1、选修4-4 坐标系与参数方程考点 坐标系与参数方程1.(2014安徽，4)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是4cos ，则直线l被圆C截得的弦长为()A. B.2 C. D.21.D由消去t得xy40，C：4cos 24cos ,C：x2y24x,即(x2)2y24,C(2，0),r2.点C到直线l的距离d，所求弦长22.故选D.2.(2014北京，3)曲线(为参数)的对称中心()A.在直线y2x上 B.在直线y2x上 C.在直线yx1上 D.在直线yx1上2.B曲线(为参数)的普
2、通方程为(x1)2(y2)21,该曲线为圆,圆心(1，2)为曲线的对称中心,其在直线y2x上,故选B.3.(2014江西，11(2)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y1x(0x1)的极坐标方程为()A.，0B.，0C.cos sin ，0D.cos sin ，03. Ay1x化为极坐标方程为cos sin 1，即.0x1，线段在第一象限内(含端点)，0.故选A.4.(2016北京，11)在极坐标系中，直线cos sin 10与圆2cos 交于A，B两点，则|AB|_.4.2 直线的直角坐标方程为xy10,圆的直角坐标方程为x2y22x,即(x1)2y21.圆
3、心坐标为(1，0)，半径r1.点(1，0)在直线xy10上，所以|AB|2r2.5.(2016全国，23)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos .(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan 02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.5.解(1)消去参数t得到C1的普通方程x2(y1)2a2,C1是以(0，1)为圆心,a为半径的圆.将xcos ,ysin 代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为22sin 1a20.(2)曲线C1
4、，C2的公共点的极坐标满足方程组若0，由方程组得16cos2-8sin cos +1-a20,由已知tan 2,可得16cos2-8sin cos 0，从而1-a20，解得a-1(舍去)，a1.a1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上.所以a1.6.(2016全国，23)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A、B两点,|AB|,求l的斜率.6.解(1)由xcos ，ysin 可得圆C的极坐标方程212cos 110.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线
5、l的极坐标方程为(R).设A,B所对应的极径分别为1,2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得212cos 110.于是1212cos ，1211.|AB|12|.由|AB|得cos2，tan .所以l的斜率为或.7.(2016全国，23)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标系方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.7.解(1)C1的普通方程为y21.C2的直角坐标方程为xy40.(2)由题意，可设点P的直角坐标
6、为(cos ，sin ).因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2距离d()的最小值，d().当且仅当2k(kZ)时，d()取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.8.(2015广东，14)已知直线l的极坐标方程为2sin，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为_.8.依题已知直线l：2sin和点A可化为l：x-y+10和A(2,-2)，所以点A到直线l的距离为d.9.(2015北京，11)在极坐标系中，点到直线(cos sin )6的距离为_.9.1在平面直角坐标系下,点化为(1,),直线方程为：xy6,点(1,)到直线的距离为d1.10.(2015安徽，12)在极坐标系中，圆8
7、sin 上的点到直线(R)距离的最大值是_.10.6由8sin 得x2y28y，即x2(y4)216，由得yx，即xy0，圆心(0,4)到直线yx的距离为2,圆8sin 上的点到直线的最大距离为426.11.(2015重庆，15)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos 24，则直线l与曲线C的交点的极坐标为_.11.(2,)直线l的直角坐标方程为yx2,由2cos 24得2(cos2sin2)4,直角坐标方程为x2y24,把yx2代入双曲线方程解得x2,因此交点为(-2，0),其极坐标为(2,).12.(2015江苏，
8、21)已知圆C的极坐标方程为22sin40，求圆C的半径.12.解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为2240，化简，得22sin 2cos 40.则圆C的直角坐标方程为x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圆C的半径为.13.(2015新课标全国,23)在直角坐标系xOy中,直线C1：x2,圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为(R)，设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积.13.解(1)因为xcos
9、 ，ysin ，所以C1的极坐标方程为cos 2，C2的极坐标方程为22cos 4sin 40.(2)将代入22cos 4sin 40,得2340,解得12,2.故12,即|MN|.由于C2的半径为1，所以C2MN为等腰直角三角形，所以C2MN的面积为.14.(2015福建，21(2)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为sinm(mR).求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值.14.解消去参数t，得到圆C的普通方程为(x1)2
10、(y2)29.由sinm，得sin cos m0.所以直线l的直角坐标方程为xym0.依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即2，解得m32.15.(2015湖南，16)已知直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos .(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|MB|的值.15.解(1)2cos 等价于22cos .将2x2y2，cos x代入即得曲线C的直角坐标方程为x2y22x0.(2)将代入式，得t25t180.设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数
11、t的几何意义即知，|MA|MB|t1t2|18.16.(2014湖北，16)已知曲线C1的参数方程是(t为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2.则C1与C2交点的直角坐标为_.16.(，1)曲线C1为射线yx(x0).曲线C2为圆x2y24.设P为C1与C2的交点,如图,作PQ垂直x轴于点Q.因为tanPOQ，所以POQ30，又OP2，所以C1与C2的交点P的直角坐标为(，1).17.(2014重庆，15)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin24cos 0(0,02)，则直
12、线l与曲线C的公共点的极径_.17.直线l的普通方程为yx1，曲线C的直角坐标方程为y24x，故直线l与曲线C的交点坐标为(1，2).故该点的极径.18.(2014天津，13)在以O为极点的极坐标系中，圆4sin 和直线sin a相交于A，B两点.若AOB是等边三角形，则a的值为_.18.3圆的直角坐标方程为x2y24y，直线的直角坐标方程为ya，因为AOB为等边三角形，则A(，a)，代入圆的方程得a24a，故a3.19.(2014湖南，11)在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：(为参数)交于A，B两点，且|AB|2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标
13、方程是_.19.cos1曲线C的普通方程为(x2)2(y1)21，由直线l与曲线C相交所得的弦长|AB|2知，AB为圆的直径，故直线l过圆心(2，1)，注意到直线的倾斜角为，即斜率为1，从而直线l的普通方程为yx1，从而其极坐标方程为sin cos 1，即cos1.20.(2014广东，14)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为sin2cos 和sin 1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为_.20.(1，1)由sin2cos 得2sin 2cos ，其直角坐标方程为y2x，sin 1的直角坐标方程为y1，由得C1和C2的
14、交点为(1，1).21.(2014辽宁，23)将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2xy20与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.21.解(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得由xy1得x21，即曲线C的方程为x21.故C的参数方程为(t为参数).(2)由解得：或不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k，于是所求直线方程为y1，化为极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3，即.22.(2014江苏，21C)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，求线段AB的长.22.解将直线l的参数方程代入抛物线方程y24x，得4，解得t10，t28.所以|AB|t1t2|8.