(2015全国卷)已知an是公差为 1 的等差数列，Sn 为an的
3、前 n 项和，若 S84S4，则 a10()A.172B.192C10D12【解析】根据已知条件先求出 a1，然后利用通项公式计算a10.公差为 1，S88a18（81）218a128，S44a16.【答案】B S84S4，8a1284(4a16)，解得 a112，a10a19d129192.故选 B.3(2015重庆)在等差数列an中，若a24，a42，则a6()A1B0 C1D6【解析】根据等差数列的性质求解 an为等差数列，2a4a2a6，a62a4a2，即a62240.【答案】B 4(2015全国卷)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_【解析】利用an1Sn
4、1Sn和an1SnSn1消去an1，转化为Sn与Sn1之间的递推关系求解 an1Sn1Sn，an1SnSn1，Sn1SnSnSn1.Sn0，1Sn 1Sn11，即 1Sn1 1Sn1.又 1S11，1Sn 是首项为1，公差为1 的等差数列 1Sn1(n1)(1)n，Sn1n.【答案】1n题型一 等差数列基本量的运算【例 1】(1)(2015南昌市模拟测试)在数列an中，若 a12，且对任意的 nN*有 2an112an，则数列an前 10 项的和为()A2 B10C.52D.54(2)(2015陕西八校联考)在等差数列an中，a10，公差 d0，若 ama1a2a9，则 m 的值为()A37B
5、36C20D19【答案】(1)C(2)A【解析】(1)由 2an112an 得 an1an12，所以数列an是首项为2，公差为12的等差数列，所以 S1010(2)10（101）21252.(2)ama1a2a99a1982 d36da37，m37.故选 A.【思维升华】(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法 跟踪训练 1(1)若等差数列an的前 5 项和 S525，且 a23，
6、则 a7 等于()A12B13C14D15(2)记等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a112，S420，则S6 等于()A16B24C36D48(3)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且满足S33 S22 1，则数列an的公差是()A.12B1C2D3【解析】(1)由题意得 S55（a1a5）25a325，故 a35，公差 da3a22，a7a25d35213.(2)S426d20，d3，故 S6315d48.【答案】(1)B(2)D(3)C(3)Snn（a1an）2，Snn a1an2，又S33 S22 1，得a1a32a1a221，即 a3a22，数列an的公差为 2.题型二
7、等差数列的性质及应用【例 2】(1)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S39，S636，则 a7a8a9 等于()A63 B45C36 D27(2)(2015广东)在等差数列an中，若 a3a4a5a6a725，则 a2a8_(3)已知 Sn 是等差数列an的前 n 项和，若 a12 014，S2 0142 014 S2 0082 0086，则 S2 016_【解析】(1)由an是等差数列，得S3，S6S3，S9S6为等差数列 即2(S6S3)S3(S9S6)，得到S9S62S63S345，故选B.(2)根据等差数列的性质求解 因为等差数列an中，a3a4a5a6a725，所以5a52
8、5，即a55.所以a2a82a510.【答案】(1)B(2)10(3)2 016(3)由等差数列的性质可得Snn 也为等差数列，设其公差为 d.则 S2 0142 014 S2 0082 0086d6，d1.故 S2 0162 016S11 2 015d2 0142 0151，S2 01612 0162 016.【思维升华】在等差数列an中，数列 Sm，S2mSm，S3mS2m 也成等差数列；Snn 也是等差数列等差数列的性质是解题的重要工具跟踪训练 2(1)(2015陕西)中位数为 1 010 的一组数构成等差数列，其末项为 2 015，则该数列的首项为_(2)已知等差数列an的前 n 项和
9、为 Sn，且 S1010，S2030，则 S30_【解析】(1)利用中位数、等差数列的性质列方程求解 设数列首项为 a1，则a12 01521 010，故 a15.(2)S10，S20S10，S30S20成等差数列，2(S20S10)S10S30S20，4010S3030，S3060.【答案】(1)5(2)60 题型三 等差数列的判定与证明【例 3】已知数列an中，a135，an2 1an1(n2，nN*)，数列bn满足 bn1an1(nN*)(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由【解析】(1)证明：因为 an2 1an1(n2，nN*)，bn1an1(
10、nN*)，所以 bn1bn1an111an1 12 1an 11an1 anan11an11.又 b11a1152.所以数列bn是以52为首项，1 为公差的等差数列(2)由(1)知 bnn72，则 an1 1bn122n7.设 f(x)122x7，则 f(x)在区间，72 和72，上为减函数 所以当 n3 时，an 取得最小值1，当 n4 时，an 取得最大值 3.【思维升华】等差数列的四个判定方法：(1)定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an1anan2后，可递推得出an2an1an1ananan1an1an2a2a1，根据定义得
11、出数列an为等差数列(3)通项公式法：得出anpnq后，得an1anp对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列an为等差数列(4)前n项和公式法：得出SnAn2Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列an为等差数列 跟踪训练3(1)若an是公差为1的等差数列，则a2n12a2n是()A公差为3的等差数列 B公差为4的等差数列 C公差为6的等差数列 D公差为9的等差数列(2)在数列an中，若 a11，a212，2an1 1an 1an2(nN*)，则该数列的通项为()Aan1nBan 2n1Can 2n2Dan3n【解析】(1)a2n12a2n(a2n32a2n2)(a2n1a
12、2n3)2(a2na2n2)2226，a2n12a2n是公差为6的等差数列【答案】(1)C(2)A(2)由已知式 2an1 1an 1an2可得 1an1 1an 1an2 1an1，知1an 是首项为 1a11，公差为 1a2 1a1211 的等差数列，所以 1ann，即 an1n.高频小考点7 等差数列的前n项和及其最值【典例】(1)在等差数列an中，2(a1a3a5)3(a7a9)54，则此数列前10项的和S10等于()A45B60C75D90(2)在等差数列an中，S10100，S10010，则S110_.(3)已知等差数列an的首项a120，公差d2，则前n项和Sn的最大值为_(4)
13、(2014北京)若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，a80.a7a10a8a90，a9a80.数列的前8项和最大，即n8.【答案】(1)A(2)110(3)110(4)8【温馨提醒】(1)利用函数思想求等差数列前n项和Sn的最值时，要注意到nN*；(2)利用等差数列的性质求Sn，突出了整体思想，减少了运算量 方法与技巧 1等差数列的判断方法(1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列(2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列(3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列(4)前n项和公式：SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列 2方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解 3等差数列性质灵活使用，可以大大减少运算量 4在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a，ad，a2d；(2)ad，a，ad；(3)ad，ad，a3d等，可视具体情况而定 失误与防范 1当公差d0时，等差数列的通项公式是n的一次函数，当公差d0时，an为常数 2公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列
