1、阶段复习课 第一课 数 列 思维导图构建网络 考点整合素养提升 题组训练一 等差、等比数列的判定 1.已知数列an满足a1=1,an+1=3an+1.证明 是等比数列,并求an的通项 公式.n1a2【解析】由an+1=3an+1得,又 所以 是首项为 ,公比为3的等比数列.因此an的通项公式为an=n 1nn131a3a3(a)222，113a22 ，n1a232nn13a22，n31.22.设Sn为数列an的前n项和,对任意的nN*,都有Sn=2-an,数列bn满足 b1=2a1,bn=(n2,nN*).(1)求证:数列an是等比数列,并求an的通项公式;(2)判断数列 是等差数列还是等比数
2、列,并求数列bn的通项公式.n 1n 1b1bn1b【解析】(1)当n=1时,a1=S1=2-a1,解得a1=1;当n2时,an=Sn-Sn-1=an-1-an,即 (n2,nN*).所以数列an是首项为 1,公比为 的等比数列,故数列an的通项公式为an=nn 1a1a212n 11().2(2)因为a1=1,所以b1=2a1=2.即 =1(n2).所以数列 是首项为 ,公差为1的等差数列.所以 +(n-1)1=,故数列bn的通项公式 为bn=n 1nn 1nn 1b11b11bbb因，所以，为nn 111bb n1b12n11b22n 122.2n 1【方法技巧】判定一个数列是等差或等比数
3、列的方法 提醒:在解答题中证明一个数列是等比(或等差)数列通常用定义法和中项公式法,通项公式法和前n项和公式法常在小题或分析题意时应用.题组训练二 数列通项公式的求法 1.若数列an是正项数列,且 =n2+3n(nN*),则 an=.12naaa【解析】因为 =n2+3n(nN*),所以 =(n-1)2+3(n-1)(n2),-,得 =n2+3n-(n-1)2+3(n-1)=2(n+1),所以an=4(n+1)2(n2).又 =12+31=4,故a1=16,也满足式子an=4(n+1)2,故an=4(n+1)2.答案:4(n+1)2 12naaa 12n-1aaa na1a2.已知在数列an中
4、,an+1=an(nN+),且a1=4,则数列an的通项公式 an=.nn2【解析】以上式子累乘得,因为a1=4,所以 an=(n2),因为a1=4满足上式,所以an=答案:n 1n 1nnannaan2an2由，得，32n12n 1aa12an 1(n2)a3 a4an 1故，n1a1 2n 3 n2 n 12a3 4n 1nn 1n(n 1)，8n(n 1)8.n(n 1)8n(n 1)3.已知数列an满足a1=2,an-an-1=n(n2,nN+),则an=.【解析】由题意可知,a2-a1=2,a3-a2=3,an-an-1=n(n2),以上式子累加得,an-a1=2+3+n.因为a1=
5、2,所以an=2+(2+3+n)=2+=(n2).因为a1=2满足上式,所以an=答案:(n 1)(2n)22nn22 2nn2.2 2nn22 4.已知数列an满足a1=2,an+1=(an0,nN+),则an=.【解析】因为数列an满足a1=2,an+1=(an0,nN+),所以log2an+1=2log2an,即 =2,又a1=2,所以log2a1=1,故数列log2an是首项为1,公比为2的等比数列,所以log2an=2n-1,即an=答案:2na2na2n 12nlog alog an122.n122【方法技巧】数列通项公式的求法(1)定义法,即直接利用等差数列或等比数列的定义求通项
6、的方法叫定义法,这 种方法适用于已知数列类型的题目.(2)已知Sn求an.若已知数列的前n项和Sn与an的关系,求数列an的通项an可用 公式 an=求解.1nn 1Sn1SSn2，(3)由递推式求数列通项法.对于递推公式确定的数列的求解,通常可以通过递推公式的变换,转化为等差数列或等比数列问题,有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列.(4)待定系数法(构造法).求数列通项公式方法灵活多样,特别是对于给定的递推关系求通项公式,观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推式变换,转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解,这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想,而运用待定系数法变换递推式中的常数就
7、是一种重要的转化方法.题组训练三 公式法求和 1.设an为等差数列,Sn为数列an的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列 的前n项和,求Tn.nSn【解析】设等差数列an的首项为a1、公差为d,则Sn=na1+n(n-1)d,解得a1=-2,d=1,所以 1211117a21d7a3d115a105d75a7d5，所以即，nS1n52n1.n222 （）而 所以数列 是等差数列,其首项为-2,公差为 ,所以Tn=-2n+n(n-1)=n2-n.n 1nSSn15n51()()n1n22222，nSn12121214942.已知an是公差为3的等差数列,数列bn满足b1=1,b2=,
8、anbn+1+bn+1=nbn.(1)求an的通项公式;(2)求bn的前n项和.13【解析】(1)由已知a1b2+b2=b1,又b1=1,b2=,所以a1=2,an是首项为2,公差 为3的等差数列,所以an=2+3(n-1)=3n-1,nN+.(2)由(1)及已知,3nbn+1=nbn,即 所以bn是首项为1,公比为 的等比数列,记bn的前n项和为Sn,nN+.13n 1nb1b3，13nnn11(1)313S(1)12313，【方法技巧】公式法求和注意事项(1)直接应用公式求和时,要注意公式的应用范围,如当等比数列公比为参数(字母)时,应对其公比是否为1进行讨论.(2)几类可以使用公式求和的
9、数列 等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列,它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求和.奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的,可以分项数为奇数和偶数时,分组求和,分别使用等差数列或等比数列的求和公式.等差数列各项加上绝对值,等差数列各项乘以(-1)n等.题组训练四 裂项相消求和 1.已知数列an是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.(1)求数列an的通项公式;(2)设Sn为数列an的前n项和,求数列bn的前n项和Tn.n 1nnn 1abS S，【解析】(1)设an的公比为q,由已知,a1+a4=a1+a1q3=9,a2a3=q3=8,所以a1=
10、1,q=2,所以an=a1qn-1=2n-1,nN+.21a(2)由(1)及已知,所以Tn=b1+b2+bn=n 1n1nnaa q122S211q12，n 1n 1nnnn 1nn 1nn 1aSS11bS SS SSS，n 11223nn 11n 1111111111()()()1nN.SSSSSSSS21 ，2.(2020邯郸高一检测)已知数列an为正项等比数列,满足a3=4,且a5,3a4,a6构成等差数列,数列bn满足bn=log2an+log2an+1.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)若数列bn的前n项和为Sn,数列cn满足cn=,求数列cn的前n项和 Tn.n14S1【解
11、题指南】(1)先设等比数列an的公比为q(q0),根据a3=4,且a5,3a4,a6构成等差数列,求出q,即可得出bn的通项公式,再由bn=log2an+log2an+1,可得出 的通项公式;(2)先由等差数列的前n项和公式求出Sn,再由裂项相消法求出Tn即可.【解析】(1)设等比数列an的公比为q(q0),由题意,得a5+a6=6a4q+q2=6 解得q=2或q=-3(舍),又a3=4a1=1,所以 an=a1qn-1=2n-1,bn=log2an+log2an+1=n-1+n=2n-1.21nnn2nn(bb)n1(2n 1)2 Sn,221111c()4n12 2n 12n1111111
12、nT(1)()().23352n 12n12n1所以，所以【方法技巧】1.裂项相消法求和的原理及注意问题(1)原理:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.(2)注意:在相加抵消过程中,有的是依次抵消,有的是间隔抵消,特别是间隔抵消时要注意规律性.(3)一般地,若an为等差数列,则求数列 的前n项和可尝试此方法,事 实上,nn 11a a n 1nnn 1nn 1nn 1nn 11daa111().a ada ada adaa2.用裂项法求和的裂项原则及规律(1)裂项原则:一般是前边裂几项,后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止.(2)消项规律:消项后前边剩几
13、项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.常见的裂项 题组训练五 错位相减法求和 1.已知数列an的首项a1=1,且满足(an+1-1)an+an+1=0(nN+).(1)求数列an的通项公式;(2)设cn=,求数列cn的前n项和Sn.nn3a【解析】(1)整理得 所以数列 是以首项为1,公差为1的等差数列,所以 =1+(n-1)=n,所以an=.n 1n111aa，n1an1a1n(2)由(1)知,cn=n3n,Sn=13+232+333+n3n,3Sn=132+233+334+(n-1)3n+n3n+1,-有-2Sn=3+32+33+3n-n3n+1,解得Sn=3n+1+.(2n
14、1)4342.(2020大庆高一检测)已知数列an满足nan+1=2an(n+1),a1=2,设bn=.(1)证明数列bn为等比数列;(2)求数列an的前n项和Sn.【解题指南】(1)由bn+1=qbn(q为非零常数)且b10可证得bn为等比数列.(2)可得an=n2n,则可由错位相减法求和.nan【解析】(1)由nan+1=2an(n+1),可得 所以bn+1=2bn.又b1=2,所以数列 为首项为2,公比为2的等比数列.(2)由(1)得 为首项是2,公比是2的等比数列,所以bn=22n-1=2n.由bn=可得an=nbn=n2n.n 1nnnaaa2.bn1nn 而，1a1nb nb na
15、n所以Sn=121+222+323+n2n,则2Sn=122+223+324+n2n+1.以上两式相减得-Sn=2+22+23+2n-n2n+1=-n2n+1=2n+1-2-n2n+1,所以Sn=-2n+1+2+n2n+1=2n+1+2.n2 1212(n 1)【方法技巧】错位相减法求和的适用条件及关注点(1)适用条件:如果一个数列的各项由一个等差数列的各项和一个等比数列对应项乘积组成,那么这个数列的前n项和可用此法来求.即求数列anbn的前n项和,其中an,bn分别是等差数列和等比数列.(2)关注点:要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特
16、别注意将两式“错项对齐”,以便于下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式.题组训练六 分组求和 1.已知函数f(n)=且an=f(n)+f(n+1),记Sn表示an的前n项 和,则S100=.22n(n)n(n)，正奇，正偶为数为数【解析】当n为奇数时,an=f(n)+f(n+1)=n2-(n+1)2=-2n-1,当n为偶数时,an=f(n)+f(n+1)=-n2+(n+1)2=2n+1,则S100=(a1+a3+a99)+(a2+a4+a6+a8+a10+a100)=-2(1+3+5+7+9+99)-50+2(2+4+6+8+10+100)+50=100.答案:100 2.已知an是等差数列
17、,满足a1=3,a4=12,数列bn满足b1=4,b4=20,且bn-an是等比数列;(1)求数列an和bn的通项公式;(2)求数列bn的前n项和.【解析】(1)设an的公差为d,由已知,a4=a1+3d=12,又a1=3,所以d=3,an=3n,nN+,设bn-an的公比为q,由已知,b1-a1=1,b4-a4=(b1-a1)q3=8,所以q=2,bn-an=2n-1,bn=2n-1+3n,nN+,综上,an=3n,bn=2n-1+3n,nN+.(2)由(1)知,bn=2n-1+3n,数列2n-1的前n项和为 =2n-1,数列3n的前n项和为 n(n+1),所以数列bn的前n项和为2n+n(
18、n+1)-1,nN+.n 1122123232【方法技巧】分组求和运用技巧 将数列的每一项拆成多项,然后重新分组,将一般的数列求和问题转化成特殊数列求和问题.运用这种方法的关键是将通项变形.“合项”法是利用加法的交换律和结合律将“不规则和”转化为“规则和”,化繁为简.题组训练七 数列|an|的前n项和 1.数列an的前n项和为Sn=n2-6n,则a2=;数列|an|的前10项和|a1|+|a2|+|a10|=.【解析】当n=1时,a1=S1=-5,当n2时,an=Sn-Sn-1=n2-6n-(n-1)2+6(n-1)=2n-7,所以a2=22-7=-3,所以|a1|+|a2|+|a10|=5+
19、3+1+1+3+13=9+7=58.答案:-3 58 1 1322.在公差为d的等差数列an中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,an;(2)若d0,求|a1|+|a2|+|an|.【解析】(1)由已知5a3a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0,故d=-1或4,所以an=-n+11,nN+或an=4n+6,nN+.(2)设数列an的前n项和为Sn.因为dan求解,或利用函数y=x2+x的图像求解.【解析】方法一:an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+1+,由于an是递增 数列,故2n+1+0恒成立,即-2n-1,又nN+,-2n-
20、1-3,故-3.方法二:由于函数y=x2+x在 上单调递增,结合其图像(图像略)可知,若数列an是递增数列,则a2a1,即22+21+,即-3.答案:(-3,+),)2 2.设数列an,bn满足a1=b1=6,a2=b2=4,a3=b3=3,若an+1-an是等差数列,bn+1-bn是等比数列.(1)分别求出数列an,bn的通项公式;(2)求数列an中最小项及最小项的值.【解题指南】根据等差、等比数列的通项公式求an,bn的通项公式,然后利用函数的思想求an的最小项及最小项的值.【解析】(1)a2-a1=-2,a3-a2=-1,由an+1-an成等差数列知其公差为1,故an+1-an=-2+(
21、n-1)1=n-3;b2-b1=-2,b3-b2=-1,由bn+1-bn成等比数列知,其公比为 ,故bn+1-bn=12n 112()2，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+(a2-a1)+a1=(n-1)(-2)+1+6=bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(bn-2-bn-3)+(b2-b1)+b1=2+23-n.(n 1)(n2)222n3n2n7n 182n 822 ，n 11(2)1()26112(2)因为 所以n=3或n=4时,an取到最小值,a3=a4=3.22nn7n 181723a(n)2228，【方法技巧】函数思想在数列问题中的应用 数列可以看作是定义域为正整数集(或其有限子集1,2,3,n)的特殊函数.运用函数思想去研究数列,就是要借助于函数的单调性、图像和最值等知识解决与数列相关的问题.等差数列与一次函数、等比数列与指数函数有着密切的关系,等差数列有n项和公式与二次函数有密切关系,故可用函数的思想来解决数列问题.
