1、阶段提升课 第三课 不 等 式 思维导图构建网络 考点整合素养提升 题组训练一 不等式性质的应用 1.已知2a3,-2b-1,求ab,的取值范围.【解析】由2a3,-2b-1得1-b2,2a(-b)6得-6ab-2,又1b24,故 B C.A2 =2,即A2,B=-x2+4x-2=-(x2-4x+4)+2=-(x-2)2+22,即B2,所以AB.baabbaabb aa b【方法技巧】不等式比较大小的常用方法(1)作差比较法:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果.(2)作商比较法:常用于分数指数幂的代数式.(3)乘方转化的方法:常用于根式比较大小.(4)分子分母有理化.(5)利用
2、中间量.题组训练二 基本不等式的应用 1.(1)已知x,y,z(0,+),且满足x-2y+3z=0,则 的最小值为 .(2)已知x,y都是正数.若3x+2y=12,求xy的最大值;若x+2y=3,求 +的最小值.2yxz1x1y【解析】(1)由题意知y=,所以 (当且仅当x2=9z2时等号成立),所以 的最小值为3.答案:3 x3z22222222yx9z6xzx9z32 9x z3xz4xz4xz24xz2333222yxz(2)xy=3x2y =6.当且仅当 即 时取等号.所以当x=2,y=3时xy取得最大值6.当且仅当 即 时,取等号.所以,当x=-3+3 ,y=3-时,+取得最小值1+
3、.161623x2y()23x2y3x2y12，x2y3，11111(x2y)()xy3xy1x2y1x 2y2 2(3)(32)1.3yx3y x3 x2y,yxx2y3,x33 23y322 ，23 221x1y2 232.(2020广州高一检测)若x,y均为正数,且x+y=xy,则x+y的最小值为 .【解析】方法一:x+y=xy ,即x+y4,当且仅当x=y=2时取等号.答案:4 方法二:因为x+y=xy,所以 =1,即 +=1,所以x+y=(x+y)=+2 2 +2=4,当且仅当x=y=2时取等号.答案:4 2xy()2xyxy1x1y11()xyxyyx1【方法技巧】1.利用基本不等
4、式求最值(1)常见的最值问题.一般用a+b2 (a0,b0)解“积为定值,和的最小值”,用ab 解“和为定值,积的最大值”.(2)在具体应用过程中要注意“一正,二定,三相等”,还要注意利用拆项、添 项、配凑、分离变量、代换减元等方法.ab2ab()22.条件不等式的最值问题的解题策略(1)对于条件的使用是此类问题的关键,常用的方法有代入法、“1”的代换等,解题还要注意在变形的过程中字母取值的限制,否则可能影响取等号时字母的取值.(2)对于要求最值的式子的变形也至关重要,常用的方法有配凑法、换元法等,其原则是构造定值,解题过程中还要注意等号必须取到,否则此种变形就是错误的.题组训练三 不等式的恒
5、成立问题 1.已知函数f(x)=mx2-mx-6+m,若对于m1,3,f(x)0恒成立,求实数x的取值范围.【解析】设g(m)=f(x)=mx2-mx-6+m=(x2-x+1)m-6.由题意知g(m)0对m1,3恒成立.所以 即 解得 x0,x0,不等式 可化为a2+2a+2x ,即a2+2a+2 +x-1+1,因为 +x-1+12 +1=5,当且仅当 即x=3时取等号,所以a2+2a+25,即a2+2a-30,解得-3a1.22a2a241xxx24(1)xx 4x14x14(x1)x1x1,4x 1,x 1【方法技巧】对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法(1)变更主元法:根据实际情
6、况的需要确定合适的主元,一般知道取值范围的变量要看作主元.(2)分离参数法:若f(a)g(x)恒成立,则f(a)g(x)恒成立,则f(a)g(x)max.(3)数形结合法:利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图像直观化.题组训练四 简单的线性规划问题 1.若 且z=2x+4y取得最小值为-12,则k=()A.2 B.9 C.3 D.0 xy70 x2xyk0 ，10【解析】选A.画出可行域,如图.将z=2x+4y变形为y=-x+,画出直线y=-x+,平移至点A时,纵截距最大,z最大,由 解A(2,-4),x+y+k=0过点(2,-4),所以k=2.12z412z4x22x4y12，2.若
7、直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my-4=0交于M,N两点,且M、N关于直线x-y=0对称,动点P(a,b)在不等式组 表示的平面区域内部及边界上运动,则=的取值范围是()A.2,+)B.(-,-2 C.-2,2 D.(-,-22,+)kxy20kxmy0y0，b2a1【解析】选D.由题意分析直线y=kx+1与直线x-y=0垂直,所以k=-1,即直线y=-x+1.又圆心C 在直线x-y=0上,可求得m=-1.则不等式组为 所表示的平面区域如图,km()22，xy20 xy0y0 ，=的几何意义是点Q(1,2)与平面区域上点P(a,b)连线斜率的取值范围.kOQ=2,kAQ=-2,故的取值范围为(-,-22,+).b2a1【方法技巧】解线性规划问题的一般步骤(1)列:设出未知数,列出约束条件,确定目标函数.(2)画:画出线性约束条件所表示的可行域.(3)移:在线性目标函数所表示的一组平行线中,利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线.(4)求:通过解方程组求出最优解.(5)答:作出答案.